LCA 最近公共祖先 Tarjan(离线)算法的基本思路及其算法实现

梦里梦外; 2021-11-29 22:30 276阅读 0赞

首先是最近公共祖先的概念(什么是最近公共祖先？)：

在一棵没有环的树上，每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点，而最近公共祖先，就是两个节点在这棵树上**深度最大**的**公共**的**祖先节点**。

换句话说，就是两个点在这棵树上**距离最近的公共祖先节点**。

所以LCA主要是用来处理当两个点仅有**唯一一条**确定的最短路径时的路径。

有人可能会问：那他本身或者其父亲节点是否可以作为祖先节点呢？

答案是肯定的，很简单，按照人的亲戚观念来说，**你的父亲也是你的祖先**，而LCA还可以**将自己视为祖先节点**。

举个例子吧，如下图所示**４**和**５**的**最近公共祖先是２**，**５**和**３**的**最近公共祖先**是**１**，**２**和**１**的**最近公共祖先**是**１**。　![818487-20151004150339121-181913844.png][]

这就是最近公共祖先的基本概念了，那么我们该如何去求这个最近公共祖先呢？

通常初学者都会想到最简单粗暴的一个办法：对于每个询问，遍历所有的点，时间复杂度为**O(n\*q)**，很明显，**n和q一般不会很小**。

常用的求LCA的算法有：Tarjan/DFS+ST/倍增

后两个算法都是在线算法，也很相似，时间复杂度在**O(logn)~O(nlogn)**之间，我个人认为较难理解。

有的题目是可以用线段树来做的，但是其代码量很大，时间复杂度也偏高，在**O(n)~O(nlogn)**之间，优点在于也是**简单粗暴**。

这篇博客主要是要介绍一下Tarjan算法(其实是在线有点难...)。

什么是Tarjan(离线)算法呢？顾名思义，就是在一次遍历中把所有询问一次性解决，所以其时间复杂度是**O(n+q)**。

Tarjan算法的优点在于相对稳定，时间复杂度也比较居中，也很容易理解。

下面详细介绍一下Tarjan算法的基本思路：

**1.任选一个点为根节点，从根节点开始。**

**　　　　　　2.遍历该点u所有子节点v，并标记这些子节点v已被访问过。**

**　　　　　　3.若是v还有子节点，返回2，否则下一步。**

**　　　　　　4.合并v到u上。**

**　　　　　　5.寻找与当前点u有询问关系的点v。**

**　　　　　　6.若是v已经被访问过了，则可以确认u和v的最近公共祖先为v被合并到的父亲节点a。**

遍历的话需要用到**dfs**来遍历(我相信来看的人都懂吧...)，至于合并，最优化的方式就是利用并查集来合并两个节点。

下面上伪代码：

1 Tarjan(u)//marge和find为并查集合并函数和查找函数
     2 {
     3     for each(u,v)    //访问所有u子节点v
     4     {
     5         Tarjan(v);        //继续往下遍历
     6         marge(u,v);    //合并v到u上
     7         标记v被访问过;
     8     }
     9     for each(u,e)    //访问所有和u有询问关系的e
    10     {
    11         如果e被访问过;
    12         u,e的最近公共祖先为find(e);
    13     }
    14 }

个人感觉这样还是有很多人不太理解，所以我打算模拟一遍给大家看。

**建议拿着纸和笔跟着我的描述一起模拟！！**

假设我们有一组数据 9个节点 8条边 联通情况如下：

1--2，1--3，2--4，2--5，3--6，5--7，5--8，7--9 即下图所示的树

设我们要查找最近公共祖先的点为9--8，4--6，7--5，5--3；

设f\[\]数组为并查集的父亲节点数组，初始化f\[i\]=i，vis\[\]数组为是否访问过的数组，初始为0;　![818487-20151005085438253-584479271.jpg][]

下面开始模拟过程：

取1为**根节点**，**往下搜索**发现有两个儿子2和3；

先搜2，发现2有两个儿子4和5，先搜索4，发现4**没有子节点**，则寻找与其有关系的点；

发现6与4有关系，但是**vis\[6\]=0**，即6还没被搜过，所以**不操作**；

发现没有和4有询问关系的点了，返回此前一次搜索，**更新vis\[4\]=1**；

![818487-20151005091215206-185829617.jpg][]

