[JZOJ6241]【NOI2019模拟2019.6.29】字符串【数据结构】【字符串】

我会带着你远行 2021-12-11 11:37 158阅读 0赞

## Description ##

给出一个长为n的字符串\\(S\\)和一个长为n的序列\\(a\\)  
定义一个函数\\(f(l,r)\\)表示子串\\(S\[l..r\]\\)的任意两个后缀的最长公共前缀的最大值。

现在有q组询问，每组询问给出\\(L,R,x\\)  
你需要找到一个子串\\(S\[l,r\]\\)满足\\(\[l,r\]\\subset\[L,R\]\\)且\\(f(l,r)\\geq x\\)  
同时需要满足\\(max(a\[l..r\])\\)最小

求这个最小值，无解则输出-1  
\\(n,q\\leq 50000\\)

## Solution ##

这道题实际上分成两部分（谴责拼题行为）

第一部分快速计算f(l,r)  
建出SAM，用个set维护right集，在parent树上启发式合并，显然Right集合中我们只需要考虑哪些相邻的位置有用（不相邻显然不优），合并的时候把要插入的位置的前驱以及它们的LCP构成一个三元组，后继也一样处理，这样我们得到了一个可能更新答案的三元组序列\\((l,x,r)\\)，表示\\(S\[l..x\]=S\[r-(x-l),r\]\\)。

观察对答案的贡献，它能贡献的区间满足\\(R>r,l<=x\\)，相当于区间取max以及区间对等差数列取max  
维护两棵线段树分别来弄，等差数列我们只需要维护合法右端点最大值即可，两个都是区间取max单点查询，可以用struct写在一起

还需要保证右端点的限制，因此对所有二元组按右端点排序建主席树即可。  
区间修改的主席树似乎比较麻烦？我们发现这题不需要下传标记，因此直接先将当前位置的操作扔进去再继承前一个的。

