空间解析几何与向量代数

比眉伴天荒 2021-12-10 13:53 349阅读 0赞

### 一. 向量及其线性运算 ###

1.  模长等于 1 1 1的向量称为单位向量。
2.  向量的线性运算：  
    ①加法；  
    ②数乘： λ α ⃗ = ( λ a x , λ a y , λ a z ) \\lambda\\vec\{\\alpha\}=(\\lambda a\_x,\\lambda a\_y,\\lambda a\_z) λα=(λax,λay,λaz)。

### 二. 数量积、向量积、混合积 ###

#### 1. 两向量的数量积（也称“点乘”或“内积”） ####

**数量积**，即**积**完之后是一个**数**。

*  几何表示： a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ \\vec\{a\}\\cdot \\vec\{b\}=|\\vec\{a\}||\\vec\{b\}|\\cos\\theta a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ，其中， cos ⁡ θ \\cos\\theta cosθ为 a ⃗ 与 b ⃗ \\vec\{a\}与\\vec\{b\} a与b的夹角。
 *  代数运算：设 a ⃗ = ( a x , a y , a z ) ， b ⃗ = ( b x , b y , b z ) ， 则 a ⃗ ⋅ b ⃗ = a x b x + a y b y + a z b z \\vec\{a\}=(a\_x,a\_y,a\_z)，\\vec\{b\}=(b\_x,b\_y,b\_z)，则\\vec\{a\}\\cdot\\vec\{b\}=a\_xb\_x+a\_yb\_y+a\_zb\_z a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，则a⋅b=axbx\+ayby\+azbz。
 *  运算规律： a ⃗ ⋅ b ⃗ = b ⃗ ⋅ a ⃗ ； ( a ⃗ + b ⃗ ) ⋅ c ⃗ = a ⃗ ⋅ c ⃗ + b ⃗ ⋅ c ⃗ \\vec\{a\}\\cdot\\vec\{b\}=\\vec\{b\}\\cdot\\vec\{a\}；(\\vec\{a\}+\\vec\{b\})\\cdot\\vec\{c\}=\\vec\{a\}\\cdot\\vec\{c\}+\\vec\{b\}\\cdot\\vec\{c\} a⋅b=b⋅a；(a\+b)⋅c=a⋅c\+b⋅c。
 *  应用：判断垂直， a ⃗ ⊥ b ⃗ ⇔ a ⃗ ⋅ b ⃗ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 \\vec\{a\}\\perp\\vec\{b\}\\Leftrightarrow \\vec\{a\}\\cdot\\vec\{b\}=0\\Leftrightarrow a\_xb\_x+a\_yb\_y+a\_zb\_z=0 a⊥b⇔a⋅b=0⇔axbx\+ayby\+azbz=0

#### 2. 两向量的向量积（也称“叉乘”） ####

顾名思义，**积**完之后是一个**向量**。

*  几何表示： ∣ ∣ a ⃗ × b ⃗ ∣ ∣ 2 = ∣ ∣ a ⃗ ∣ ∣ 2 ∣ ∣ b ⃗ ∣ ∣ 2 sin ⁡ θ ||\\vec a\\times\\vec b||\_2=||\\vec\{a\}||\_2||\\vec\{b\}||\_2\\sin\\theta ∣∣a×b∣∣2=∣∣a∣∣2∣∣b∣∣2sinθ其中， θ \\theta θ是 a ⃗ \\vec a a与 b ⃗ \\vec b b的夹角， 0 ≤ θ ≤ π 0\\le\\theta\\le\\pi 0≤θ≤π，叉乘结果同时垂直向量 a ⃗ \\vec a a和 b ⃗ \\vec b b。
 *  代数表示：设 a ⃗ = ( a x , a y . a z ) ， b ⃗ = ( b x , b y , b z ) \\vec a=(a\_x,a\_y.a\_z)，\\vec b=(b\_x,b\_y,b\_z) a=(ax,ay.az)，b=(bx,by,bz)，则 a ⃗ × b ⃗ = ∣ i ⃗ j ⃗ k ⃗ a x a y a z b x b y b z ∣ \\vec a\\times\\vec b=\\begin\{vmatrix\}\\vec i & \\vec j & \\vec k \\\\ a\_x & a\_y & a\_z \\\\ b\_x & b\_y & b\_z \\end\{vmatrix\} a×b=∣∣∣∣∣∣iaxbxjaybykazbz∣∣∣∣∣∣
    
