Equilibrium points in n-person games

小灰灰 2021-12-15 07:21 154阅读 0赞

The two-page paper by John Nash made the cornerstone to game theory.

Let's review what has been conveyed in this classic work.

Nash argued that in n-person games, there are equilibrium points. The arguments expand as follows:

Suppose there are \\(n\\) players, each with a pure strategy.

A point of a strategy profile is a vector of \\(n\\) player's strategies.

A countering strategy for player \\(i\\) is that given all other players' strategy fixed, the strategy along with best payoff for player \\(i\\).

A countering strategy profile \\(p\_\{c\}\\) counters \\(p\\) if and only if every strategy in \\(p\_c\\) counters \\(p\\).

Let \\(p\\) be a \\(n-tuple\\), denote the countering operation as \\(f\\), then \\(f(p) = p\_c\\).

Nash argued there must be a fixed point: \\(f(t) = t\\), since  
1) \\(f\\) is defined as \\(f: S \\to 2^S\\).

2) the graph of \\(f\\) is closed.

Hence it comes naturally there is at least one fixed point by [Kakutani's fixed point][Kakutani_s fixed point] theorem.

转载于:https://www.cnblogs.com/gaoqichao/p/9157853.html

[Kakutani_s fixed point]: https://en.wikipedia.org/wiki/Kakutani_fixed-point_theorem

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