【杂题】[LibreOJ 2541] 【PKUWC2018】猎人杀【生成函数】【概率与期望】

谁借莪１个温暖的怀抱￠ 2021-12-23 12:39 189阅读 0赞

## Description ##

猎人杀是一款风靡一时的游戏“狼人杀”的民间版本，他的规则是这样的：  
一开始有 n个猎人，第 i 个猎人有仇恨度 wi。每个猎人只有一个固定的技能：死亡后必须开一枪，且被射中的人也会死亡。  
然而向谁开枪也是有讲究的，假设当前还活着的猎人有\\(\[i\_1...i\_m\]\\)，那么有\\(w\_\{i\_k\}\\over \\sum\\limits\_\{j=1\}^\{m\} w\_\{i\_j\}\\)的概率是向猎人\\(i\_k\\) 开枪  
一开始第一枪由你打响，目标的选择方法和猎人一样（即有\\(w\_\{i\}\\over \\sum\\limits\_\{j=1\}^\{m\} w\_\{j\}\\)的概率射中第i个猎人）。由于开枪导致的连锁反应，所有猎人最终都会死亡，现在1号猎人想知道它是最后一个死的的概率。  
对998244353取模  
\\(w\_i>0,\\sum w\_i\\leq 100000\\)

## Solution ##

首先有结论，我们假设可以对已经死亡的猎人开枪，对已经死亡猎人开枪之后继续开枪，那么问题是等价的。

这样就好做不少，因为每个人中枪的概率就固定了。  
根据这个结论，我们来推一波式子。

我们可以将整个开枪过程看做是一个序列，每个数可以出现多次，每个数出现有概率，题目问的是1出现时其他所有数都已经出现过的概率。

考虑指数型生成函数，设\\(t=\\sum w\_k\\)，容易得出除1号外i号猎人的EGF是\\\[\\sum\\limits\_\{j>0\}\{w\_i^jx^j\\over t^ji!\}=e^\{w\_ix\\over t\}-1\\\]

那么将这些猎人拼接，总的式子就是\\\[\\prod\\limits\_\{k=2\}^\{n\}(e^\{w\_kx\\over t\}-1)\\\]

假设有3个猎人，2,3号猎人拼在一起就是\\(e^\{(w\_2+w\_3)x\\over t\}-e^\{w\_2x\\over t\}-e^\{w\_3x\\over t\}+1\\)

对于每个EGF，它对总概率的贡献就是其系数之和  
对于\\(e^\{px\}\\)，将其系数求和（不考虑阶乘），就是等比数列求和的形式，可以得出和就是\\(1\\over 1-p\\)

那么对于上面的式子，一样计算和，然后加到一起，最后再乘上\\(w\_1/t\\)（最后一次要选上1号）

现在问题的关键就是要算上面的乘积的每一项\\(e^\{px\}，p\\in\[0,t\]\\)的系数

我们可以把每个\\(e^\{px\}\\)也看做多项式的一项，因为同是指数相加，可以构造多项式\\(x^\{w\_k\\over t\}-1\\)，那么\\\[\\prod\\limits\_\{k=2\}^\{n\}(x^\{w\_k\\over t\}-1)\\\]  
的每一项\\(x^\{p\}\\)前的系数就是原式中每一个\\(e^\{px\}\\)的系数  
可以先不看t，用分治NTT做，最后再算上。

总复杂度\\(O(n\\log^2 n)\\)

## Code ##

#include <cstdio>
    #include <iostream>
    #include <cmath>
    #include <cstring>
    #include <cstdlib>
    #include <algorithm>
    #define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
    #define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
    #define M 262144
    #define L 18
    #define mo 998244353
    #define LL long long
    #define N 100005
    using namespace std;
    LL wi[M+1],wg[M+1],a[M+1],b[M+1],c[M+1],ny,w[N];
    int a1[N],bit[M+1],sz[N],n1,n,sm[N],l2[M+1],cf[L+1],sum;
    LL ksm(LL k,LL n)
    {
        LL s=1;
        for(;n;n>>=1,k=k*k%mo) if(n&1) s=s*k%mo;
        return s;   
    }
    void prp(int num)
    {
        fo(i,0,num-1) bit[i]=(bit[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l2[num]-1));
        fo(i,0,num) wi[i]=wg[M/num*i];
        ny=ksm(num,mo-2);
    }
    void NTT(LL *a,bool pd,int num)
    {
        LL v,w;
        fo(i,0,num-1) if(i<bit[i]) swap(a[i],a[bit[i]]);
        for(int m=2,lim=num>>1,half=1;m<=num;half=m,m<<=1,lim>>=1)
        {
            fo(i,0,half-1)
            {
                w=(!pd)?wi[i*lim]:wi[num-i*lim];
                for(int j=i;j<num;j+=m)
                {
                    v=a[j+half]*w%mo;
                    a[j+half]=(a[j]-v+mo)%mo;
                    a[j]=(a[j]+v)%mo;
                }
            }
        }
        if(pd) fo(i,0,num-1) a[i]=a[i]*ny%mo;
    }
    void doit(int l,int r)
    {
        if(l==r) return;
        int mi=sm[n],mid=l;
        fo(j,l,r-1) if(max(sm[j]-sm[l-1],sm[r]-sm[j])<mi) mi=max(sm[j]-sm[l-1],sm[r]-sm[j]),mid=j;
        doit(l,mid),doit(mid+1,r);
        int num=cf[l2[sz[mid+1]+sz[l]+1]];
        prp(num);
        fo(i,0,num-1) b[i]=c[i]=0;
        fo(i,0,sz[l]) b[i]=a[a1[l]+i];
        fo(i,0,sz[mid+1]) c[i]=a[a1[mid+1]+i];
        NTT(b,0,num),NTT(c,0,num);
        fo(i,0,num-1) b[i]=b[i]*c[i]%mo;
        NTT(b,1,num);
        sz[l]+=sz[mid+1];
        fo(i,0,sz[l]) a[a1[l]+i]=b[i];
    }
    int main()
    {
        cin>>n;
        int l=-1;
        cf[0]=1;
        fo(i,1,18) cf[i]=(cf[i-1]<<1),l2[cf[i]]=i;
        fod(i,M-1,2) if(!l2[i]) l2[i]=l2[i+1];
        fo(i,1,n)
        {
            int c;
            scanf("%d",&w[i]);
            c=w[i],sum+=c;
            if(i!=1) 
            {
                a1[i]=++l;
                a[l]=mo-1;
                l+=c;
                a[l]=1,sz[i]=c,sm[i]=sz[i]+sm[i-1];
            }
        }
        wg[0]=1;
        LL v=ksm(3,(mo-1)/M);
        fo(i,1,M) wg[i]=wg[i-1]*v%mo;
        doit(2,n);
        LL ans=0;
        fo(i,0,sm[n]) 
            ans=(ans+a[i]*(LL)sum%mo*ksm(sum-i,mo-2)%mo+mo)%mo; 
        printf("%lld\n",ans*w[1]%mo*(LL)ksm(sum,mo-2)%mo);
    }

转载于:https://www.cnblogs.com/BAJimH/p/10575199.html