     *  有没有想过为什么是这样呢？这是根据他的几何意义造出来的，如果 ( a ⃗ × b ⃗ ) (\\vec a\\times\\vec b) (a×b)和 a ⃗ \\vec a a做点乘（数量积）或 ( a ⃗ × b ⃗ ) (\\vec a\\times\\vec b) (a×b)和 b ⃗ \\vec b b做点乘，则会产生以下的结果： ( a ⃗ × b ⃗ ) ⋅ a ⃗ = ∣ a x a y a z a x a y a z b x b y b z ∣ = 0 (\\vec a\\times \\vec b)\\cdot\\vec a=\\begin\{vmatrix\} a\_x & a\_y & a\_z \\\\ a\_x & a\_y & a\_z \\\\ b\_x & b\_y & b\_z \\end\{vmatrix\}=0 (a×b)⋅a=∣∣∣∣∣∣axaxbxayaybyazazbz∣∣∣∣∣∣=0  ( a ⃗ × b ⃗ ) ⋅ b ⃗ = ∣ b x b y b z a x a y a z b x b y b z ∣ = 0 (\\vec a\\times \\vec b)\\cdot\\vec b=\\begin\{vmatrix\} b\_x & b\_y & b\_z \\\\ a\_x & a\_y & a\_z \\\\ b\_x & b\_y & b\_z \\end\{vmatrix\}=0 (a×b)⋅b=∣∣∣∣∣∣bxaxbxbyaybybzazbz∣∣∣∣∣∣=0因为行列式中某两行元素成比例或相等，则行列式等于0。  
        从而说明 ( a ⃗ × b ⃗ ) (\\vec a\\times\\vec b) (a×b)和 a ⃗ ， b ⃗ \\vec a，\\vec b a，b都垂直，即垂直于 a ⃗ ， b ⃗ \\vec a，\\vec b a，b组成的平面。
     *  那 sin ⁡ θ \\sin\\theta sinθ为什么是怎么推出来的呢？这里从略，我不太理解，**累了**。
 *  运算规律： a ⃗ × b ⃗ = − ( b ⃗ × a ⃗ ) ( a ⃗ + b ⃗ ) × c ⃗ = a ⃗ × c ⃗ + b ⃗ × c ⃗ \\vec a\\times\\vec b=-(\\vec b\\times\\vec a)\\\\ (\\vec a+\\vec b)\\times \\vec c=\\vec a\\times\\vec c+\\vec b\\times\\vec c a×b=−(b×a)(a\+b)×c=a×c\+b×c
 *  应用：判断两向量是否平行 a ⃗ ∥ b ⃗ ⇔ a ⃗ × b ⃗ = 0 ⇔ a x b x = a y b y = a z b z \\vec a\\parallel\\vec b\\Leftrightarrow\\vec a\\times\\vec b=\\bm 0\\Leftrightarrow\\frac\{a\_x\}\{b\_x\}=\\frac\{a\_y\}\{b\_y\}=\\frac\{a\_z\}\{b\_z\} a∥b⇔a×b=0⇔bxax=byay=bzaz

#### 3. 混合积 ####

*  定义：称 ( a ⃗ × b ⃗ ) ⋅ c ⃗ (\\vec a\\times \\vec b)\\cdot\\vec c (a×b)⋅c为三个向量的混合积。  
    设 a ⃗ = ( a x , a y , a z ) ， b ⃗ = ( b x , b y , b z ) \\vec a=(a\_x,a\_y,a\_z)，\\vec b=(b\_x,b\_y,b\_z) a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，则  
     ( a ⃗ × b ⃗ ) ⋅ c ⃗ = ∣ c x c y c z a x a y a z b x b y b z ∣ = ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ \\begin\{aligned\} (\\vec a\\times \\vec b)\\cdot\\vec c&=\\begin\{vmatrix\} c\_x & c\_y & c\_z \\\\ a\_x & a\_y & a\_z \\\\ b\_x & b\_y & b\_z \\end\{vmatrix\}\\\\ \\\\ &=\\begin\{vmatrix\} a\_x & a\_y & a\_z \\\\ b\_x & b\_y & b\_z\\\\c\_x & c\_y & c\_z \\end\{vmatrix\} \\end\{aligned\} (a×b)⋅c=∣∣∣∣∣∣cxaxbxcyaybyczazbz∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣axbxcxaybycyazbzcz∣∣∣∣∣∣
 *  应用：判断三个向量共面。 a ⃗ , b ⃗ , c ⃗ \\vec a,\\vec b,\\vec c a,b,c三点共面 ⇔ ( a ⃗ × b ⃗ ) ⋅ c ⃗ = 0 \\Leftrightarrow(\\vec a\\times \\vec b)\\cdot\\vec c=0 ⇔(a×b)⋅c=0

