欧拉回路与欧拉道路

末蓝、 2021-12-23 14:39 356阅读 0赞

**欧拉回路与欧拉道路**

**图G的一个[回路][Link 1]，若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为欧拉(Euler)回路。**

**如果一个图只是形成一个连通所有节点的链，且每一点只走一次，则成为欧拉道路。**

**具有欧拉回路或欧拉道路的图称为[欧拉图][Link 2]（简称E图）。**

**有向图的欧拉回路**

**一个有向图存在欧拉回路的前提条件是这个图是个连通图，其次要求其每个点的入度等于出度，或者其中有一个点的出度比入度大1，另一个点的入度比出度大一这样就存在一条欧拉回路。**

**如果其每个点的入度等于出度则从任意一点出发，可以走出一条欧拉回路，如果是第二种情况，则必须从出度大于入度 1 的点出发到入度大于出度 1 的点结束，走出一条欧拉道路。**

**无向图的欧拉回路**

**跟有向图一样，首先必须连通，其次如果最多只有两个奇点。则满足欧拉回路或欧拉道路，有奇点就从任意一个奇点出发找科形成一条欧拉道路，否则从任意一点出发都能找出欧拉回路。（注意：百度百科上是错的）**

**如果只是判断一个图是否能够形成欧拉回路的话，就用上面的思路：**

**首先根据出度跟入度的关系，判断是否满足要求**

**然后用判断图的连通性可以用并查集或者Dfs如果要求路径的话可以用Dfs**

**要是需要求出欧拉路径，就用下面这个函数。**

**下面这个程序，是通过遍历一个图来求其欧拉回路或欧拉道路的。如果需要打印欧拉道路，在主程序中调用，参数必须是道路的起点，另外说明的是，这样打印出来是逆序的，因此在使用的时候，应该用栈压入栈中，还有就是其对无向图和有向图遍历都有用。其实这个算法跟最小生成树prim里面每次求连接上一边最小权值的边算法一样，这个只是那个算法的一个简化。可根据那个进行理解。**

void euler(int u)
    {
        for(int v=0;v<n;v++)
        {
            if(map[u][v] && !vis[u][v])
            {
                vis[u][v] = vis[v][u] = 1;//如果是有向图的只需判断一个
                euler(v);
                printf("%d %d\n",u,v);
            }
        }
    }

### [uva10054 - The Necklace][] ###

### 这个题题意很容易理解，一个链子断了，链子上的珠子两边分别有两个值，要把所有珠子链起来的话任意两个相邻的珠子的值必须相等才行，另外要说的是第二组数据是一组很好的数据。可根据其推出是用无向图，首先判断是否满足每个点都是偶点（因为是回路，不是道路）。然后利用上面欧拉代码遍历输出即可。 ###

#include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <stack>
    #define Max 60
    using namespace std;
    int map[Max][Max];
    int in[Max];
    struct E{ int u, v; } tmp;
    stack <E> st;
    
    void euler( int u )
    {
        for ( int v = 1; v < n; ++v ) if ( map[u][v] )
        {
            map[u][v]--; map[v][u] = map[u][v];
            euler( v );
            tmp.u = u, tmp.v = v;
            st.push(tmp);
        }
    }
    int main()
    {
        int n,T,a,b;
        scanf("%d",&T);
        for(int cas=1;cas<=T;cas++)
        {
            scanf("%d",&n);
            memset(map,0,sizeof(map));
            memset(in,0,sizeof(in));
            //memset(out,0,sizeof(out));
            for(int i=0;i<n;i++)
            {
                scanf("%d%d",&a,&b);
                ++in[a];++in[b];
                ++map[a][b];
                map[b][a]=map[a][b];
            }
            bool ok=true;
            for(int i=0;i<=50;i++)
            {
                if(in[i]%2)
                    ok=false;
            }
            printf("Case #%d\n",cas);
            if(!ok)
            printf("some beads may be lost\n");
            else
            {
                euler(a);
                while ( !st.empty() ) {
                    tmp = st.top(); st.pop();
                    printf("%d %d\n", tmp.u, tmp.v);
                }
            }
            printf("\n");
        }
        return 0;
    }

### [UVA10129 - Play on Words][] 这道题题意是给出n个单词，让每个点此的首字母指向未字母形成连通，这样形成一个有向图，求这个有向图的欧拉回路。 ###

思想就是：首先读入图，然后根据出度和入度判断是否满足，单手Dfs判断连通性。

#include<stdio.h>
    #include<string.h>
    #include<math.h>
    int visit[26],a[26][26];
    void dfs(int x)
    {
        int i;
        visit[x]=0;
        for (i=0;i<26;i++)
        if ((visit[i]==1)&&(a[x][i]==1)) dfs(i);
    }
    int main()
    {
        int f,t,k1,k2,num,n,i,j,l,in[26],out[26];
        char s[1010];
        scanf("%d",&t);
        while (t--)
        {
            memset(a,0,sizeof(a));
            for (i=0;i<26;i++)
            {in[i]=0; out[i]=0; visit[i]=0;}
            scanf("%d\n",&n);
            while (n--)
            {
                gets(s); l=strlen(s);
                k1=s[0]-'a'; k2=s[l-1]-'a';
                ++in[k1]; ++out[k2];
                visit[k1]=1; visit[k2]=1;
                a[k1][k2]=1;
                num=k1;
            }
            for (i=0;i<26;i++)
            in[i]=in[i]-out[i];
            f=0; k1=0; k2=0;
            for (i=0;i<26;i++)
            {
                if (in[i]==-1) ++k1;
                else if (in[i]==1)  {++k2;num=i;} //因为是有向图，如果不是欧拉回路的情况，随便找个点为起点dfs不一定能遍历所有点，如3 a b b c c d只能以a为起点否则就会判断连通性错误
                else if (in[i]!=0)  f=1;
            }
    
            if (f==0)
            {
                if ((k1+k2==0) || ((k1==1)&&(k2==1)))
                {
                    dfs(num);
                    for (i=0;i<26;i++)
                    f+=visit[i];
                }
                else f=1;
            }
            if (f!=0) printf("The door cannot be opened.\n");
    	   else printf("Ordering is possible.\n");
    
        }
        return 0;
    }

[Link 1]: http://baike.baidu.com/view/727107.htm
[Link 2]: http://baike.baidu.com/view/143349.htm
[uva10054 - The Necklace]: http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=995
[UVA10129 - Play on Words]: http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=1070