虚数的意义【转载】

ゝ一纸荒年。 2021-12-16 15:03 318阅读 0赞

有人在[Stack Exchange][]问了一个问题：

> 　　"我一直觉得虚数（imaginary number）很难懂。
> 
> 　　中学老师说，虚数就是-1的平方根。
> 
> 　　![chart_cht_tx_chl_i_3D_5Csqrt_7B-1_7D_chs_80][]
> 
> 　　可是，什么数的平方等于-1呢？计算器直接显示出错！
> 
> 　　直到今天，我也没有搞懂。谁能解释，虚数到底是什么？
> 
> 　　它有什么用？"

帖子的下面，很多人给出了自己的解释，还推荐了一篇非常棒的文章[《虚数的图解》][Link 1]。我读后恍然大悟，醍醐灌顶，原来虚数这么简单，一点也不奇怪和难懂！

下面，我就用自己的语言，讲述我所理解的虚数。

一、什么是虚数？

首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。

![bg2012092401.png][]

这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。

![bg2012092402.png][]

这相当于两次逆时针旋转90度。

![bg2012092403.png][]

因此，我们可以得到下面的关系式：

> 　　(+1) \* (逆时针旋转90度) \* (逆时针旋转90度) = (-1)

如果把+1消去，这个式子就变为：

> 　　(逆时针旋转90度)^2 = (-1)

将"逆时针旋转90度"记为 i ：

> 　　i^2 = (-1)

这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。

所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。

二、复数的定义

既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。

![bg2012092404.png][]

将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。

只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。

数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。

为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。

三、虚数的作用：加法

虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。

![bg2012092405.png][]

比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ，另一个力是 1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？

![bg2012092406.png][]

根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。

这就是虚数加法的物理意义。

四、虚数的作用：乘法

如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。

![bg2012092407.png][]

比如，一条船的航向是 3 + 4i 。

如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？

![bg2012092408.png][]

45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：

> 　　( 3 + 4i ) \* ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以，该船的新航向是 -1 + 7i 。

如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：

> 　　( 3 + 4i ) \* i = ( -4 + 3i )

这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。

五、虚数乘法的数学证明

为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？

下面就是它的数学证明，实际上很简单。

![bg2012092409.png][]

任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。

假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：

> 　　a + bi = r1 \* ( cosα + isinα )
> 
> 　　c + di = r2 \* ( cosβ + isinβ )

这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于

> 　　r1 \* r2 \* ( cosα + isinα ) \* ( cosβ + isinβ )

展开后面的乘式，得到

> 　　cosα \* cosβ - sinα \* sinβ + i( cosα \* sinβ + sinα \* cosβ )

根据三角函数公式，上面的式子就等于

> 　　cos(α+β) + isin(α+β)

所以，

> 　　( a + bi )( c + di )　＝　r1 \* r2 \* ( cos(α+β) + isin(α+β) )

这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。

（完）

转自：[阮一峰][Link 2]的博客

http://www.ruanyifeng.com/blog/2012/09/imaginary\_number.html

转载于:https://www.cnblogs.com/townsend/p/4115385.html

[Stack Exchange]: http://math.stackexchange.com/questions/199676/what-are-imaginary-numbers
[chart_cht_tx_chl_i_3D_5Csqrt_7B-1_7D_chs_80]: http://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=i%3D%5Csqrt%7B-1%7D&chs=80
[Link 1]: http://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/
[bg2012092401.png]: http://image.beekka.com/blog/201209/bg2012092401.png
[bg2012092402.png]: http://image.beekka.com/blog/201209/bg2012092402.png
[bg2012092403.png]: http://image.beekka.com/blog/201209/bg2012092403.png
[bg2012092404.png]: http://image.beekka.com/blog/201209/bg2012092404.png
[bg2012092405.png]: http://image.beekka.com/blog/201209/bg2012092405.png
[bg2012092406.png]: http://image.beekka.com/blog/201209/bg2012092406.png
[bg2012092407.png]: http://image.beekka.com/blog/201209/bg2012092407.png
[bg2012092408.png]: http://image.beekka.com/blog/201209/bg2012092408.png
[bg2012092409.png]: http://image.beekka.com/blog/201209/bg2012092409.png
[Link 2]: http://www.ruanyifeng.com/