### 三. 平面及其方程 ###

> 平面是由一个**定点**和**法向量**进行确定.

#### 1. ####

*  平面的点法式方程 A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A(x-x\_0)+B(y-y\_0)+C(z-z\_0)=0 A(x−x0)\+B(y−y0)\+C(z−z0)=0这里的 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x\_0,y\_0,z\_0) (x0,y0,z0)为平面上一定点， n ⃗ = ( A , B , C ) \\vec n=(A,B,C) n=(A,B,C)为平面的法向量。
 *  平面的一般式方程 A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax\+By\+Cz\+D=0这里的 n ⃗ = ( A , B , C ) \\vec n=(A,B,C) n=(A,B,C)为平面的法向量。
 *  平面的截距式方程 x a + y b + z c = 1 \\frac\{x\}\{a\}+\\frac\{y\}\{b\}+\\frac\{z\}\{c\}=1 ax\+by\+cz=1显然，这里的 a , b , c a,b,c a,b,c分别为平面在三个坐标轴上的距离， n ⃗ = ( 1 a , 1 b , 1 c ) \\vec n=(\\frac\{1\}\{a\},\\frac\{1\}\{b\},\\frac\{1\}\{c\}) n=(a1,b1,c1)为平面的法向量。

#### 2. 平面与平面的特殊位置关系 ####

*  垂直：利用法向量也垂直进行判断，即法向量的数量积（**点乘**）为零。
 *  平行：利用法向量也平行进行判断，即法向量的向量积（**叉乘**）为零。

### 四. 空间直线及其方程 ###

> 空间直线有一个**定点**和**方向向量**确定，与直线平行的非零向量称为他的方向向量.

#### 1. 空间直线的点向式方程 ####

x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p \\frac\{x-x\_0\}\{m\}=\\frac\{y-y\_0\}\{n\}=\\frac\{z-z\_0\}\{p\} mx−x0=ny−y0=pz−z0  
这里的 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x\_0,y\_0,z\_0) (x0,y0,z0)为直线上一定点， s ⃗ = ( m , n , p ) \\vec s=(m,n,p) s=(m,n,p)为直线的方向向量。

#### 2. 空间直线的参数式方程 ####

这是由“**点向式**”方程推导而来的。  
 \{ x = x 0 + m t y = y 0 + n t z = z 0 + p t \\left\\\{\\begin\{matrix\} x=x\_0+\{\\rm m\}t\\\\ y=y\_0+\{\\rm n\}t\\\\ z=z\_0+\{\\rm p\}t \\end\{matrix\}\\right. ⎩⎨⎧x=x0\+mty=y0\+ntz=z0\+pt  
这里的 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x\_0,y\_0,z\_0) (x0,y0,z0)为直线上一定点， s ⃗ = ( m , n , p ) \\vec s=(m,n,p) s=(m,n,p)为直线的方向向量。

#### 3. 空间直线的一般式方程 ####

\{ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 \\left\\\{\\begin\{matrix\} A\_1x+B\_1y+C\_1z+D\_1=0 \\\\ A\_2x+B\_2y+C\_2z+D\_2=0 \\end\{matrix\}\\right. \{ A1x\+B1y\+C1z\+D1=0A2x\+B2y\+C2z\+D2=0这里的直线为两平面的交线，方向向量 s ⃗ = n 1 ⃗ × n 2 ⃗ \\vec s=\\vec\{n\_1\}\\times\\vec\{n\_2\} s=n1×n2.（叉乘）

