「2019纪中集训Day5」解题报告

太过爱你忘了你带给我的痛 2021-10-23 15:12 273阅读 0赞

# T1、跳房子 #

![game1.png][]  
![game2.png][]  
![game3.png][]

\$Sol\$：  
可以单独考虑一个点进行两种不同的操作后对答案的贡献，随便推一推就能算了。  
或者可以把行列的操作分开算，不难发现行的和是个等差数列(列也一样)，只需要先进行(xing)行(hang)操作，维护每一列的和的首项和公差即可；  
时间复杂度 \$O(m)\$。

代码如下：

//#pragma GCC optimize(2)
    //#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    int in() {
        int x = 0; char c = getchar(); bool f = 0;
        while (c < '0' || c > '9')
            f |= c == '-', c = getchar();
        while (c >= '0' && c <= '9')
            x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48), c = getchar();
        return f ? -x : x;
    }
    template<typename T>inline void chk1(T &_, T __) { _ = _ < __ ? _ : __; }
    template<typename T>inline void chk2(T &_, T __) { _ = _ > __ ? _ : __; }
    
    const int N = 1e6 + 5, Q = 1e5 + 5, mod = 1e9 + 7;
    
    int n, m, q;
    struct info {
        int typ;
        int x, k;
    } a[Q];
    int x[N], y[N];
    
    inline void add(int &_, int __) {
        _ += __;
        if (_ >= mod) _ -= mod;
        if (_ < 0)    _ += mod;
    }
    
    int main() {
        //freopen("in", "r", stdin);
        freopen("game.in", "r", stdin);
        freopen("game.out", "w", stdout);
        n = in(), m = in(), q = in();
        for (int i = 1; i <= q; ++i) {
            char c = getchar();
            while (c != 'R' && c != 'S')
                c = getchar();
            a[i] = (info){c == 'R', in(), in()};
        }
        
        int d = n;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            x[i] = 1;
        
        if (n & 1)
            y[1] = 1ll * (1ll * (n - 1) / 2 * m + 1) % mod * n % mod;
        else
            y[1] = 1ll * (1ll * (n - 1) * m + 2) % mod * (n / 2) % mod;
        
        for (int i = 1; i <= q; ++i)
            if (a[i].typ) {
                add(y[1], 1ll * (1 + 1ll * (a[i].x - 1) * m % mod) * x[a[i].x] % mod * (a[i].k - 1) % mod);
                add(d, 1ll * (a[i].k - 1) * x[a[i].x] % mod);
                x[a[i].x] = 1ll * x[a[i].x] * a[i].k % mod;
            }
        
        for (int i = 2; i <= m; ++i)
            y[i] = y[i - 1], add(y[i], d);
        for (int i = 1; i <= q; ++i)
            if (!a[i].typ)
                y[a[i].x] = 1ll * y[a[i].x] * a[i].k % mod;
        for (int i = 1; i <= m; ++i)
            add(y[0], y[i]);
        printf("%d\n", y[0]);
        return 0;
    }

# T2、跳房子 #

![game.png][]  
![game\_input.png][game_input.png]

\$Sol\$：  
考虑优化暴力找循环节，记录每个点会走到第 \$m\$ 列的哪一个位置，修改时找到第一列中会改变的区间即可；  
时间复杂度 \$O((m + n)\\ Q)\$。

代码(咕)

# T3、优美序列 #

![sequence1.png][]  
![sequence2.png][]  
数据保证随机。

\$Sol1\$：  
对于一个询问 \$l, r\$，找出 \$l, r\$ 之间的最小、大值记为 \$x, y\$，判断是否 \$l - r == x - y\$，然则 \$l, r\$ 为答案，否则用大小在 \$x, y\$ 之间最左边和最右边的位置更新 \$l, r\$；  
最大最小值用 \$st\$ 表维护。  
显然地，这样做最坏复杂度是 \$O(n ^ 2)\$，但是数据保证随机，卡一卡就过了。  
没有代码(我没有卡过)。

\$Sol2\$：  
这个是题解里的做法；  
将询问离线处理，分治求解；  
先找出所有在 \$l, r\$ 之间的询问，分成三类，包含于 \$\[l,mid\]\$、包含于 \$\[mid + 1, r\]\$、包含 \$\[mid, mid + 1\]\$；  
前两种递归处理，第三种可以找出所有包含 \$\[mid, mid + 1\]\$ ，不超出 \$l, r\$ 的优美序列，然后更新答案。  
由于数据随机，它也可以过，时间复杂度 \$O(n \\ log\_2^2 n)\$ (反正我觉得它是个期望复杂度)。  
代码(?)，反正看着都像假算法为什么不写 \$Sol1\$。

\$Sol3\$：  
讲题人说是可以用析合树做，有兴趣可以去学一下。

\$Sol4\$：  
一个区间 \$l, r\$ 它是完美序列，当且仅当：\$l + num == r\$ 成立，其中 \$num\$ 为区间里差为 \$1\$ 的数对个数；  
先把询问排序按右端点，从左到右枚举序列的每一个位置，设现在枚举到 \$i\$；  
那么对于询问 \$ql, qr\$ $(qr \\le i) $，只需查询 \$\[1,ql\]\$ 中是否有满足条件，就可知以 \$i\$ 为右端点，该询问是否可以被解决，  
即：该询问被右端点为 \$i\$ 的完美序列包含，若可以，找一个最大的左端点即可，若不能解决，放进堆里以后处理(堆是关于左端点的大根堆)；  
设 \$\[l\_1, r\_1\], \[l\_2, r\_2\]\$ 都是完美序列且 \$l\_2 \\le r\_1，r\_1 \\le r\_2\$，则 \$\[l\_2, r\_1\]\$ 也是完美序列，所以这样做一定是对的，所有询问一定会在第一次能够解决时得到最优解，这一点是显然的，不再赘述；

