uoj #450[集训队作业2018]复读机

忘是亡心i 2021-12-13 04:38 202阅读 0赞

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\\(d=1\\),那么任何时刻都可以\\(k\\)个复读机的一种,答案为\\(k^n\\)

\\(d>1\\),可以枚举某个复读机的复读次数(必须是\\(d\\)的倍数),然后第\\(i\\)个复读时间为\\(x\_i\\),那么答案为\\(n!\\sum\\limits\_\{d|x\_i,\\sum x\_i=n\} \\prod \\frac\{1\}\{x\_i!\}\\),这个显然可以暴力背包生成函数,因为有\\(d|x\_i\\)的限制,那么可以套用单位根反演,单个复读机的生成函数为\\(\\sum\_\{i=0\}^\{\\infty\}\[d|i\]\\frac\{x^i\}\{i!\}\\),也就是

\\\[\\frac\{1\}\{d\}\\sum\_\{i=0\}^\{\\infty\}\\sum\_\{j=0\}^\{d-1\}\\omega\_\{d\}^\{ij\}\\frac\{x^i\}\{i!\}\\\]\\\[\\frac\{1\}\{d\}\\sum\_\{j=0\}^\{d-1\}\\sum\_\{i=0\}^\{\\infty\}\\frac\{\\omega\_\{d\}^\{ij\}x^i\}\{i!\}\\\]\\\[\\frac\{1\}\{d\}\\sum\_\{i=0\}^\{d-1\}e^\{\\omega\_\{d\}^\{i\}x\}\\\]

然后求出这个生成函数的\\(k\\)次方的\\(n\\)次项系数乘上\\(n!\\)就好了(注意到\\(n!\\)会和\\(n\\)次项中的\\(\\frac\{1\}\{n!\}\\)抵消),实现的时候把\\(e^x\\)看成未知数,枚举\\(e^\{\\omega\_\{d\}^\{0\}x\},e^\{\\omega\_\{d\}^\{1\}x\},(d=3\\)时有\\(e^\{\\omega\_\{d\}^\{2\}x\})\\)出现了多少次,然后系数乘上组合数即可(说白了就是二项式定理展开)

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转载于:https://www.cnblogs.com/smyjr/p/10907471.html

[Link 1]: http://uoj.ac/problem/450
[Link 2]: http://uoj.ac/submission/347601

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