数据结构与算法之BFPRT算法

在BFPTR算法中，仅仅是改变了快速排序Partion中的pivot值的选取，在快速排序中，我们始终选择第一个元素或者最后一个元素作为pivot，而在BFPTR算法中，每次选择五分中位数的中位数作为pivot，这样做的目的就是使得划分比较合理，从而避免了最坏情况的发生。
算法步骤如下
（1）将输入数组的n个元素划分为n/5组，每组5个元素，且至多只有一个组由剩下的n%5个元素组成。
（2）寻找n/5个组中每一个组的中位数，首先对每组的元素进行插入排序，然后从排序过的序列中选出中位数。
（3）对于（2）中找出的n/5个中位数，递归进行步骤（1）和（2），直到只剩下一个数即为这n/5个元素的中位数，找到中位数后并找到对应的下标p。
（4）进行Partion划分过程，Partion划分中的pivot元素下标为p。
（5）进行高低区判断即可。
本算法的最坏时间复杂度为O(n)，值得注意的是通过BFPTR算法将数组按第K小（大）的元素划分为两部分，而
这高低两部分不一定是有序的，通常我们也不需要求出顺序，而只需要求出前K大的或者前K小的。

2. BFPRT算法代码实现

附上堆排序下找k小的值和BFPRT算法的代码实现

public class Code_06_BFPRT {
    // O(N*logK)
    public static int[] getMinKNumsByHeap(int[] arr, int k) {
        if (k < 1 || k > arr.length) {
            return arr;
        }
        int[] kHeap = new int[k];
        for (int i = 0; i != k; i++) {
            heapInsert(kHeap, arr[i], i);
        }
        for (int i = k; i != arr.length; i++) {
            if (arr[i] < kHeap[0]) {
                kHeap[0] = arr[i];
                heapify(kHeap, 0, k);
            }
        }
        return kHeap;
    }
    public static void heapInsert(int[] arr, int value, int index) {
        arr[index] = value;
        while (index != 0) {
            int parent = (index - 1) / 2;
            if (arr[parent] < arr[index]) {
                swap(arr, parent, index);
                index = parent;
            } else {
                break;
            }
        }
    }
    public static void heapify(int[] arr, int index, int heapSize) {
        int left = index * 2 + 1;
        int right = index * 2 + 2;
        int largest = index;
        while (left < heapSize) {
            if (arr[left] > arr[index]) {
                largest = left;
            }
            if (right < heapSize && arr[right] > arr[largest]) {
                largest = right;
            }
            if (largest != index) {
                swap(arr, largest, index);
            } else {
                break;
            }
            index = largest;
            left = index * 2 + 1;
            right = index * 2 + 2;
        }
    }
    // O(N)
    public static int[] getMinKNumsByBFPRT(int[] arr, int k) {
        if (k < 1 || k > arr.length) {
            return arr;
        }
        int minKth = getMinKthByBFPRT(arr, k);
        int[] res = new int[k];
        int index = 0;
        for (int i = 0; i != arr.length; i++) {
            if (arr[i] < minKth) {
                res[index++] = arr[i];
            }
        }
        for (; index != res.length; index++) {
            res[index] = minKth;
        }
        return res;
    }
    public static int getMinKthByBFPRT(int[] arr, int K) {
        int[] copyArr = copyArray(arr);
        return select(copyArr, 0, copyArr.length - 1, K - 1);
    }
    public static int[] copyArray(int[] arr) {
        int[] res = new int[arr.length];
        for (int i = 0; i != res.length; i++) {
            res[i] = arr[i];
        }
        return res;
    }
    public static int select(int[] arr, int begin, int end, int i) {
        if (begin == end) {
            return arr[begin];
        }
        int pivot = medianOfMedians(arr, begin, end);
        int[] pivotRange = partition(arr, begin, end, pivot);
        if (i >= pivotRange[0] && i <= pivotRange[1]) {
            return arr[i];
        } else if (i < pivotRange[0]) {
            return select(arr, begin, pivotRange[0] - 1, i);
        } else {
            return select(arr, pivotRange[1] + 1, end, i);
        }
    }
    public static int medianOfMedians(int[] arr, int begin, int end) {
        int num = end - begin + 1;
        int offset = num % 5 == 0 ? 0 : 1;
        int[] mArr = new int[num / 5 + offset];
        for (int i = 0; i < mArr.length; i++) {
            int beginI = begin + i * 5;
            int endI = beginI + 4;
            mArr[i] = getMedian(arr, beginI, Math.min(end, endI));
        }
        return select(mArr, 0, mArr.length - 1, mArr.length / 2);
    }
    public static int[] partition(int[] arr, int begin, int end, int pivotValue) {
        int small = begin - 1;
        int cur = begin;
        int big = end + 1;
        while (cur != big) {
            if (arr[cur] < pivotValue) {
                swap(arr, ++small, cur++);
            } else if (arr[cur] > pivotValue) {
                swap(arr, cur, --big);
            } else {
                cur++;
            }
        }
        int[] range = new int[2];
        range[0] = small + 1;
        range[1] = big - 1;
        return range;
    }
    public static int getMedian(int[] arr, int begin, int end) {
        insertionSort(arr, begin, end);
        int sum = end + begin;
        int mid = (sum / 2) + (sum % 2);
        return arr[mid];
    }
    public static void insertionSort(int[] arr, int begin, int end) {
        for (int i = begin + 1; i != end + 1; i++) {
            for (int j = i; j != begin; j--) {
                if (arr[j - 1] > arr[j]) {
                    swap(arr, j - 1, j);
                } else {
                    break;
                }
            }
        }
    }
    public static void swap(int[] arr, int index1, int index2) {
        int tmp = arr[index1];
        arr[index1] = arr[index2];
        arr[index2] = tmp;
    }
    public static void printArray(int[] arr) {
        for (int i = 0; i != arr.length; i++) {
            System.out.print(arr[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {
     6, 9, 1, 3, 1, 2, 2, 5, 6, 1, 3, 5, 9, 7, 2, 5, 6, 1, 9 };
        // sorted : { 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 9, 9, 9 }
        printArray(getMinKNumsByHeap(arr, 10));
        printArray(getMinKNumsByBFPRT(arr, 10));
    }
}