### 五. 一组距离公式 ###

*  点 P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) \\rm P\_0=(x\_0,y\_0,z\_0) P0=(x0,y0,z0)到平面 A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 Ax\+By\+Cz\+D=0的距离： d = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 d=\\frac\{|Ax\_0+By\_0+Cz\_0+D|\}\{\\sqrt\{A^2+B^2+C^2\}\} d=A2\+B2\+C2∣Ax0\+By0\+Cz0\+D∣下面进行证明：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1ODY2NzM2_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
    图中 E = ( e 1 , e 2 , e 3 ) E=(e\_1,e\_2,e\_3) E=(e1,e2,e3)为平面上一定点， n ⃗ = ( A , B , C ) \\vec n=(A,B,C) n=(A,B,C)为平面法向量， P 0 P\_0 P0为平面外一点， P 0 H ⟶ ⊥ n ⃗ \\overset\{\\longrightarrow\}\{P\_0H\}\\perp\\vec n P0H⟶⊥n，则 P 0 P\_0 P0到平面的距离为 ∣ ∣ E H ⟶ ∣ ∣ 2 ||\\overset\{\\longrightarrow\}\{EH\}||\_2 ∣∣EH⟶∣∣2，由数量积的几何表示可知， E P 0 ⟶ ⋅ n ⃗ = ∣ ∣ E P 0 ⟶ ∣ ∣ 2 ∣ ∣ n ⃗ ∣ ∣ 2 cos ⁡ θ \\overset\{\\longrightarrow\}\{EP\_0\}\\cdot\\vec n=||\\overset\{\\longrightarrow\}\{EP\_0\}||\_2||\\vec n||\_2\\cos\\theta EP0⟶⋅n=∣∣EP0⟶∣∣2∣∣n∣∣2cosθ，我们知道， n ⃗ ⋅ ( − E ) = D \\vec n\\cdot (-E)=D n⋅(−E)=D，故 n ⃗ ⋅ ( x 0 − e 1 , y 0 − e 2 , z 0 − e 3 ) = A x 0 + B y 0 + C z 0 + D \\vec n\\cdot(x\_0-e\_1,y\_0-e\_2,z\_0-e\_3)=Ax\_0+By\_0+Cz\_0+D n⋅(x0−e1,y0−e2,z0−e3)=Ax0\+By0\+Cz0\+D，故 cos ⁡ θ = A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ ∣ E P 0 ⟶ ∣ ∣ 2 ∣ ∣ n ⃗ ∣ ∣ 2 \\cos\\theta=\\frac\{Ax\_0+By\_0+Cz\_0+D\}\{||\\overset\{\\longrightarrow\}\{EP\_0\}||\_2||\\vec n||\_2\} cosθ=∣∣EP0⟶∣∣2∣∣n∣∣2Ax0\+By0\+Cz0\+D故  
     d = ∣ ∣ H E ⟶ ∣ ∣ 2 = ∣ ∣ E P 0 ⟶ ∣ ∣ 2 cos ⁡ θ = A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ ∣ n ⃗ ∣ ∣ 2 = A x 0 + B y 0 + C z 0 + D A 2 + B 2 + C 2 \\begin\{aligned\} d&=||\\overset\{\\longrightarrow\}\{HE\}||\_2\\\\ &=||\\overset\{\\longrightarrow\}\{EP\_0\}||\_2\\cos\\theta\\\\ &=\\frac\{Ax\_0+By\_0+Cz\_0+D\}\{||\\vec n||\_2\}\\\\ &=\\frac\{Ax\_0+By\_0+Cz\_0+D\}\{\\sqrt\{A^2+B^2+C^2\}\} \\end\{aligned\} d=∣∣HE⟶∣∣2=∣∣EP0⟶∣∣2cosθ=∣∣n∣∣2Ax0\+By0\+Cz0\+D=A2\+B2\+C2Ax0\+By0\+Cz0\+D  
    为了保证距离是非负数，需要加绝对值，即  
     d = = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 d==\\frac\{|Ax\_0+By\_0+Cz\_0+D|\}\{\\sqrt\{A^2+B^2+C^2\}\} d==A2\+B2\+C2∣Ax0\+By0\+Cz0\+D∣**证毕！**
 *  **点** P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) \\rm P\_0=(x\_0,y\_0,z\_0) P0=(x0,y0,z0)到空间直线 x − x 1 m = y − y 1 n = z − z 1 p \\frac\{x-x\_1\}\{m\}=\\frac\{y-y\_1\}\{n\}=\\frac\{z-z\_1\}\{p\} mx−x1=ny−y1=pz−z1的距离： d = ∣ ∣ P 0 P ⟶ × s ⃗ ∣ ∣ 2 ∣ ∣ s ⃗ ∣ ∣ 2 d=\\frac\{||\\overset\{\\longrightarrow\}\{P\_0P\}\\times \\vec s||\_2\}\{||\\vec s||\_2\} d=∣∣s∣∣2∣∣P0P⟶×s∣∣2这里的 P P P是直线上任意一点， s ⃗ = ( m , n , p ) \\vec s=(m,n,p) s=(m,n,p)是直线上的方向向量。  
    证明：  
    ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1ODY2NzM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