这样就能够在\\(O(n\\log^2n)\\)预处理（启发式合并），\\(O(\\log n)\\)计算一个区间的f

第二部分计算答案

显然只有笛卡尔树上的n个极大区间是有用的，计算出它们的f

对于查询区间\\(\[L,R\]\\)，我们只需要找到被它完全包含的极大区间，然后分别以左右端点开始二分另一个端点即可。

找到包含的区间似乎是个二维问题？

不需要  
对于左端点我们二分了一个位置，表示右端点在这左边的都不合法。

其他的合法区间的右端点一定在这右边，

此时我们不需要管左端点的限制了，因为超出去答案显然更劣。  
直接一维区间最大值即可

这一部分也是\\(O(n\\log^2n)\\)的

常数似乎比较大。

## Code ##

代码足足有5K  
略毒瘤。

#include <bits/stdc++.h> #define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i) #define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i) const int N=50005; using namespace std; char ch[N]; int n,q; struct node { int l,x,r; friend bool operator <(node x,node y) { return x.r<y.r; } }; vector<node> ap; namespace SAM { const int R=N<<1; int t[R][26],mx[R],m1,ft[R],fs[R],nt[R],dt[R],n2,rf[R]; set<int> ri[R]; void link(int x,int y) { nt[++m1]=fs[x]; dt[fs[x]=m1]=y; } void merge(int x,int y,int v) { if(v==0) return; if(ri[rf[x]].size()<ri[rf[y]].size()) swap(rf[x],rf[y]); for(int i:ri[rf[y]]) { set<int>::iterator it=ri[rf[x]].lower_bound(i); if(it!=ri[rf[x]].end()) ap.push_back((node){i-v+1,i,*it}); if(it!=ri[rf[x]].begin()) it--,ap.push_back((node){*it-v+1,*it,i}); ri[rf[x]].insert(i); } } void dfs(int k) { int w=0; for(int i=fs[k];i;i=nt[i]) { int p=dt[i]; dfs(p); merge(k,p,mx[k]); } } void make() { n2=1; int ls=n2; fo(i,1,n) { int c=ch[i]-'a',p=ls; mx[ls=++n2]=i; rf[ls]=ls; ri[ls].insert(i); while(p&&!t[p][c]) t[p][c]=ls,p=ft[p]; if(t[p][c]) { int q=t[p][c]; if(mx[q]==mx[p]+1) ft[ls]=q; else { mx[++n2]=mx[p]+1; ft[n2]=ft[q]; ft[q]=ft[ls]=n2; memcpy(t[n2],t[q],sizeof(t[n2])); while(p&&t[p][c]==q) t[p][c]=n2,p=ft[p]; } } else ft[ls]=1; } fo(i,2,n2) link(ft[i],i); dfs(1); } } namespace QS { const int M=10000000; struct SGT { int t[M][2],mx[M],rt[N],n1; inline int nwp(int &x) { if(!x) x=++n1,t[x][0]=t[x][1]=mx[x]=0; return x; } void modify(int k,int l,int r,int x,int y,int v) { if(x>y) return; if(x<=l&&r<=y) {mx[k]=max(mx[k],v);return;} int mid=(l+r)>>1; if(x<=mid) modify(nwp(t[k][0]),l,mid,x,y,v); if(y>mid) modify(nwp(t[k][1]),mid+1,r,x,y,v); } void merge(int &k,int w,int l,int r) { if(!k) {k=w;return;} if(!w) return; mx[k]=max(mx[k],mx[w]); int mid=(l+r)>>1; merge(t[k][0],t[w][0],l,mid); merge(t[k][1],t[w][1],mid+1,r); } int query(int k,int l,int r,int x) { if(l==r) return mx[k]; int mid=(l+r)>>1,s=0; if(x<=mid) s=query(t[k][0],l,mid,x); else s=query(t[k][1],mid+1,r,x); return max(s,mx[k]); } }T1,T2; void make() { SAM::make(); sort(ap.begin(),ap.end()); int r=ap.size()-1; for(int i=1,j=0;i<=n;++i) { T1.rt[i]=++T1.n1; T2.rt[i]=++T2.n1; while(j<=r&&ap[j].r<=i) { T1.modify(T1.rt[i],1,n,1,ap[j].l-1,ap[j].x-ap[j].l+1); T2.modify(T2.rt[i],1,n,ap[j].l,ap[j].x,ap[j].x); j++; } T1.merge(T1.rt[i],T1.rt[i-1],1,n); T2.merge(T2.rt[i],T2.rt[i-1],1,n); } n++; n--; } int get(int l,int r) { return max(T1.query(T1.rt[r],1,n,l),min(T2.query(T2.rt[r],1,n,l),r)-l+1); } } using QS::get; int a[N]; struct px { int l,r,v,c; friend bool operator <(px x,px y) {return x.v>y.v;} }aw[N]; int ask[N][3],d[N]; bool cmp(int x,int y) {return ask[x][2]>ask[y][2];} int lf[N],rf[N],st[N],ans[N]; namespace Tr { int n1,t[N<<1][2],mx[N<<1],mi[N<<1]; void build(int k,int l,int r) { mi[k]=1e9; if(l==r) {mx[k]=a[l];return;} int mid=(l+r)>>1; build(t[k][0]=++n1,l,mid),build(t[k][1]=++n1,mid+1,r); mx[k]=max(mx[t[k][0]],mx[t[k][1]]); } void ins(int k,int l,int r,int x,int v) { if(l==r) {mi[k]=min(mi[k],v);return;} int mid=(l+r)>>1; if(x<=mid) ins(t[k][0],l,mid,x,v); else ins(t[k][1],mid+1,r,x,v); mi[k]=min(mi[t[k][0]],mi[t[k][1]]); } int ds[N]; void query(int k,int l,int r,int x,int y) { if(x>y) return; if(x<=l&&r<=y) {ds[++ds[0]]=k;return;} int mid=(l+r)>>1; if(x<=mid) query(t[k][0],l,mid,x,y); if(y>mid) query(t[k][1],mid+1,r,x,y); } int gmax(int l,int r) { ds[0]=0; query(1,1,n,l,r); int s=0; fo(i,1,ds[0]) s=max(s,mx[ds[i]]); return s; } int gmin(int l,int r) { ds[0]=0; query(1,1,n,l,r); int s=1e9; fo(i,1,ds[0]) s=min(s,mi[ds[i]]); return s; } } using Tr::gmax; using Tr::gmin; int main() { cin>>n>>q; scanf("\n%s",ch+1); QS::make(); fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]); fo(i,1,n) { while(st[0]&&a[i]>a[st[st[0]]]) rf[st[st[0]]]=i-1,st[st[0]--]=0; st[++st[0]]=i; } while(st[0]) rf[st[st[0]]]=n,st[st[0]--]=0; fod(i,n,1) { while(st[0]&&a[i]>a[st[st[0]]]) lf[st[st[0]]]=i+1,st[st[0]--]=0; st[++st[0]]=i; } while(st[0]) lf[st[st[0]]]=1,st[st[0]--]=0; fo(i,1,n) aw[i]=(px){lf[i],rf[i],get(lf[i],rf[i]),a[i]}; sort(aw+1,aw+n+1); fo(i,1,q) { scanf("%d%d%d",&ask[i][0],&ask[i][1],&ask[i][2]); d[i]=i; } sort(d+1,d+q+1,cmp); int j=1; Tr::n1=1; Tr::build(1,1,n); fo(i,1,q) { while(j<=n&&aw[j].v>=ask[d[i]][2]) { Tr::ins(1,1,n,aw[j].r,aw[j].c); j++; } int l=ask[d[i]][0],r=ask[d[i]][1]+1; while(l+1<r) { int mid=(l+r)>>1; if(get(ask[d[i]][0],mid)>=ask[d[i]][2]) r=mid; else l=mid; } int wp; if(get(ask[d[i]][0],l)>=ask[d[i]][2]) wp=l; else wp=r; if(wp==ask[d[i]][1]+1) {ans[d[i]]=-1;continue;} ans[d[i]]=min(gmax(ask[d[i]][0],wp),gmin(wp,ask[d[i]][1])); l=ask[d[i]][0],r=ask[d[i]][1]; while(l+1<r) { int mid=(l+r)>>1; if(get(mid,ask[d[i]][1])>=ask[d[i]][2]) l=mid; else r=mid; } if(get(r,ask[d[i]][1])>=ask[d[i]][2]) wp=r; else wp=l; ans[d[i]]=min(ans[d[i]],gmax(wp,ask[d[i]][1])); } fo(i,1,q) printf("%d\n",ans[i]); }

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