关系数据理论必备知识点

短命女 2021-12-24 09:11 649阅读 0赞

### 前备知识 ###

#### 函数依赖 ####

在属性集U上，X、Y都是U上的子属性集，如果可以根据属性集X中属性的值唯一确定属性集Y中属性的值，则称Y函数依赖于X，记做 X → Y X\\to Y X→Y.

比如说：

实例1：属性集`U={学号，姓名，年龄}`，`{学号}`和`{姓名}`都是属性集U上的子集，当给定一个学号的值时，可以唯一个姓名的值，这样就符合函数依赖的关系，我们说`{姓名}`函数依赖于`{学号}`，即 学 号 姓 名 \{ 学 号 \} → \{ 姓 名 \} 学号姓名\\\{学号\\\}\\to \\\{姓名\\\} 学号姓名\{ 学号\}→\{ 姓名\}。

实例2：还有一种情况，比如说`X={学号,姓名}`，`Y={姓名}`，当给定一个X的值时，也可以唯一确定Y的值，也有Y函数依赖于X，即 学 号 姓 名 姓 名 \{ 学 号 , 姓 名 \} → \{ 姓 名 \} 学号姓名姓名\\\{学号,姓名\\\}\\to\\\{姓名\\\} 学号姓名姓名\{ 学号,姓名\}→\{ 姓名\}

可以发现实例2中Y是X的子集，即 Y ⊆ X Y \\subseteq X Y⊆X，这种情况我们称 X → Y X\\to Y X→Y是**平凡的函数依赖**，而对于实例1， Y ⊆ X Y \\subseteq X Y⊆X不成立，这种情况下我们称 X → Y X\\to Y X→Y是**非平凡的函数依赖**。

#### 完全函数依赖 ####

在`R(U)`中，如果Y函数依赖于X但是Y不函数依赖于X的任何子集，则称Y完全函数依赖于X，记为 X → F Y X\\stackrel\{F\} \\to Y X→FY,否则称Y部分依赖于X，记做 X → P Y X \\stackrel\{P\} \\to Y X→PY。

比如属性集U中有3个属性： \{ a , b , c \} \\\{a,b,c\\\} \{ a,b,c\}，如果 \{ a , b \} → \{ c \} \\\{a,b\\\}\\to \\\{c\\\} \{ a,b\}→\{ c\}，且 \{ a \} → \{ c \} \\\{a\\\} \\to \\\{c\\\} \{ a\}→\{ c\}，就不能说 c \{c\} c完全函数依赖于 ， \{ a ， b \} ，\\\{a，b\\\} ，\{ a，b\}，反过来，如果  \{ a , b \} → \{ c \} \\\{a,b\\\} \\to \\\{c \\\} \{ a,b\}→\{ c\} ，但  \{ a \} ↛ \{ c \} \\\{a\\\} \\nrightarrow \\\{c\\\} \{ a\}↛\{ c\} 且 \{ b \} ↛ \{ c \} \\\{b\\\} \\nrightarrow \\\{c\\\} \{ b\}↛\{ c\}，则说明\{c\}完全函数依赖于\{a,b\}，即 \{ a , b \} → F \{ c \} \\\{a,b\\\}\\stackrel\{F\} \\to \\\{c\\\} \{ a,b\}→F\{ c\}.

#### 传递函数依赖 ####

在R(U)中，如果 X → Y , Y ↛ X , Y → Z X \\to Y , Y \\nrightarrow X,Y\\to Z X→Y,Y↛X,Y→Z，则称Z传递函数依赖于X，记为 传 递 X → 传 递 Z 传递X \\stackrel\{传递\} \\to Z 传递X→传递Z.

注意这里一定要满足条件  Y ↛ X Y \\nrightarrow X Y↛X，如果 Y → X Y\\to X Y→X，则有 X ↔ Y X \\leftrightarrow Y X↔Y ，这时就是 X → Z X\\to Z X→Z，而不是 传 递 X → 传 递 Z 传递X \\stackrel\{传递\} \\to Z 传递X→传递Z.

