数据结构和算法-16-树和二叉树的概念

本是古典何须时尚 2021-12-21 06:33 152阅读 0赞

这篇开始学习树这种数据结构，二叉树肯定听说过，还有什么红黑树，在JDK 1.8中HashMap就采用了红黑树实现。在学习这种数据结构算法之前，看看树的概念和分类。

**1.树的概念**

树（tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是视作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n(n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一颗倒挂的树，也就是说它是树根朝上，er  
叶朝下的。它具有以下的特点：

*  每个节点有零个或多个子节点
 *  没有父节点的节点称为根节点
 *  每一个非根节点有且只有一个父亲节点
 *  除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。

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上图就是一个树的例子，对着这张图，看看上面给出的树的四个特点。或者下面这种也是常用树的表示

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**2.树的术语**

**节点的度**：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度。

这个理解就是，上图中B节点的度是多少，其实就是问B有多少个下属节点，每一个节点都可以形成一棵树，所以B节点的度是3（D E F三个节点）

**树的度**：一颗树中，最大的节点的度称为树的度。

在上面这颗树中，B节点的度最大是3，所以这棵树度就是3.

**叶节点或终端节点**：度为零的节点

度为0也就是这个节点下没有下属节点，形象比喻就是树的叶子部分。上图中K O P J L就是叶子节点

**父亲节点或父节点**：一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点。

E D F的父节点是B

**孩子节点或子节点**：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点。

EDF是B节点的子节点

**兄弟节点**：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点

E D F互相为兄弟节点，共同拥有一个B父节点

**节点的层次**：从根节点开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推

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每条红线表示一层，一共有五层。

**树的高度或深度**：树中节点的最大层次

根据上面概念，这棵树的深度是5

**堂兄弟节点**：父节点在同一层的节点互为堂兄弟

**节点的祖先**：从根节点所经分支上的所有节点

**子孙**：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。

**森林**：由m（m>=0）颗互不相交的树的集合称为森林。

上面这些概念，重点体会节点深度 树的深度概念，其他什么知道就行。

**3.树的分类**

大方面来说，树可以分成有序和无序树。无序树没有什么研究价值，所以我们一般都研究有序树。

**无序树**：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也叫自由树。  
**有序树**：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树。  
   ** 二叉树**：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树  
             **完全二叉树**：对于一颗二叉树，假设其深度为d，处理第d层外，其他各层的节点树均达最大值，  
                且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树称为完全二叉树。  
            **满二叉树**：所有叶节点都在最底层的完全二叉树。  
           **平衡二叉树**（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树  
           **排序二叉树**（二叉查找树）：也叫二叉搜索树，有序二叉树  
    **霍夫曼树**（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树  
   ** B树**：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据库有序，拥有多余两个子树。

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上面是一个完全二叉树例子，除了最底层，其他各层的节点树都达到最大数，也就是2，当然根节点最大数也是B C两个，也是2，这样的二叉树叫做完全二叉树。

**4.常见一些树的应用场景**

1.  xml html等，元素解析就用到了树，例如我们知道的DOM元素解析xml
2.  路由协议就是使用树的算法
3.  mysql数据库索引
4.  文件系统的目录结构‘
5.  AI算法很多也是树的搜索，机器学习中的决策树也是树的结构。

**5.二叉树概念**

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）

**6.二叉树的特点**

1.  在二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个节点，例如第3层最多有4个节点。（i>0）
2.  深度为k的二叉树最多有2^k-1个节点（k>0）
3.  对于任意一棵二叉树，如果其叶节点数位NO，而度数为2的节点总数为N2，则 NO=N2+1
4.  具有n个节点的完全二叉树深度必为log2(n+1)
5.  对完全二叉树，从上至下，从左至右编号，则编号为i的节点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i+1，其双亲的编号比为i/2(i=1时为根除外)

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