剑指offer面试题：14剪绳子

Bertha 。 2021-10-29 14:38 281阅读 0赞

# 题目 #

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段 (m和n都是整数，n>1并且m>1)每段绳子的长度记为k\[0\],k\[1\],…,k\[m\].请问k\[0\]k\[1\]…\*k\[m\]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2,3,3的三段，此时得到的最大乘积是18。

# 分析 #

1.  归纳法分析---其他博客的做法
2.  题型类似于斐波那契数列思想，当前问题求解依赖于上一个子问题的解决，求长度n的最大乘积依赖于求解长度n-1。将大问题长度n依次化解成小问题求长度n-1，再求长度n-2.....最后问题变成求解长度 2。从小长度n=2，逐层回溯，就得到大长度n的结果。也就是递归法----本文特色，看代码
3.  形如  f(n)=max \{f(n-i)\*f(i)\} 或者f(n)=min \{f(n-i)\*f(i)\} 求最优解，解的数目不唯一-----符合动态规划要求，直接用动态规划方法，归纳法和递归法得到的结果也是动态规划思想的变形。常见经典动态规划：礼物最大值问题，背包问题，硬币找零

*  归纳法

绳子的最小基础剪发可以分为2 或3， 也就是，当数据中全是由2 或3 组成时，相乘的结果最大。因此，由小至大，

\* 绳子的长为2时，只能剪成1 1，即f(2) = 1x1 = 1;

\* 当绳子长为3时，可能将绳子剪成长度为1 2 或者1 1 1，由于1 x 2 > 1 x 1 x 1,因此f(3)=2;  
　　\* 当绳子长为4时，可能将绳子剪成长度为2 2 或者 1 2 1 或者1 1 1 1或者 1 3，由于2 x 2 > 其他，因此f(4)=2\*2  
　　\* 当绳子长为5时，可能将绳子剪成长度为3 2 或者...，由于3 x 2 > 其他，因此f(5)=3\*2;  
　　\* 当绳子长为6时，可能将绳子剪成长度为3 3 或者...，由于3 x 3 > 其他，因此f(6)=3\*3=9;//不使用f(3)因为3为最小单位中的最大值  
　　\* 当绳子长为7时，可能将绳子剪成长度为4 3 或者...，由于4 x 3 > 其他，因此f(7)=f(4)\*3=2\*2\*3=12；我们的算法求解范围为由1-n。由小向大算，因此f(4)我们已经算出来了，直接使用即可，不必重复计算。  
　　\* 当绳子长为8时，可能将绳子剪成长度为2 6 或者...，因此f(8)=f(6)\*2=3\*3\*2=18;我们的算法求解范围为由1-n。由小向大算，因此f(6)我们已经算出来了，直接使用即可，不必重复计算。

同理，当绳子长为9时，比较2\*f(7)的值和3\*f(6)的值即可.当绳子长为10时，比较2\*f(8)的值和3\*f(7)的值即可..当绳子长为11时，比较2\*f(9)的值和3\*f(8)的值即可.

归纳出 除绳子长度小于4外，均满足 f(n)=max\{f(n-i)\*f(i)\}

# 程序 #

*   归纳法

#include <iostream> 
    using namespace std;
    
    int cutting(int n) 
    {
      // 特殊绳长，长度为0、1、2、3,除此之外都是符合f(n)=max{f(n-i)*f(i)}
      if(n==1)    
        return 0;
      if(n==2)	
        return 1;
      if(n==3)  
        return 2;
        
      //绳子大于3情况,下面的初始化不代表着最大值，为了方便i>=4的计算,使得符合f(n)=max{f(n-i)*f(i)}
      int product[n]; 
      product[0]=0;
      product[1]=1;
      product[2]=2;
      product[3]=3;
      int Max;  
      if(n>3)
      {
      	for(int i=4;i<n+1;i++) 
      	{  // 任意比n小的长度，剪裁的最值f(4) f(5) f(n-2) f(n-1) 
    	  for(int m=2;m<=n/2;m++)   //尝试剪m次，找到当前最大
           {
        	product[i]=product[i-m]*product[m]; 
        	if(Max<product[i])
        	  Max=product[i];
    	  } 
      	  //当前长度一轮试探剪裁，从2段到n/2完事，把最终找到的最大值放进去作为下一轮调用的起始值 
    	  product[i]=Max;
    	} 
    	//全部循环结束，最后一轮的值就是目标 
    	return product[n];  
    }
    int main() 
    {
    	cout<<"绳子剪裁最优方案："<<cutting(8); 
    	return 0; 
    }

*  递归法

#include <iostream> 
    using namespace std;
    
    //n cal分别传入绳子长度，函数cuttingRevise传出最优解
    // cal 用来控制特殊值--绳长1 2 3时，n用来控制递归
    int cuttingRevise(int n,int cal) 
    {  //特殊绳长
      if(n==1&&cal<4)	
        return 0;
      if(n==2&&cal<4)  
        return 1;
      if(n==3&&cal<4)
        return 2;
      
      // 绳长大于3 
      if(n==0&&cal>3)    
        return 0;
      if(n==1&&cal>3)	
        return 1;
      if(n==2&&cal>3)  
        return 2;
      if(n==3&&cal>3)
        return 3;
      if(n>3)	
      {
      	int m=2,Max=0;  
      	while(m<=n/2)
      	{
      	  int k=cuttingRevise(m,cal)*cuttingRevise(n-m,cal); //递归，f(n)=f(n-i)*f(i) 	
      	  m++;  
    	  if(Max<k) 
    	    Max=k; 
    	}
    	return Max;  //返回最值，f(n)=max{f(n-i)*f(i)}
      }	
    }
    
    int main() 
    {
    	cout<<"纯递归绳子剪裁最优方案："<<cuttingRevise(7,7); 
    	return 0; 
    }

# 问题推广  #

###  礼物最大值 ###

在一个 m\*n 的棋盘中的每一个格都放一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于0）.你可以从棋盘的左上角开始拿各种里的礼物，并每次向左或者向下移动一格，直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及上面个的礼物，请计算你最多能拿走多少价值的礼物？

比如说现在有一个如下的棋盘，

![SouthEast][]  
在这个棋盘中，按照（1，12，5，7，7，16，5）的顺序可以拿到总价值最大的礼物

### 背包问题 ###

假设山洞里共有a,b,c,d ,e这5件宝物（不是5种宝物），它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包, 怎么装背包，可以才能带走最多的财富

[SouthEast]: /images/20211029/9e6b0cdcde7e4e19901bf3b8ad6b29ce.png