BSGS

男娘i 2021-12-15 06:39 180阅读 0赞

**BSGS**  
  
用途：给定形如$A^x \\equiv z (mod  p)$(p为质数)的式子，给定A、z、p,求满足条件的x的最小值。

解法：

考虑暴力，暴力枚举0到p-1并验证，复杂度O(n)。

考虑优化：考虑通过预处理来加速算法。

$$A^x \\equiv z (mod  p)$$

设$c$=$\\sqrt\{p\}$，也就是我们的块大小，

$$A^\{ic+j\} \\equiv z (mod  p)$$

$$A^j \\equiv z\*A^\{-ic\} (mod  p)$$

我们把$1$到$c$的$A^i$存入hash池中，这样我们每次枚举$A^\{-ic\}\*z$,在hash池中查询，这样就可以同时检验$1--c$个值是否出现。

具体来说就是如果查询到一个值，设其为T,则

$$A^T \\equiv z\*A^\{-ic\} (mod  p)$$

x为T+ic。

复杂度O($\\sqrt\{n\}$)。

优化的地方在于我们一次可以同时比较$\\sqrt\{n\}$个值。

--------------------

**拓展BSGS：**

$$A^x \\equiv z (mod  p)$$

同时两边取t=gcd(A,P)。

原式 ：

$$A^\{x-1\}\*\\frac\{A\}\{t\} \* t \\equiv \\frac\{z\}\{t\} \* t (mod  \\frac\{p\}\{t\} \* t)$$

则，现在原式变成：

$$ A^\{x-1\}\*\\frac\{A\}\{t\} \\equiv \\frac\{z\}\{t\} (mod  \*\\frac\{p\}\{t\})$$

这个过程会一直进行直到A、P互质。

显然，当z在中途无法被除尽时，就是无解。

现在，原式变成：

$$ A^\{x-k\}\*C \\equiv T (mod  P)$$

由于$C$是由若干个A除若干个其他因子得到，$C$与$P$必然也互质。

用欧拉定理把$C$的逆元乘到右边，然后再用普通BSGS即可。

注意最后算答案的时候$A$是减了$K$个的，我们把$K$加上就行。

转载于:https://www.cnblogs.com/wuzewen/p/11121249.html

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