并行算法的设计基础

约定不等于承诺〃 2021-12-16 14:19 969阅读 0赞

#  #

## 并行算法的定义和分类 ##

*  并行算法：一些可同时执行的诸进程的集合，这些进程互相作用和协调动作从而达到给定问题的求解。

### 并行算法分类 ###

*  数值计算与非数值计算
 *  同步算法和异步算法
 *  分布算法
 *  确定算法和随机算法

## 并行算法的表达 ##

### 描述语言 ###

*  可以使用类Algol、类Pascal等。
 *  在描述语言中引入并行语句。

## 并行算法的复杂性度量 ##

### 串行算法的复杂性度量 ###

*  最坏情况下的复杂度（Worst-CASE Complexity）
 *  期望复杂度（Expected Complexity）

### 并行算法的复杂性度量 ###

*  运行时间t(n)：包含计算时间和通信时间，分别用计算时间步和选路时间步作单位。n为问题实例的输入规模。
 *  处理器数p(n)
 *  并行算法成本c(n)：c(n)=t(n)p(n)
 *  总运算量W(n)：并行算法求解问题时所完成的总的操作步数。

Brent定理

令W(n)是某并行算法A在运行时间T(n)内所执行的运算量，则A使用p台处理器可在t(n)=O(W(n)/p+T(n))时间内执行完毕。

*  W(n)和c(n)密切相关
 *  P=O(W(n)/T(n))时，W(n)和c(n)两者是渐进一致的
 *  对于任意的p，c(n)>W(n)

## 并行算法中的同步和通讯 ##

### 同步 ###

*  同步是在时间上强使各执行进程在某一点必须互相等待
 *  可用软件、硬件和固件的方法来实现

### 通讯 ###

*  共享存储多处理器使用：global read(X,Y)和global write(X,Y)
 *  分布存储多计算机使用：send(X,i)和receive(Y,j)

# 并行计算模型 #

## PRAM模型 ##

> PRAM（Parallel Random Access Machine）模型是多指令流多数据流（MIMD）并行机中的一种具有共享存储的模型。

### 基本概念 ###

*  由Fortune和Wyllie于1978年提出，又称SIMD-SM模型。有一个集中的共享存储器和一个指令控制器，通过SM（流多处理器）的R/W交换数据，隐式同步计算。

### 结构图 ###

![730840-20181117112556449-1270888652.png][]

### 分类 ###

(1)PRAM-CRCW并发度并发写

*  CPRAM-CRCW(Common PRAM-CRCW)：仅允许写入相同数据
 *  PPRAM-CRCW(Priority PRAM-CRCW)：仅允许优先级最高的处理器写入
 *  APRAM-CRCW(Arbitrary PRAM-CRCW)：允许任意处理器自由写入

(2)PRAM-CREW并发读互斥写

(3)PRAM-EREW互斥读互斥写

### 计算能力比较 ###

*  PRAM-CRCW是最强的计算模型，PRAM-EREW可logp倍模拟PRAM-CREW和PRAM-CRCW

![730840-20181117113836930-299218075.png][]

### 优缺点 ###

*  适合并行算法表示和复杂性分析，易于使用，隐藏了并行机的通讯、同步等细节

*  不适合MIMD并行机，忽略了SM的竞争、通讯延迟等因素。

## 异步APRAM模型 ##

### 基本概念 ###

*  又称分相（Phase）PRAM或MIMD-SM。每个处理器有其局部存储器、局部时钟、局部程序；无全局时钟，各处理器异步执行；处理器通过SM进行通讯；处理器间依赖关系，需在并行程序中显式地加入同步路障。

### 指令类型 ###

1.  全局读
2.  全局写
3.  局部操作
4.  同步

### 计算过程 ###

由同步障分开全局相组成

![730840-20181117140957678-444212264.png][]

### 计算时间 ###

*  设局部操作位单位时间；全局读/写平均时间为d，d随着处理器数目的增加而增加；同步路障时间为B=B(p)非降函数。
 *  满足关系2≤d≤B≤p；B=B(n)=O(dlogp)或O(dlogp/logd)令tph为全局相内各处理器执行时间最长者，则APRAM上的计算时间为：T=∑tph+B×同步障次数

### 优缺点 ###

*  易编程和分析算法的复杂度。
 *  但与现实相差较远，其上并行算法非常有限，也不适合MIMD-DM模型。

## BSP模型 ##

### 基本概念 ###

由Valiant（1990）提出的，“块”同步模型，是一种异步MIMD-DM模型，支持消息传递系统，块内异步并行，块间显式同步。

### 模型参数 ###

*  p：处理器数（带有存储器）
 *  l：同步障时间（Barrier synchronization time）
 *  g：带宽因子（time steps/packet）=1/bandwidth

### 计算过程 ###

由若干超级步组成，每个超级步计算模式为下图：

![730840-20181117142440412-1106474544.png][]

