抛物样条曲线的原理说明及画抛物曲线的一个类

向右看齐 2022-01-05 09:47 253阅读 0赞

朱金灿

假如我们采用矢量表达式来表示参数化的二次曲线，那么可以把抛物线的表达式写成如下的一般形式：

P(t)=A1\+ A2t+ A3t2 (0=<t<=1)

该抛物线过P1, P2, P3三个点，并且：

1.抛物线以P1点为始点。当参变量t=0时，曲线过P1点；

2.抛物线以P3点为终点。当参变量t=0时，曲线过P3点；

3.当参变量t=0.5时，曲线过P2点,且切矢量等于P3—P1。

t=0: P(0)= A1= P1

t=1: P(1)= A1 \+ A2\+ A3=P3

t=0.5:P(0.5)= A1 \+ 0.5A2\+0.25 A3=P2

通过解联立方程，得到三个参数A1、A2、A3分别为：

A1 = P1

A2=4 P2—P3—3P1

A3=2P1\+2P3—4P2

把求出的这三个系数的值，代入抛物线的表达式P(t)=A1\+ A2t+ A3t2

得：P(t)=（2t—3t+1）P1 \+(4t—4t2)P2\+(4t2—t)P3 (0=<t<=1)

设有一离散型值点列Pi（i=1,2,……,n）,每经过相邻三点作一段抛物线，由于有n个型值点，所以可以做n-2条抛物线段。

在这n—2条抛物线段中，第i条抛物线段为经过Pi, Pi+1, Pi+2三点，所以它的表达式应为：Si(ti)=（2t2i—3ti\+1）Pi \+(4 ti—4 t2i) Pi+1 \+(2t2i—ti) Pi+2(0=< ti <=1)

同理，第i+1条抛物线段为经过Pi+1, Pi+2, Pi+3三点，所以它的表达式应为：Si+1(ti+1)=（2t2i+1—3ti+1\+1）Pi+1 \+(4 ti+1—4 t2i+1) Pi+2 \+(2t2i+1—ti+1) Pi+3(0=< ti+1 <=1)

一般来说，每两段曲线之间的搭接区间，两条抛物线是不可能重合的。如下图所示：

![114.gif][]

显然，对于拟合曲线来说，整个型值点必须只能用一条光滑的曲线连接起来。为了做到这一点，必须找一种方法把Si和Si+1这样的曲线段的共同区间结合起来。这种方法就是加权合成方法。

我们设共同区间的函数是Pi+1(t)=f (T ) Si(ti)+g ( T) Si+1(ti+1). 其中f (T ) 和g ( T) 是权函数。在抛物样条曲线中我们取简单的一次函数为权函数，且具有互补性，设

f (T ) =1—T

g ( T) =T

这样Pi+1(t)= (1—T ) Si(ti)+ T Si+1(ti+1).因为函数中有T、ti和ti+1三个参数，因此接下来我们的工作是统一参数。我们可以三个参变量统一形式为：

T=2t

ti=0.5+t

ti+1=t

这样Pi+1(t)=（—2t3\+4t2—t）Pi \+(12t3—410t2\+1) Pi+1 \+(—12t3\+8t2\+t) Pi+2 \+(4t3—2t2) Pi+3(0=< ti <=0.5)

从几何意义上说，函数Pi+1(t)表示的上图的点Pi+1,到Pi+2 之间的线段。但是我们应该看到这种方法从n个点中只能得到n—3段曲线。但是n个型值点应有n—1段曲线。一个直接的想法是添加两个辅助点。那么如何添加呢？

方法一：两个辅助点为P0和Pn+1, P0=P1，Pn+1= Pn ,这样画出的曲线为一条不闭合的自由曲线。

方法二：添加三个辅助点，P0、Pn+1和Pn+2，然后P0=Pn，Pn+1= P1,，Pn+2= P2,这样画出的曲线为一条闭合的曲线。

下面介绍根据上面原理而设计的一个画抛物曲线的一个类：

class CParspl : public CObject

DECLARE\_SERIAL(CParspl)

public:

CParspl(int nLineStyle,int nLineWidth, COLORREF crLineColor);

virtual ~CParspl();

void SetPoint(const CPoint &point); // 添加坐标点

void DrawFreeLine(CDC \*pDC);// 画自由端抛物曲线

void DrawCloseLine(CDC \*pDC); // 画封闭端抛物曲线

void Serialize(CArchive & ar);

protected:

CParspl();

/\*public attributes\*/

public:

int m\_bIsFreeLine;

/\*private attibutes\*/

private:

CArray<CPoint,CPoint> ParsplPoint; // 定义插值点数组

COLORREF m\_crLineColor; // 定义线色

int m\_nLineStyle; // 定义线型

int m\_nLineWidth; //定义线宽

\};

const int Clip=10;

CParspl::CParspl() // 默认的构造函数

CParspl::~CParspl()

CParspl::CParspl(int nLineStyle,int nLineWidth, COLORREF crLineColor)

m\_nLineStyle = nLineStyle;

m\_nLineWidth = nLineWidth;

m\_crLineColor = crLineColor;

