数学笔记（持续更新）

Dear 丶 2021-11-09 15:24 521阅读 0赞

7月26日  
一、因式分解：  
一.1 因式定理  
因式定理：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。  
适用范围：一元n次n+1项式。  
使用步骤：1.找到常数项的约数作为a来试根，找到若干个一次因式，使得剩下的因式是个二次因式。  
2.利用大除法/拆项法找到除这些一次因式以外的那个二次因式。  
3.使用十字相乘法分解这个二次因式。  
注：  
1.形如ax^2 + bxy + cy^2的齐次（每一项的次数相同）多项式在因式分解时忽略y，以ax^2 + bx + c的形式进行因式分解，最后在每个因式的常数项后面写上y。  
2.轮换对称式因式分解的结果还是轮换对称式。

二、数论（奇偶性/整除性/质数与合数/约数与倍数/同余）  
二.1 整除  
整除的定义：设a、b是整数，且b ≠ 0，若有一个整数q，使得a = b \* q，那么就称b整除a，或a被b整除，记作b | a。此时称a是b的倍数，b是a的约数。  
注：  
0是任何非零整数的倍数。

不整除的定义：设a、b是整数，且b ≠ 0，若有一个整数q，使得a = b \* q + r(0 < r < |b|)，那么就称b不整除a，记作b ／| a。此时称q为a除以b的（不完全）商，称r为a除以b的余数。

定理：设a、b是整数，且b ≠ 0，则有唯一一组整数q和r，使得a = b \* q + r（其中0 ≤ r ≤ |b|)。  
当r = 0时，b | a；当r ≠ 0时，b /| a。

特别的，当用2作除数时，余数为0或1，前者被除数称为偶数，后者被除数称为奇数。

奇数表示公式：2n+1(n是整数)  
偶数表示公式：2n(n是整数)

性质1：同奇偶的两个数之和（或差）是偶数。  
异奇偶的两个数之和（或差）是奇数。  
奇数个奇数之和是奇数。  
偶数个奇数之和是偶数。  
性质2：奇数乘奇数是奇数。  
偶数乘偶数是偶数。  
奇数乘偶数是偶数。  
性质3：奇数的平方除以4余1。  
偶数的平方是4的倍数。  
性质4：两个整数之和与之差的奇偶性相同。

判断一个数能否被2^n或5^n整除：看这个数的末n位能否被2^n或5^n整除。  
判断一个数能否被3或9整除：看这个数各位数字之和能否被3或9整除。  
判断一个数能否被11整除：看这个数奇数位数字之和与偶数位数字之和之差能否被11整除。  
判断一个数能否被7或11或13整除：看这个数末三位组成的数字与其余数位组成的数字之差能否被7或11或13整除。  
注：1.设α、β是个位数，且α ≤ β，则9 ≤ α + β ≤ 18；-9 ≤ α - β ≤ 9。  
2.形如111 \* 111的式子有简便算法（= 12321）。

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