半正多面体

「爱情、让人受尽委屈。」 2021-12-23 04:57 425阅读 0赞

## 前言 ##

## 典例剖析 ##

例1【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第16题】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”，半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，图2是一个棱数为\\(48\\)的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为\\(1\\)，则该半正多面体共有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_个面，其棱长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

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分析：半正多面体的制作过程，如下图所示；

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![992978-20190620115937804-1460357155.png][]

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解析：如果我们将其看成是三层的，则每一层都有\\(8\\)个面，再外加上下两个面，故共有\\(3\\times 8+2=26\\)个面。

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如图所示，设棱长为\\(x\\)，即\\(MN=NE=x\\)，由\\(\\triangle EHN\\)为等腰直角三角形，

由\\(NE=x\\)，则可知\\(NH=\\cfrac\{\\sqrt\{2\}\}\{2\}x\\)，又\\(MN+2NH=1\\)，

则\\(x+2\\times \\cfrac\{\\sqrt\{2\}\}\{2\}x=1\\)，即\\((\\sqrt\{2\}+1)x=1\\)，解得\\(x=\\sqrt\{2\}-1\\).

综上可知，此半正多面体共有\\(26\\)个面，棱长为\\(\\sqrt\{2\}-1\\)。

【解后反思】

1、求其表面积；

2、求其体积；

3、求其内切球的半径；

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分析：由这个动画可以看出，该半正多面体没有内切球。

4、求其外接球的半径；  
![992978-20190620182517151-2054433315.gif][]

外接球的半径可以借助下图来求解。

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5、[古典概型中的几何体计数 ][Link 1]

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