#### 候选码 ####

设K为R(U)中的属性或属性集合，若 K → F U K\\stackrel\{F\} \\to U K→FU，则称K为R的候选码.

其实说白了，候选码就是**最小的可以推出U中所有属性的集合**，也就是说，如果确定了一组候选码的值，可以唯一确定一组U中所有属性的值，举个例子，`U={a,b,c,d}`，如果`{a,b}`的属性值确定后可以唯一确定`{c,d}`的值，即 \{ a , b \} → \{ c , d \} \\\{a,b\\\}\\to \\\{c,d\\\} \{ a,b\}→\{ c,d\}，则\{a，b\}就是一组候选码（因为 \{ a , b \} → \{ a , b \} \\\{a,b\\\} \\to \\\{a,b\\\} \{ a,b\}→\{ a,b\}一定是成立的，又有 \{ a , b \} → \{ c , d \} \\\{a,b\\\}\\to \\\{c,d\\\} \{ a,b\}→\{ c,d\}，所以 \{ a , b \} → \{ a , b , c , d \} \\\{a,b\\\} \\to \\\{a,b,c,d\\\} \{ a,b\}→\{ a,b,c,d\}即 \{ a , b \} → U \\\{a,b\\\} \\to U \{ a,b\}→U）。

#### 主属性 ####

我们说候选码是**最小的可以推出U中所有属性的集合**，而这个集合中的任意一个属性值，就称为**主属性**，而在集合U中但不在候选码集合中的属性称为**非主属性**。

#### 多值依赖 ####

多值依赖比较抽象，这里用一张图解释：

![image-20190626200649372][]

如上图所示，我们假设`R(U)`是属性集U上的一个关系模式，将U划分为3个子集X、Y、Z，注意这里的X、Y、Z是三个子集，每一个子集中都可能含有若干个属性，且X、Y、Z、U满足 X ∩ Y = ϕ , X ∩ Z = ϕ , Y ∩ Z = ϕ , X ∪ Y ∪ Z = U X\\cap Y =\\phi ,X\\cap Z=\\phi ,Y \\cap Z=\\phi ,X\\cup Y \\cup Z=U X∩Y=ϕ,X∩Z=ϕ,Y∩Z=ϕ,X∪Y∪Z=U，即X、Y、Z两两不相交、X、Y、Z之并为U(图上画的很清楚了)。

如果X，Y，Z满足X可以决定Z的值且Y和Z没有任何关系（Y的值变化不会引起Z的值变化），则称Z多值依赖于X，记为 X → → Z X \\to \\to Z X→→Z.

多值依赖有以下几个特性：

1.  对称性
    
    如上图所示，如果 X → → Z X \\to \\to Z X→→Z，则必有 X → → Y X \\to \\to Y X→→Y.
2.  传递性
    
    如果 X → → \{ a \} , \{ a \} → \{ a , b , c \} X\\to \\to \\\{a\\\},\\\{a\\\} \\to \\\{a,b,c\\\} X→→\{ a\},\{ a\}→\{ a,b,c\}，则 X → → \{ b , c \} X \\to \\to \\\{b,c\\\} X→→\{ b,c\}.

### 1NF ###

一阶范式(1NF)的定义：关系中每一个分量都不可再分，则这样的关系模式属于第一范式(1NF)，即\*\*"键值"**对中的**"值“\*\*应该为单个数值，而不是集合。

比如如下关系模式：

![image-20190626233133946][]

这样的关系模式就不属于第一范式，因为 A 1 → b 1 , b 2 , b 3 A1\\to\{b1,b2,b3\} A1→b1,b2,b3，b1,b2,b3还可再分，若想将其变为第一范式，则应该：

![image-20190626233149436][]

这时这个关系模式就属于第一范式。

### 2NF ###

\*\*二阶范式(2NF)\*\*的定义：在1NF的基础上，**消除关系模式中非主属性对候选码的部分函数依赖**后，称该关系模式为2NF。

考虑下表：

![image-20190626202517264][]