表示4已经被搜完，**更新f\[4\]=2**，继续**搜5**，发现5有两个儿子7和8;

先**搜7**，发现7有一个子节点9，**搜索9**，发现没有子节点，寻找与其有关系的点；

发现8和9有关系，但是**vis\[8\]=0**,即8没被搜到过，所以不操作；

发现没有和9有询问关系的点了，返回此前一次搜索，**更新vis\[9\]=1**；

表示9已经被搜完，**更新f\[9\]=7**，发现7没有没被搜过的子节点了，寻找与其有关系的点；

发现5和7有关系，但是**vis\[5\]=0**，所以**不操作**；

发现没有和7有关系的点了，返回此前一次搜索，**更新vis\[7\]=1**；

![818487-20151005092745612-1059188156.jpg][]

表示7已经被搜完，**更新f\[7\]=5**，继续**搜8**，发现8没有子节点，则寻找与其有关系的点；

发现9与8有关系，**此时vis\[9\]=1**，则他们的**最近公共祖先**为**find(9)=5**；

(find(9)的顺序为f\[9\]=7-->f\[7\]=5-->f\[5\]=5 return 5;)

发现没有与8有关系的点了，返回此前一次搜索，**更新vis\[8\]=1**；

表示8已经被搜完，**更新f\[8\]=5**，发现5没有没搜过的子节点了，寻找与其有关系的点；

![818487-20151005094054237-333460930.jpg][]

发现7和5有关系，**此时vis\[7\]=1**，所以他们的**最近公共祖先**为**find(7)=5**；

(find(7)的顺序为f\[7\]=5-->f\[5\]=5 return 5;)

又发现5和3有关系，但是**vis\[3\]=0**，所以**不操作**，此时5的子节点全部搜完了；

返回此前一次搜索，**更新vis\[5\]=1**，表示5已经被搜完，**更新f\[5\]=2**；

发现2没有未被搜完的子节点，寻找与其有关系的点；

又发现没有和2有关系的点，则此前一次搜索，**更新vis\[2\]=1**；

![818487-20151005100146690-1294857778.jpg][]

表示2已经被搜完，**更新f\[2\]=1**，继续**搜3**，发现3有一个子节点6；

**搜索6**，发现6没有子节点，则寻找与6有关系的点，发现4和6有关系；

**此时vis\[4\]=1**，所以它们的**最近公共祖先**为**find(4)=1**;

(find(4)的顺序为f\[4\]=2-->f\[2\]=2-->f\[1\]=1 return 1;)

发现没有与6有关系的点了，返回此前一次搜索，**更新vis\[6\]=1**，表示6已经被搜完了；

![818487-20151005101758206-890675418.jpg][]

**更新f\[6\]=3**，发现3没有没被搜过的子节点了，则寻找与3有关系的点；

发现5和3有关系，**此时vis\[5\]=1**，则它们的**最近公共祖先**为**find(5)=1**；

(find(5)的顺序为f\[5\]=2-->f\[2\]=1-->f\[1\]=1 return 1;)

发现没有和3有关系的点了，返回此前一次搜索，**更新vis\[3\]=1**；

![818487-20151005102559159-375592206.jpg][]

**更新f\[3\]=1**，发现1没有被搜过的子节点也没有有关系的点，此时可以**退出整个dfs**了。

经过这次dfs我们得出了所有的答案，有没有觉得很神奇呢？是否对Tarjan算法有更深层次的理解了呢？

**　**

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[Link 1]: http://codevs.cn/problem/2370/
[Link 2]: http://codevs.cn/problem/1036/
[Link 3]: http://oj.fjaxyz.com:3389/problem.php?id=223/
[Link 4]: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2586
[Link 5]: http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3195
[https_www.cnblogs.com_JVxie_p_4854719.html]: https://www.cnblogs.com/JVxie/p/4854719.html
[LCA _ _]: https://blog.csdn.net/Cynthia_wjyi/article/details/47664075
[LCA]: https://blog.csdn.net/Diogenes_/article/details/81456507
[LCA_-Tarjan_RMQ]: https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/7256007.html