### 优缺点 ###

*  强调了计算和通讯的分离，提供了一个编程环境，易于程序复杂性分析。
 *  但是需要显式同步机制，限制至多h条消息的传递等。

## logP模型 ##

### 基本概念 ###

由Culler（1993）年提出的，是一种分布存储的、点到点通讯的多处理机模型，其中通讯由一组参数描述，实行隐式同步。

### 模型参数 ###

*  l：network latency
 *  o：communication overhead
 *  g：gap=1/bandwidth
 *  P：\#processors

注：l和g反映了通讯网络的容量

### 优缺点 ###

*  捕捉了MPC的通讯瓶颈，隐藏了并行机的网络拓扑、路由、协议，可以应用到共享存储、消息传递、数据并行的编程模型中。
 *  但难以进行算法描述、设计和分析。

## BSP vs. logP ##

*  BSP→logP：BSP块同步→BSP子集同步→BSP进程对同步=logP
 *  BSP可以常数因子模拟logP，logP可以对数因子模拟BSP
 *  BSP=logP+Barriers-Overhead
 *  BSP提供了更方便的程设环境，logP更好地利用了机器资源
 *  BSP似乎更简单、方便和符合结构化编程

# 并行算法的一般设计方法 #

## 串行算法的直接并行化 ##

### 算法设计方法描述 ###

方法描述

*  发掘和利用现有串行算法中的并行性，直接将串行算法改造为并行算法。

评注

*  由串行算法直接并行化的方法是并行算法设计的最常用方法之一
 *  不是所有的串行算法都可以直接并行化的
 *  一个好的串行算法并不能并行化为一个好的并行算法
 *  许多数值串行算法可以并行化为有效的数值并行算法

### 例：快排序算法的并行化 ###

> 算法：PRAM-CRCW上的快排序二叉树构造算法
> 
> 输入：序列（A1,...,An）和n个处理器
> 
> 输出：供排序用的一颗二叉排序数
> 
> ![730840-20181117145358784-24351806.png][]

## 从问题描述开始设计并行算法 ##

### 方法描述 ###

*  从问题本身描述出发，不考虑相应的串行算法，设计一个全新的并行算法。

### 评注 ###

*  挖掘问题的固有特性与并行的关系
 *  设计全新的并行算法是一个挑战性和创造性的工作
 *  利用串的周期性的PRAM-CRCW算法是一个很好的范例

## 借用已有的算法求解新问题 ##

### 方法描述 ###

*  找出求解问题和某个已解决问题之间的联系
 *  改造或利用已知算法应用到求解问题上

### 评注 ###

*  这是一项创造性的工作
 *  使用矩阵乘法算法求解所有点对间最短路径是一个很好的范例

## 利用矩阵乘法求所有点对间最短路径 ##

### 计算原理 ###

![730840-20181117151056238-1477342036.png][]

# 并行算法的基本设计技术 #

## 划分设计技术 ##

*  均匀划分技术
 *  方根划分技术
 *  对数划分技术
 *  功能划分技术

## 分治设计技术 ##

### 并行分治设计步骤 ###

*  将输入划分成若干个规模相等的子问题
 *  同时（并行地）递归求解这些子问题
 *  并行地归并子问题的解，直至得到原问题的解

### 双调归并网络 ###

## 平衡数设计技术 ##

### 设计思想 ###

*  以树的叶节点为输入，中间节点为处理节点，由叶向根或由根向叶逐层进行并行处理。

## 倍增设计技术 ##

### 设计思想 ###

*  又称指针跳跃（pointer jumping）技术，特别适合于处理链表或有向树之类的数据结构
 *  当递归调用时，所要处理数据之间的距离逐步加倍，经过k步后即可完成距离为2k的所有数据的计算

## 流水线设计技术 ##

### 设计思想 ###

*  将算法流程划分成p个前后衔接的任务片段，每个任务片段的输出作为下一个任务片段的输入
 *  所有任务片段按同样的速率产生出结果

### 评注 ###

*  流水线技术是一种广泛应用在并行处理中的技术
 *  脉动算法（Systolic algorithm）是其中一种流水线技术

# 并行算法的一般设计过程 #

## PCAM设计方法学 ##

设计并行算法的四个阶段：

*  划分（Partitioning）：分解成小的任务，开拓并发性
 *  通讯（Communication）：确定诸任务间的数据交换，监测划分的合理性
 *  组合（Agglomeration）：依据任务的局部性，组合成更大的任务
 *  映射（Mapping）：将每个任务分配到处理器上，提高算法的性能

## PCAM设计过程 ##

![730840-20181117154700189-2085445345.png][]

## 划分 ##

### 划分的方法描述 ###

*  充分开拓算法的并发性和可扩展性
 *  先进行数据分解（称域分解），再进行计算功能的分解（称功能分解）
 *  使数据集和计算集互不相交
 *  划分阶段忽略处理器数目和目标机器的体系结构
 *  能分为两类划分：①域分解（domain decomposition）；②功能分解（functional decomposition）