可以发现，我们通过学生编号就可以确定出来学生姓名、班级编号、学生院系，即：  
 \{ 学 生 编 号 \} → \{ 学 生 姓 名 ， 班 级 编 号 ， 学 生 院 系 \} \\\{学生编号\\\}\\to \\\{学生姓名，班级编号，学生院系\\\} \{ 学生编号\}→\{ 学生姓名，班级编号，学生院系\}  
我们发现除了这个函数依赖，还有课程编号、成绩这两个属性没有用到，也就是说我们可以得出:  
 \{ 学 生 编 号 ， 课 程 编 号 ， 成 绩 \} → \{ 学 生 姓 名 ， 班 级 编 号 ， 学 生 院 系 \} \\\{学生编号，课程编号，成绩\\\}\\to \\\{学生姓名，班级编号，学生院系\\\} \{ 学生编号，课程编号，成绩\}→\{ 学生姓名，班级编号，学生院系\}

综合(1)式和(2)式，我们可以得出 学 生 姓 名 ， 班 级 编 号 ， 学 生 院 系 \{ 学 生 姓 名 ， 班 级 编 号 ， 学 生 院 系 \} 学生姓名，班级编号，学生院系\\\{学生姓名，班级编号，学生院系\\\} 学生姓名，班级编号，学生院系\{ 学生姓名，班级编号，学生院系\}部分函数依赖于 学 生 编 号 \{ 学 生 编 号 \} 学生编号\\\{学生编号\\\} 学生编号\{ 学生编号\}这个结论，则当前关系模式就不满足2NF的条件，即不属于2NF。

那么我们如何将上述关系模式转化为满足2NF要求的关系模式呢？自然是**消除关系模式中非主属性对候选码的部分函数依赖**，我们发现，上述关系模式不是2NF的原因在于 学 生 姓 名 ， 班 级 编 号 ， 学 生 院 系 \{ 学 生 姓 名 ， 班 级 编 号 ， 学 生 院 系 \} 学生姓名，班级编号，学生院系\\\{学生姓名，班级编号，学生院系\\\} 学生姓名，班级编号，学生院系\{ 学生姓名，班级编号，学生院系\}部分函数依赖于 学 生 编 号 \{ 学 生 编 号 \} 学生编号\\\{学生编号\\\} 学生编号\{ 学生编号\}，再进一步，是因为上述关系模式中出现了课程编号、成绩这两个属性，那么我们将这两个属性单独分离出来即可打破这种部分函数依赖，即将上面拆分为下面两个表格：

学生表：

![image-20190626203227546][]

学生-课程表：

![image-20190626203245296][]

这样就消除了关系模式中非主属性对候选码的部分函数依赖，该关系模式就属于2NF了。

### 3NF ###

定义：在1NF的基础上**消除了非主属性对候选码的传递函数依赖**后即满足3NF的要求。

以下表为例：

![image-20190626203227546][]

上表中主属性、候选码为学生编号，其他3个属性为非主属性，我们发现根据学生编号可以唯一确定院系，即院系函数依赖于学生编号，但是思考一下，我们是拿到学生编号后就能直接查出来所属院系吗？实际的流程应该是先根据学生编号确定班级编号，然后再根据班级编号确定院系，即从学生编号确定院系这个过程经历了班级编号这一中间属性，即院系是传递函数依赖于学生编号的，所以说，上表是不满足3NF的要求的。

要将一个关系模式转化为3NF，需要消除非主属性对候选码的传递函数依赖，对上表来说就是要消除院系对学生编号的传递函数依赖，那我们直接将院系和学生编号划分到两个表中就可以了，就像这样：

学生表：

![image-20190626204050866][]

班级-院系表：

![image-20190626204101596][]