由向量叉乘（向量积）的几何意义可知： ∣ ∣ P 0 P ⟶ × s ⃗ ∣ ∣ 2 = ∣ ∣ P 0 P ⟶ ∣ ∣ 2 ∣ ∣ s ⃗ ∣ ∣ 2 sin ⁡ θ ||\\overset\{\\longrightarrow\}\{P\_0P\}\\times \\vec s||\_2=||\\overset\{\\longrightarrow\}\{P\_0P\}||\_2||\\vec s||\_2\\sin\\theta ∣∣P0P⟶×s∣∣2=∣∣P0P⟶∣∣2∣∣s∣∣2sinθ，从而有  
 ∣ ∣ P 0 P ⟶ × s ⃗ ∣ ∣ 2 ∣ ∣ s ⃗ ∣ ∣ 2 = ∣ ∣ P 0 P ⟶ ∣ ∣ 2 sin ⁡ θ = ∣ ∣ P 0 H ∣ ∣ 2 = d \\frac\{||\\overset\{\\longrightarrow\}\{P\_0P\}\\times \\vec s||\_2\}\{||\\vec s||\_2\}=||\\overset\{\\longrightarrow\}\{P\_0P\}||\_2\\sin\\theta=||P\_0H||\_2=d ∣∣s∣∣2∣∣P0P⟶×s∣∣2=∣∣P0P⟶∣∣2sinθ=∣∣P0H∣∣2=d  
**得证！**

### 六. 曲面及其方程 ###

三元方程 F ( x , y , z ) = 0 \{\\rm F\}(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0在空间里面表示一张曲面 S \\rm S S，叫做曲面的一般式。  
平面是一种特殊的曲面。

#### 1. 旋转曲面 ####

平面上的**曲线**（母线）绕其平面上的一条**直线**（轴）旋转一周所形成的曲面叫做**旋转曲面**。  
设 y o z yoz yoz坐标面上的一条曲线 L : \{ f ( y , z ) = 0 x = 0 L:\\left\\\{\\begin\{matrix\}f(y,z)=0\\\\ x=0 \\end\{matrix\}\\right. L:\{ f(y,z)=0x=0

*  绕 z z z轴旋转一周所得旋转曲面的方程为： f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0 f(\\pm\\sqrt\{x^2+y^2\},z)=0 f(±x2\+y2,z)=0；
 *  绕 y y y轴旋转一周所得旋转曲面的方程为： f ( y , ± x 2 + z 2 ) = 0 f(y,\\pm\\sqrt\{x^2+z^2\})=0 f(y,±x2\+z2)=0；  
    由此可见，三维图形是由二维图形堆叠而成，研究明白二维图形以及二维怎样堆叠为三维图形，就能真正领会三维图形的机理。

#### 2. 柱面的概念 ####

> 柱面的关键是其无限长。空间解析几何中，**缺少字母**的方程都是柱面。

#### 3. 二次曲面 ####

*  旋转圆锥面： z 2 = a ( x 2 + y 2 ) z^2=a(x^2+y^2) z2=a(x2\+y2)  
    ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1ODY2NzM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]
 *  抛物面： z = a ( x 2 + y 2 ) z=a(x^2+y^2) z=a(x2\+y2)

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1ODY2NzM2_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20211210/f21fbd4add214f11981242c778a61890.png
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