### 域分解 ###

*  划分的对象是数据，可以是算法的输入数据、中间处理数据和输出数据
 *  将数据分解成大致相等的小数据片
 *  划分时考虑数据上的相应操作
 *  如果一个任务需要别的任务中的数据，则会产生任务间的通讯

### 功能分解 ###

*  划分的对象是计算，将计算划分为不同的任务，其出发点不同于域分解
 *  划分后，研究不同任务所需的数据。如果这些数据不相交的，则划分是成功的；如果数据有相当的重叠，意味着要重新进行域分解和功能分解
 *  功能分解是一种更深层次的分解

### 划分依据 ###

*  划分是否具有灵活性？
 *  划分是否避免了冗余计算和存储？
 *  划分任务尺寸是否大致相当？
 *  任务数与问题尺寸是否成比例？
 *  功能分解是一种更深层次的分解，是否合理？

## 通讯 ##

### 通讯方法描述 ###

*  通讯是PCAM设计过程的重要阶段
 *  划分产生的诸任务，一般不能完全独立执行，需要在任务间进行数据交流；从而产生了通讯
 *  功能分解确定了诸任务之间的数据流
 *  诸任务是并发执行的，通讯则限制了这种并发性

### 四种通讯模式 ###

*  局部/全局通讯
 *  结构化/非结构化通讯
 *  静态/动态通讯
 *  同步/异步通讯

### 通讯判据 ###

*  所有任务是否执行大致相当的通讯？
 *  是否尽可能的局部通讯？
 *  通讯操作是否能并行执行？
 *  同步任务的计算能否并行执行？

## 组合 ##

### 方法描述 ###

*  组合是由抽象到具体的过程，是将组合的任务能在一类并行机上有效的执行
 *  合并小尺寸任务，减少任务数。如果任务数恰好等于处理器数，则也完成了映射过程
 *  通过增加任务的粒度和重复计算，可以减少通讯成本
 *  保持映射和扩展的灵活性，降低软件工程成本

### 表面-容积效应 ###

*  通讯量与任务子集的表面成正比，计算量与任务子集的体积成正比
 *  增加重复计算有可能减少通讯量

![730840-20181118093714511-80832963.png][]

### 重复计算 ###

*  重复计算减少通讯量，但增加了计算量，应保持恰当的平衡
 *  重复计算的目标应减少算法的总运算时间

### 组合判据 ###

*  增加粒度是否减少了通讯成本？
 *  重复计算是否已权衡了其得益？
 *  是否保持了灵活性和可扩展性？
 *  组合的任务数是否与问题尺寸成比例？
 *  是否保持了类似的计算和通讯？
 *  有没有减少并行执行的机会？

## 映射 ##

### 方法描述 ###

*  每个任务要映射到具体的处理器，定位到运行机器上
 *  任务数大于处理器数时，存在负载平衡和任务调度问题
 *  映射的目标：减少算法的执行时间（并行的任务→不同的处理器；任务之间存在高通讯的→同一处理器）
 *  映射实际是一种权衡，属于NP完全问题

### 负载平衡算法 ###

*  静态的：事先确定
 *  概率的：随机确定
 *  动态的：执行期间动态负载
 *  基于域分解的：递归对剖；局部算法；概率方法；循环映射

### 任务调度算法 ###

*  任务放在集中的或分散的任务池中，使用任务调度算法将池中的任务分配给特定的处理器

### 映射判据 ###

*  采用集中式负载平衡方案，是否存在通讯瓶颈？
 *  采用动态负载平衡方案，调度策略的成本如何？

## 参考文献 ##

https://wenku.baidu.com/view/b183017a1ed9ad51f01df2d7.html?rec\_flag=default&sxts=1542421861193

https://wenku.baidu.com/view/17709aca3186bceb19e8bbd4.html?rec\_flag=default&sxts=1542421875283

https://wenku.baidu.com/view/b994bbf6998fcc22bcd10dd7.html?rec\_flag=default&sxts=1542421883056

[730840-20181117112556449-1270888652.png]: /images/20211214/1d89e5257d89412a995e122d9e6a59e7.png
[730840-20181117113836930-299218075.png]: /images/20211214/85ef27a1b25043f9bf2b6af33576b9c4.png
[730840-20181117140957678-444212264.png]: /images/20211214/76d21e761ba4445daadf6587aa1068a4.png
[730840-20181117142440412-1106474544.png]: /images/20211214/432a0f1f28de477db576760ac9e409cb.png
[730840-20181117145358784-24351806.png]: /images/20211214/5a46453aa6164303868ff2ba218a31b5.png
[730840-20181117151056238-1477342036.png]: /images/20211214/8a01ef20d2bc460082b1901a6f32719c.png
[730840-20181117154700189-2085445345.png]: /images/20211214/a527d15e68174aff87b33127574730aa.png
[730840-20181118093714511-80832963.png]: /images/20211214/bff1243dd085484da1123124513fa1e1.png