这样该关系模式中就不存在非主属性对候选码的传递函数依赖了，就满足3NF的要求了。

### BCNF ###

定义：在1NF的基础上，将**主属性对候选码的部分函数依赖、传递函数依赖消除**后，就满足了BCNF的要求，如果这么说不够明白，我们换种说法，如果**每一个函数依赖的决定因素都包含候选码**，则满足BCNF的要求，也就是说，对于关系模式中的任意一个函数依赖 X → Y X\\to Y X→Y，如果X中都含有候选码，则该关系模式属于BCNF。

在理解定义之前我们先明确主属性和候选码的区别，我们说，如果从一个属性集合X出发可以确定所有属性集U中属性的值，就称X为该关系模式的候选码，即候选码是一个集合，而候选码集合中的属性称为主属性。

我们以一个例子来说明BCNF：

关系模式R(U)，属性集U=\{a,b,c\}，有如下依赖关系：  
 \{ a , b \} → \{ c \} \{ c \} → \{ a \} \\\{a,b\\\} \\to \\\{c\\\}\\\\ \\\{c\\\} \\to \\\{a\\\} \{ a,b\}→\{ c\}\{ c\}→\{ a\}  
很明晰在这个关系模式中\{a,b\}为候选码，a，b为主属性，那么它是否符合BCNF范式的要求呢？我们再看一遍BCNF范式的要求：**每一个函数依赖的决定因素都包含候选码**

对于第一个函数依赖： \{ a , b \} → \{ c \} \\\{a,b\\\} \\to \\\{c\\\} \{ a,b\}→\{ c\}，其决定因素 \{ a , b \} \\\{a,b\\\} \{ a,b\}包含了候选码，没有问题；

对于第二个函数依赖： \{ c \} → \{ a \} \\\{c\\\} \\to \\\{a\\\} \{ c\}→\{ a\}，其决定因素是 \{ c \} \\\{c\\\} \{ c\}，可是这个决定因素没有包含候选码即 \{ a , b \} \\\{a,b\\\} \{ a,b\}，所以这个函数依赖破坏了BCNF范式的要求。

那么我们如何将上述关系模式转化为满足BCNF范式要求的关系模式呢？方法和之前范式的规范化相同，很明显我们可以将(3)式转化为一张表：  
 \{ a , b \} → \{ c \} \\\{a,b\\\} \\to \\\{c\\\} \{ a,b\}→\{ c\}

![image-20190626233207750][]

这个关系模式不满足BCNF范式要求的原因在于 \{ c \} → \{ a \} \\\{c\\\} \\to \\\{a\\\} \{ c\}→\{ a\}，那么我们可以将上表拆分为两个表，即：  
 \{ c \} → \{ a \} \\\{c\\\} \\to \\\{a\\\} \{ c\}→\{ a\}

![image-20190626233220744][]

### 4NF ###

定义：在1NF的基础上**消除了非平凡且非函数依赖的多值依赖**后即满足4NF的要求，再进一步，对于关系模式中的**每个非平凡多值依赖的决定因素都包含候选码**，则满足4NF的要求，这一点和BCNF范式的要求类似，只是BCNF范式是相对于函数依赖所做的要求，这里是相对于多值依赖所做的要求。

比如现在有关系模式R(U)，U=\{课程，教师，参考书\}，该关系模式的依赖关系可总结为：  
 \{ 课 程 \} → \{ 参 考 书 \} \{ 教 师 \} → \{ 教 师 \} \\\{课程\\\} \\to \\\{参考书\\\}\\\\ \\\{教师\\\} \\to \\\{教师\\\}\\\\ \{ 课程\}→\{ 参考书\}\{ 教师\}→\{ 教师\}  
即候选码为\{课程\}、\{教师\}。

另外注意，且满足\{课程\}、\{教师\}、\{参考书\}三个子集之交为空、之并为U，这样可以得到：  
 \{ 课 程 \} → F F \{ 参 考 书 \} \\\{课程\\\} \\stackrel\{FF\}\\to \\\{参考书\\\} \{ 课程\}→FF\{ 参考书\}  
\{课程\}中包含了候选码\{课程\}，所以有\{参考书\}多值依赖于\{课程\}，即 课 程 参 考 书 \{ 课 程 \} → → \{ 参 考 书 \} 课程参考书\\\{课程\\\} \\to \\to \\\{参考书\\\} 课程参考书\{ 课程\}→→\{ 参考书\}.

