集合计数：容斥原理

Myth丶恋晨 2021-10-30 05:08 370阅读 0赞

[zkt大神的同题题解：][zkt]**[ https://www.cnblogs.com/hzoi-DeepinC/articles/11102979.html][zkt]**

**Description**

> 一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）

**Input**

> 一行两个整数N,K

**Output**

> 一行为答案。

**Sample Input**

>     3 2

**Sample Output**

> 6

**Sample Explanation**

> 假设原集合为\{A,B,C\}
> 
> 则满足条件的方案为：\{AB,ABC\},\{AC,ABC\},\{BC,ABC\},\{AB\},\{AC\},\{BC\}

**Hint**

> 对于100%的数据，1≤N≤1000000；0≤K≤N；

写题解不只是为了写题解，重在讲思路，想直接看正解的兄台自行跳跃阅读。

抱歉我脑子略笨，的确是没能一下想到正解，第一思路是一个n2的暴力

**70%算法**

虽说是暴力，但其实思路并不太好想，因为乍一下没有上正轨，所以最后的思维量几乎比std还大

然而只有70分，没人会体恤你有多笨QAQ

假如原问题的含义以函数f(n,k)表示，即n元素交集为k的方案数

我们可以认为这个过程分为两步：f(n,k)=C(n,k)\*f(n-k,0)

第一步是从n个元素中选出k个C(n,k)，其次要任意选集合使它们的交集恰好为这k个元素

那么我们可以确定，最后被选出的集合中，每个集合都含有这k个元素，而其余元素的交集为空集:f(n-k,0)

如：\{a，b，c\}三个元素，k=1时，假如你选定了a，那么可能出现的集合有：\{a\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,b,c\}

去掉你选中的元素a，剩下的是Ø,\{b\},\{c\},\{b,c\}，你要在这几个集合中任选，使它们交集为空

一种可能的选法是\{a\},\{a,b\},\{a,b,c\}，去掉a后剩下Ø,\{b\},\{b,c\},它们的交集的确为空

看起来“其余元素交集为空”这个问题会更好解一些，即f(s,0)。

假如真的是这样，那么问题就化简成了f(n,k)=C(n,k)\*f(n-k,0)

这样所有的问题都可以依赖f(n-k,0)来求解了。我们只需要求出f(x,0)这个数列

我一直在尝试找到这个数列的规律，于是我手模了许多点，得到了f(n,k)的表格

![1708004-20190628141540555-1942111873.png][]

//Update:感谢starsing大神更正数据，f(4,0)应该是64594

这个表格里貌似规律很多，但是f(x,0)真的有规律么：2，10，218，64594...

我没发现。。。但是我发现了最后一行：所有选法是22^n\-1,因为一共2n个集合，每一个集合都可以选或不选

但不能都不选，所以要-1。

现在我们就能得到f(x,0)了，假如我们已知所有的f(1,0),f(2,0)....f(x-1,0),用总数减去∑i=1->xf(x,i)即∑i=1->xC(x,x-i)\*f(x-i,0)

这样是n2的，在求f(n,k)的过程中我们可以求出所有的f(m,s)值(m<=n)

但是大多数f值都没有用，存下它们会爆内存，于是用完直接覆盖就行，保留f(x，0)即可

![ContractedBlock.gif][] ![ExpandedBlockStart.gif][]

1 #include<cstdio>
     2 #define int long long
     3 const long long mod=1000000007;
     4 long long fac[1000005],inv[1000005],invv[1000005],x,y,n,k,f0[1000005],f[1000005];
     5 long long pow(long long b,long long t,long long modd,long long ans=1){
     6     for(;t;t>>=1,b=b*b%modd)if(t&1)ans=ans*b%modd;
     7     return ans;
     8 }
     9 signed main(){
    10     scanf("%lld%lld",&n,&k);
    11     fac[0]=inv[0]=invv[0]=f0[0]=invv[1]=inv[1]=fac[1]=1;f0[1]=2;
    12     for(int i=2;i<=n;++i)fac[i]=fac[i-1]*i%mod,invv[i]=(-mod/i*invv[mod%i])%mod,inv[i]=inv[i-1]*invv[i]%mod;
    13     for(int i=1;i<=n;++i){
    14         f0[i]=(pow(2,pow(2,i,mod-1),mod)-1+mod)%mod;
    15         for(int j=1;j<=i;++j)f[j]=fac[i]*inv[j]%mod*inv[i-j]%mod*f0[i-j]%mod,f0[i]=(f0[i]-f[j]+mod)%mod;
    16         f[0]=f0[i];
    17     }
    18     printf("%lld\n",(f[k]+mod)%mod);
    19 }

