系统分类

线性系统

假设序列\(x_1[n],x_2[n]\)通过离散时间系统\(H\)的输出为分别为序列\(y_1[n],y_2[n]\),即
\[ x_1[n]\xrightarrow{H}y_1[n] \quad x_2[n]\xrightarrow{H}y_2[n] \]

若
\[ ax_1[n]+bx_2[n]\xrightarrow{H}ay_1[n]+by_2[n] \]
那么称离散时间系统\(H\)为线性系统。

时(移)不变系统

假设序列\(x[n]\)通过离散时间系统\(H\)的输出为分别为序列\(y[n]\),即
\[ x[n]\xrightarrow{H}y[n] \]
若
\[ x[n-n_0]\xrightarrow{H}y[n-n_0] \]
那么称离散时间系统\(H\)为时(移)不变系统。

如果离散时间系统\(H\)既满足线性系统，也满足时不变系统，那么称\(H\)为线性时不变(LTI)系统。

因果系统

因果系统指的是，离散时间系统在\(n_0\)的输出\(y[n_0]\)只由\(n\leq n_0\)的输入\(x[n]\)决定。

因此，若输入为\(x_1[n]\)和\(x_2[n]\),因果离散时间系统的响应为\(y_1[n]\)和\(y_2[n]\),则
\[ x_1[n]=x_2[n], \quad n < N \]
那么
\[ y_1[n]=y_2[n], \quad n < N \]

稳定系统

如果对于任意的有界输入，产生的输出都是有界的，那么就称系统是稳定的。即对于所有的\(n\)值，有
\[ \vert x[n]\vert < B_x \]
则对于所有的\(n\)
\[ \vert y[n]\vert < B_y \]
这类稳定系统称为有界输入有界输出(BIBO)稳定系统。

LTI系统

输入输出关系

假设该LTI系统的单位冲激序列\(\delta[n]\)的响应为\(h[n]\),即
\[ \delta[n]\xrightarrow{H}h[n] \quad or \quad H\{\delta[n]\}=h[n] \]
对于任意的输入序列\(x[n]\)可以表示为
\[ x[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]\delta[n-m] \]
则序列\(x[n]\)的响应\(y[n]\)为
\[ y[n]=H\{x[n]\}=H\{\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]\delta[n-m]\} \]
由于该系统为线性系统，则上式可以写为
\[ y[n]=H\{\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]\delta[n-m]\}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]H\{\delta[n-m]\} \]
又由于该系统为时不变系统，那么\(H\{\delta[n-m]\}=h[n-m]\),所以上式可以写为
\[ y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m] \]
我们把上式简写为
\[ y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m]=x[n]*h[n] \]
称运算\(*\)为卷积运算。

上述表达式说明，若已知LTI系统的单位冲激响应\(h[n]\),那么任意输入序列\(x[n]\)通过与\(h[n]\)卷积，即可得到其响应\(y[n]\)。所以\(h[n]\)可以用来描述LTI系统。

用冲激响应表示因果性条件

由输入输出关系
\[ y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m] \]
则\(n=n_0\)处的输出为
\[ y[n_0]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n_0-m]=\sum_{m=-\infty}^{n_0}x[m]h[n_0-m]+\sum_{m=n_0+1}^{\infty}x[m]h[n_0-m] \]
由于因果系统的输出\(y[n_0]\)只与\(n\leq n_0\)的输入有关，所以上式的后面一项为\(0\),即
\[ \sum_{m=n_0+1}^{\infty}x[m]h[n_0-m]=0 \]
由于输入的序列\(x[n]\)是任意的，所以得到
\[ h[n_0-m]=0, 对任意m > n_0 \]
即得到
\[ h[n]=0, n < 0 \]

所以对于LTI系统，若
\[ h[n]=0, n < 0 \]
那么该LTI系统是因果的。

用冲激响应表示稳定性条件

由输入输出关系
\[ y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m] \]
得到
\[ \vert y[n]\vert=\vert \sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m]\vert \leq \sum_{m=-\infty}^{\infty}\vert x[m] \vert \vert h[n-m] \vert \]
对于有界的输入\(\vert x[n] \vert \leq B_x\),得到
\[ \vert y[n] \vert \leq B_x\sum_{m=-\infty}^{\infty}\vert h[n-m] \vert \]
所以当
\[ \sum_{m=-\infty}^{\infty}\vert h[n-m] \vert\xrightarrow{k=n-m}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\vert h[k] \vert < \infty \]
\(\vert y[n] \vert\)有界。
所以对于LTI系统，若
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\vert h[n] \vert < \infty \]
则该系统是稳定的。

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