ParsplPoint.Add(CPoint(0,0)); //初始化第一个点

m\_bIsFreeLine = 1;

void CParspl::SetPoint(const CPoint &point)

ParsplPoint.Add(point);

void CParspl::DrawFreeLine(CDC \*pDC)

if(ParsplPoint.GetSize() < 4) return;

CPen LinePen(m\_nLineStyle,m\_nLineWidth,m\_crLineColor);

int i=0,j=0;

int n=0;

n=ParsplPoint.GetSize();

double t1,t2,t3,t,a,b,c,d,x,y;

ParsplPoint\[0\].x=ParsplPoint\[1\].x;

ParsplPoint\[0\].y=ParsplPoint\[1\].y;

CPoint pt=ParsplPoint.GetAt(n-1);

ParsplPoint.Add(pt);

t=0.5f/Clip;

CPen \*pLinePen=pDC->SelectObject(&LinePen);

pDC->MoveTo(ParsplPoint\[1\].x,ParsplPoint\[1\].y);

for (i=0;i<n-2;i++)

for(j=1;j<Clip;j++)

t1=j\*t;

t2=t1\*t1;

t3=t2\*t1;

a=4.0\*t2-t1-4.0\*t3;

b=1.0-10.0\*t2+12.0\*t3;

c=t1+8.0\*t2-12.0\*t3;

d=4.0\*t3-2.0\*t2;

x=a\*ParsplPoint\[i\].x+b\*ParsplPoint\[i+1\].x+c\*ParsplPoint\[i+2\].x+d\*ParsplPoint\[i+3\].x;

y=a\*ParsplPoint\[i\].y+b\*ParsplPoint\[i+1\].y+c\*ParsplPoint\[i+2\].y+d\*ParsplPoint\[i+3\].y;

pDC->LineTo(int(x),int(y));

pDC->LineTo(ParsplPoint\[i+2\].x,ParsplPoint\[i+2\].y);

for(i=0;i<n;i++)

pt=ParsplPoint.GetAt(i);

pDC->Ellipse(pt.x-2,pt.y-2,pt.x+2,pt.y+2);

/\* 将旧画笔选回设备环境\*/

pDC->SelectObject(pLinePen);

/\*删除辅助点\*/ ParsplPoint.RemoveAt(ParsplPoint.GetUpperBound());

void CParspl::DrawCloseLine(CDC \*pDC)

if(ParsplPoint.GetSize() < 4) return;

CPen LinePen(m\_nLineStyle,m\_nLineWidth,m\_crLineColor);

int i=0,j=0;

int n=0;

n=ParsplPoint.GetSize();

double t1,t2,t3,t,a,b,c,d,x,y;

ParsplPoint\[0\].x=ParsplPoint\[n-1\].x;

ParsplPoint\[0\].y=ParsplPoint\[n-1\].y;

CPoint pt=ParsplPoint.GetAt(1);

ParsplPoint.Add(pt);

pt=ParsplPoint.GetAt(2);

ParsplPoint.Add(pt);

t=0.5f/Clip;

CPen \*pLinePen=pDC->SelectObject(&LinePen);

pDC->MoveTo(ParsplPoint\[1\].x,ParsplPoint\[1\].y);

for (i=0;i<n-1;i++)

for(j=1;j<Clip;j++)

t1=j\*t;

t2=t1\*t1;

t3=t2\*t1;

a=4.0\*t2-t1-4.0\*t3;

b=1.0-10.0\*t2+12.0\*t3;

c=t1+8.0\*t2-12.0\*t3;

d=4.0\*t3-2.0\*t2;

x=a\*ParsplPoint\[i\].x+b\*ParsplPoint\[i+1\].x+c\*ParsplPoint\[i+2\].x+d\*ParsplPoint\[i+3\].x;

y=a\*ParsplPoint\[i\].y+b\*ParsplPoint\[i+1\].y+c\*ParsplPoint\[i+2\].y+d\*ParsplPoint\[i+3\].y;

pDC->LineTo(int(x),int(y));

pDC->LineTo(ParsplPoint\[i+2\].x,ParsplPoint\[i+2\].y);

for(i=0;i<n;i++)

pt=ParsplPoint.GetAt(i);

pDC->Ellipse(pt.x-2,pt.y-2,pt.x+2,pt.y+2);

/\*将旧画笔选回设备环境\*/

pDC->SelectObject(pLinePen);

/\*删除最后两个辅助点\*/

ParsplPoint.RemoveAt(ParsplPoint.GetUpperBound());

程序效果图：

自由端曲线：

![free.gif][]

封闭端曲线：

![Close.gif][]

转载于:https://www.cnblogs.com/lanzhi/archive/2006/06/03/6471321.html

[114.gif]: /images/20211229/be5d74771fd34cf08636b8e2f7f37a30.png
[free.gif]: /images/20211229/b2da46f2b1144f48b1da1d562c3549a7.png
[Close.gif]: /images/20211229/c983bf280689497983683a6cec0d772e.png

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