对于 \$l + num\$ 的维护：  
因为右端点是枚举的，只需维护对于当前的右端点，所有左端点 \$p \\in \[1, i\]\$，\$p + num\_p\$ 的值即可；  
这个可以用线段树维护：\$a\_i\$ 只会对 \$i\$ 左边的 \$a\_i - 1\$，\$a\_i + 1\$ 有贡献，左端点取在它们左边的 \$l + num\$ 就会加 \$1\$；  
时间复杂度 \$O(n \\ log\_2 n)\$。

代码如下：

//#pragma GCC optimize(2)
    //#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    #include <vector>
    #include <queue>
    int in() {
        int x = 0; char c = getchar(); bool f = 0;
        while (c < '0' || c > '9')
            f |= c == '-', c = getchar();
        while (c >= '0' && c <= '9')
            x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48), c = getchar();
        return f ? -x : x;
    }
    template<typename T>inline void chk_min(T& _, T __) { _ = _ < __ ? _ : __; }
    template<typename T>inline void chk_max(T& _, T __) { _ = _ > __ ? _ : __; }
    
    const int N = 1e5 + 5;
    
    int n, m, a[N], pos[N];
    
    std::pair<int, int> res[N];
    std::vector<std::pair<int, int> > b[N];
    std::priority_queue<std::pair<int, int> > q;
    
    struct segment_tree {
        std::pair <int, int> t[N << 2];
        int add[N << 2];
        inline void push_up(const int p) {
            t[p] = std::max(t[p << 1], t[p << 1 | 1]);
        }
        void build(const int tl, const int tr, const int p) {
            if (tl == tr)
                return (void)(t[p].first = tl, t[p].second = tl);
            int mid = (tl + tr) >> 1;
            build(tl, mid, p << 1);
            build(mid + 1, tr, p << 1 | 1);
            push_up(p);
        }
        inline void spread(const int p) {
            add[p << 1] += add[p], add[p << 1 | 1] += add[p];
            t[p << 1].first += add[p], t[p << 1 | 1].first += add[p];
            add[p] = 0;
        }
        void modify(const int l, const int r, const int tl, const int tr, const int p) {
            if (l <= tl && tr <= r)
                return (void)(++t[p].first, ++add[p]);
            if (add[p])
                spread(p);
            int mid = (tl + tr) >> 1;
            if (mid >= l)
                modify(l, r, tl, mid, p << 1);
            if (mid < r)
                modify(l, r, mid + 1, tr, p << 1 | 1);
            push_up(p);
        }
        std::pair<int, int> query(int l, int r, int tl, int tr, int p) {
            if (l <= tl && tr <= r)
                return t[p];
            if (add[p])
                spread(p);
            int mid = (tl + tr) >> 1;
            if (mid < l)
                return query(l, r, mid + 1, tr, p << 1 | 1);
            if (mid >= r)
                return query(l, r, tl, mid, p << 1);
            return std::max(query(l, r, tl, mid, p << 1),
                            query(l, r, mid + 1, tr, p << 1 | 1));
        }
    } T;
    
    int main() {
    //  freopen("in", "r", stdin);
        freopen("sequence.in", "r", stdin);
        freopen("sequence.out", "w", stdout);
        n = in(), T.build(1, n, 1);
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            a[i] = in(), pos[a[i]] = i;
        m = in();
        for (int i = 1, l, r; i <= m; ++i) {
            l = in(), r = in();
            b[r].push_back(std::make_pair(l, i));
        }
        
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            if (a[i] > 1 && pos[a[i] - 1] < i)
                T.modify(1, pos[a[i] - 1], 1, n, 1);
            if (a[i] < n && pos[a[i] + 1] < i)
                T.modify(1, pos[a[i] + 1], 1, n, 1);
            unsigned siz = b[i].size();
            for (unsigned j = 0; j < siz; ++j)
                q.push(b[i][j]);
            while (!q.empty()) {
                std::pair<int, int> u = q.top(), tmp;
                tmp = T.query(1, u.first, 1, n, 1);
                if (tmp.first == i)
                    res[u.second] = std::make_pair(tmp.second, i), q.pop();
                else
                    break;
            }
        }
        for (int i = 1; i <= m; ++i)
            printf("%d %d\n", res[i].first, res[i].second);
        return 0;
    }

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[game.png]: https://i.loli.net/2019/08/05/R8XrEz6YO2n741B.png
[game_input.png]: https://i.loli.net/2019/08/05/olNFkx2EbUwtXVH.png
[sequence1.png]: https://i.loli.net/2019/08/05/ASjglbW8ohpQvu1.png
[sequence2.png]: https://i.loli.net/2019/08/05/cGznywgNds7jBtI.png