愚蠢的TLE70代码

**100%算法**

在求f(n,k)的过程当中出现了太多的冗余运算量，肯定不是正解，死了～

不知道有没有大神能优化那个我认为没救了的算法，我是抛弃它了

然后我们还是好好看看题目吧：又是交集又是子集的，能想到什么？

呃。。这个悬念有点无趣，因为我在题目里就已经说了。。容斥嘛。。。

为什么刚开始想不到啊啊啊啊（笨，不解释）

每次我都喜欢举这个例子：4个圈的venn图

![1708004-20190628143151454-1555093340.png][]这是一张让我第二次受益匪浅的图

现在考虑n=4，k=2

每个圈分别叫\{a，b，c，d\}，它们包含的部分都表示这些选法的交集含有这个元素

那么两个圈的公共部分就表示他们的交集含有两个元素

仔细想想每个图里要填些什么，我不方便把我的草稿纸照下来。。

假如只被一个圈包含的颜色最浅的部分叫做1级部分，两个圈的公共部分而不被其它圈包含的叫做2级部分，以此类推

最后可以发现，1级部分上都写着218，2级上是10，3级是2，4级是1。

p级是f(n-p,0)。。。唉。。。看似没什么进展，还是不会求啊

但是我们再找找别的规律：

重新定义级数，1级表示含有1个特定元素的部分（可以不是恰好只含有它），如图中3个完整的圆都是1级部分，整个红色区域也是1个1级的

对于每个4级部分，是1

对于每个3级部分，是2+1=3

对于每个2级部分，是10+2+1+2=15

对于每个1级部分，是10+2+1+2+2+10+10+218=255

对于每个s级部分，是2n-s\-1

我们现在要求f(4,2),尝试用这些部分把它表示出来吧

1级部分我们貌似用不到

2级部分用得到，一共有6个2级部分，是C(4,2)，把它们加上，ans=6\*15=90

然而在加2级部分的时候我们误加了一些3级部分，把它们减去

有几个呢？每个2级部分都包括2个3级部分，那么一共12个，ans=ans-12\*3=54

然而又一次地，我们减去过多的4级部分了，该加回来多少呢？

在加2级部分时，每个2级部分包含1个4级部分，6个2级部分一共加了6个4级部分

在减3级部分时，每个3级部分包含1个4级部分，12个3级部分一共减了12个4级部分

所以一共应该加回来6个4级部分，ans=ans+6×1=60 对了！

现在只剩下了两个问题：怎么求22^n?怎么获得一个k级部分应该被加减几次？

对于第一个问题，显然不能直接把指数对1e9+7取模，答案不对，那应该怎么办？

费马小定理：ap-1Ξp(mod p) p是质数

所以说指数是可以对p-1取模，即1e9+6

对于第二个问题就没那么好想了，至少我想的超麻烦

求f(n,k):显然k级部分需要被加C(n,k)次，为了方便研究（我懒得打），把所有数缩小这么多倍，最后再乘回来

k级：**1**

k+1级:-C(n-k,1)=**-1**(n-k)

k+2级:-C(n-k,2)+C(n-k-1,1)\*C(n-k,1)=-(n-k)(n-k-1)/2+(n-k)(n-k-1)=(**1/2**)\*(n-k)(n-k-1)

k+3级:-C(n-k,3)+C(n-k-1,2)\*C(n-k,1)+C(n-k-2,1)\*(-C(n-k,2)+C(n-k-1,1)\*C(n-k,1))=(-1/6+1/2-1/2)(n-k)(n-k-1)(n-k-2)=(**-1/6**)(n-k)(n-k-1)(n-k-2)

k+4级:-C(n-k,4)+...=(-1/24+1/6-1/4+1/6)(n-k)(n-k-1)(n-k-2)(n-k-3)=(**1/24**)(n-k)(n-k-1)(n-k-2)(n-k-3)

红色部分的系数，是正负交替的，而其绝对值是阶乘的倒数，用逆元解决

而后面的部分显然是一段连乘，用阶乘和阶乘的逆元解决。代码实现自行处理。

![ContractedBlock.gif][] ![ExpandedBlockStart.gif][]

1 #include<cstdio>
     2 const long long mod=1000000007;
     3 long long fac[1000005],inv[1000005],invv[1000005],x,y,n,k,ans,res;
     4 inline long long pow(long long b,long long t,long long modd,long long ans=1){
     5     for(;t;t>>=1,b=b*b%modd)if(t&1)ans=ans*b%modd;
     6     return ans;
     7 }
     8 inline long long c(long long b,long long t){
         return fac[b]*inv[t]%mod*inv[b-t]%mod;}
     9 signed main(){
    10     scanf("%lld%lld",&n,&k);
    11     fac[0]=inv[0]=invv[0]=invv[1]=inv[1]=fac[1]=1;
    12     for(int i=2;i<=n;++i)fac[i]=fac[i-1]*i%mod,invv[i]=(-mod/i*invv[mod%i])%mod,inv[i]=inv[i-1]*invv[i]%mod;res=c(n,k);
    13     for(int i=k;i<=n;++i)
    14         ans=(ans+(((k-i)&1)?-1:1)*res*inv[i-k]%mod*fac[n-k]%mod*inv[n-i]%mod*(pow(2,pow(2,n-i,mod-1),mod)-1))%mod;
    15     printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
    16 }

码量很小^\_^

转载于:https://www.cnblogs.com/hzoi-DeepinC/p/11102929.html

[zkt]: https://www.cnblogs.com/hzoi-DeepinC/articles/11102979.html
[1708004-20190628141540555-1942111873.png]: /images/20211029/1bef422180ba43b4a22cab40f40ad308.png
[ContractedBlock.gif]: https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif
[ExpandedBlockStart.gif]: /images/20211029/714febd655cc49bd9a48a7f34843d9fd.png
[1708004-20190628143151454-1555093340.png]: /images/20211029/1dc39910fab24bb8997f82d109f3b00b.png