[luogu 5300][bzoj 5502] [GXOI/GZOI2019] 与或和

野性酷女 2021-12-07 14:09 121阅读 0赞

# [题面][Link 1] #

思路还是挺容易想的, 只是由于我还是太**\\(naive\\)**了一点不会做只会打暴力吧......

题目要我们求所有子矩阵的\\(and\\)值之和与\\(or\\)值之和, 一看之下似乎不好入手, 我们慢慢来.

由于\\(and\\)和\\(or\\)运算都是对于每个数的同一位二进制位进行运算的, 所以我们考虑将每个数拆成二进制数, 一位一位地统计答案, 这样的话, 原矩阵就变成了\\(log\{n\}\\)个01矩阵, 我们考虑先从\\(and\\)值入手.

#### 关于\\(and\\)值 ####

由于是01矩阵, 对于最终答案有贡献的子矩阵必然所有元素都为1, 也就是说, 题目让我们求在一个\\(n\*m\\)的矩阵中全为1的子矩阵有多少个. 这不是极大子矩阵的裸题吗, 考虑使用单调栈, 没有学过的左转百度吧(我也是昨天听\\(lzf\\)同志讲了我才知道的).

#### 关于\\(or\\)值 ####

其实差不多, 对答案没有贡献的矩形就是那些全部为0的矩形, 用所有的情况减掉就是了, 还是单调栈(熟悉的配方)

然后大体上题目分析就到这里了, 每一位复杂度是\\(O(n ^ 2)\\), 总复杂度为\\(O(n ^ 2log\{n\})\\), 下面是代码的具体实现:

#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> #define N 1005 #define mod 1000000007 using namespace std; int n, mp[N][N], s[N], w[N], h[N], top = 0; long long ans[2]; inline int read() { int x = 0, w = 1; char c = getchar(); while(c < '0' || c > '9') { if (c == '-') w = -1; c = getchar(); } while(c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); } return x * w; } long long get_num(int x) { return (1ll * x * (x + 1)) >> 1; } long long get_ans(int x) { long long res = 0; top = 0; for(int i = 1; i <= n; i++) h[i] = 0; for(int i = 1; i <= n; i++) { for(int j = 1; j <= n; j++) { if((mp[i][j] & 1) == x) h[j]++; else h[j] = 0; if(h[j] > s[top]) { s[++top] = h[j]; w[top] = 1; } else { int k = 0; while(s[top] > h[j]) { k += w[top]; res = (res + (s[top] - max(s[top - 1], h[j])) * get_num(k) % mod) % mod; top--; } s[++top] = h[j]; w[top] = k + 1; } } int k = 0; while(top) { k += w[top]; res = (res + (s[top] - s[top - 1]) * get_num(k) % mod) % mod; top--; } } return (res % mod + mod) % mod; //单调栈实现极大子矩阵, 其实用悬线法也可以, 但是我既不会单调栈, 悬线法也没用过几次, 于是就成功Oho了 } void work(int x) { if(x == 32) return; ans[0] = (ans[0] + get_ans(1) * (1 << x) % mod) % mod; ans[1] = (ans[1] + (get_num(n) * get_num(n) % mod - get_ans(0)) * (1 << x) % mod) % mod; //注意这个地方1左移x位是因为若不把这个数拆位的话其实这个数的这一位贡献是(1 << x)的. for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= n; j++) mp[i][j] >>= 1; work(x + 1); } int main() { n = read(); for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= n; j++) mp[i][j] = read(); work(0); printf("%lld %lld\n", (ans[0] + mod) % mod, (ans[1] + mod) % mod); return 0; }

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