而该关系模式中只有上述一个多值依赖，所以该关系模式属于4NF。

### 规范化总结 ###

1.  注意各个范式之间的关系：
    
    ![image-20190626224600378][]
2.  将一个非xNF转化为xNF的方法是对原有的关系模式进行分解，比如将1个关系模式分解为n个

### 数据依赖的公理系统 ###

对于一个关系模式R，其属性集为U、函数依赖集为F，如果对其中的任何一个关系r中的两个元组t，s，满足若t\[X\]=s\[X\]，则t\[Y\]=s\[Y\]，则称**F逻辑蕴含** X → Y X \\to Y X→Y。

可能大家看这个概念比较抽象，我们先来明确两个概念 ：

**关系：** 实体与实体之间的联系，在数据表中就是列的组合，比如\{学号，姓名，年级\}这就是一组关系，描述的是学号、姓名、年级这三个实体之间的联系。

**元组：** 数据表中每一行就是一个元组，比如\{161610000,张三，一年级\}这就是上述关系的一个元组

明确了这两个概念之后我们以上述实例来理解一下什么是F逻辑蕴含 X → Y X \\to Y X→Y：对于一张表，有3列，分别为学号、姓名、年级，其函数依赖集为：  
 F = \{ \{ 学 号 \} → \{ 姓 名 \} \{ 学 号 \} → \{ 年 级 \} \} F=\\\{\\\\ \\\{学号\\\} \\to \\\{姓名\\\}\\\\ \\\{学号\\\} \\to \\\{年级\\\}\\\\ \\\} F=\{ \{ 学号\}→\{ 姓名\}\{ 学号\}→\{ 年级\}\}

对于其中的任意两行（记为第t行和第s行），如果第t行和第s行的学号值相同，就有第s行的姓名值和第s行的姓名值相同，则称F逻辑蕴含 学 号 姓 名 \{ 学 号 \} → \{ 姓 名 \} 学号姓名\\\{学号\\\} \\to \\\{姓名\\\} 学号姓名\{ 学号\}→\{ 姓名\}，即函数依赖集F中蕴含的函数依赖为 学 号 姓 名 \{ 学 号 \} → \{ 姓 名 \} 学号姓名\\\{学号\\\} \\to \\\{姓名\\\} 学号姓名\{ 学号\}→\{ 姓名\}。

为了从函数依赖集F中寻找蕴含的函数依赖，比如已知函数依赖集F以及 X → Y X\\to Y X→Y，问 X → Y X \\to Y X→Y是否为F所蕴含，我们引入一套推理规则，即**Armstrong公理系统**：

设U为属性集总体，F是U上的一组函数依赖，于是有关系模式R<U,F>，对于R<U,F>有如下推理规则：

1.  自反律 ：若 Y ⊆ X ⊆ U Y\\subseteq X \\subseteq U Y⊆X⊆U，则 X → Y X\\to Y X→Y为F所蕴含
2.  增广率：若 X → Y X\\to Y X→Y为F所蕴含，且 Z ⊆ U Z\\subseteq U Z⊆U，则 X ∪ Z → Y ∪ Z X\\cup Z\\to Y \\cup Z X∪Z→Y∪Z为F所蕴含
3.  传递率：若 X → Y X\\to Y X→Y及 Y → Z Y \\to Z Y→Z为F锁蕴含，则 X → Z X\\to Z X→Z为F所蕴含

注意：由自反律得出的函数依赖均是平凡的函数依赖，因为 Y ⊆ X Y\\subseteq X Y⊆X.

### 总结 ###

本文我们总结学习了数据库中的关系数据库理论，由于本人太菜，文中可能会出现错误，如有读者发现，请及时联系我修改，不胜感谢。

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