信息熵、条件熵、联合熵、互信息和条件互信息

墨蓝 2021-09-29 14:22 874阅读 0赞

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### 目录 ###

*  1. 信息熵
 *  2. 联合熵
 *  3. 条件熵
 *  4. 互信息
 *  5. 条件互信息
 *  6. 参考文章

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# 1. 信息熵 #

信息熵是用于度量信息量大小的指标。

设  X X X 是一个随机变量，则  X X X 的信息熵定义为：

>  H ( X ) = − ∑ x ∈ X p ( x ) log ⁡ p ( x ) (1) H(X) = - \\sum\_\{x \\in X\} p(x) \\log p(x) \\tag\{1\} H(X)=−x∈X∑p(x)logp(x)(1)

有时也写作：

>  H ( X ) = − ∑ i = 1 n p ( x i ) log ⁡ p ( x i ) H(X) = - \\sum\_\{i=1\}^\{n\} p(x\_i) \\log p(x\_i) H(X)=−i=1∑np(xi)logp(xi)

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# 2. 联合熵 #

两个随机变量  X X X 和  Y Y Y 的联合熵定义为：

>  H ( X , Y ) = − ∑ x ∈ X ∑ y ∈ Y p ( x , y ) log ⁡ p ( x , y ) (2) H(X, Y) = - \\sum\_\{x \\in X\} \\sum\_\{y \\in Y\} p(x, y) \\log p(x, y) \\tag\{2\} H(X,Y)=−x∈X∑y∈Y∑p(x,y)logp(x,y)(2)

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# 3. 条件熵 #

设  X X X、 Y Y Y 是随机变量，条件熵  H ( Y ∣ X ) H(Y|X) H(Y∣X) 表示在已知随机变量  X X X 的条件下随机变量  Y Y Y 的不确定性。  
条件熵  H ( Y ∣ X ) H(Y|X) H(Y∣X) 定义为  X X X 给定条件下  Y Y Y 的条件概率分布的熵对  X X X 的数学期望：

>  H ( Y ∣ X ) = ∑ x ∈ X p ( x ) H ( Y ∣ X = x ) = − ∑ x ∈ X p ( x ) ∑ y ∈ Y p ( y ∣ x ) log ⁡ p ( y ∣ x ) (3) \\begin\{aligned\} H(Y|X) & = \\sum\_\{x \\in X\} p(x) H(Y|X = x) \\\\ & = - \\sum\_\{x \\in X\} p(x) \\sum\_\{y \\in Y\} p(y|x) \\log p(y|x) \\end\{aligned\} \\tag\{3\} H(Y∣X)=x∈X∑p(x)H(Y∣X=x)=−x∈X∑p(x)y∈Y∑p(y∣x)logp(y∣x)(3)

还有一个推导公式：

>  H ( Y ∣ X ) = H ( X , Y ) − H ( X ) H(Y|X) = H(X, Y) - H(X) H(Y∣X)=H(X,Y)−H(X)

**证明**

>  H ( Y ∣ X ) = − ∑ x ∈ X p ( x ) ∑ y ∈ Y p ( y ∣ x ) log ⁡ p ( y ∣ x ) = − ∑ x ∈ X ∑ y ∈ Y p ( x ) p ( y ∣ x ) log ⁡ p ( y ∣ x ) = − ∑ x ∈ X ∑ y ∈ Y p ( x , y ) log ⁡ p ( x , y ) p ( x ) = − ∑ x ∈ X ∑ y ∈ Y p ( x , y ) \[ log ⁡ p ( x , y ) − log ⁡ p ( x ) \] = − ∑ x ∈ X ∑ y ∈ Y p ( x , y ) log ⁡ p ( x , y ) − \[ − ∑ x ∈ X ∑ y ∈ Y p ( x , y ) log ⁡ p ( x ) \] = H ( X , Y ) − \[ − ∑ x ∈ X p ( x ) log ⁡ p ( x ) \] = H ( X , Y ) − H ( X ) . \\begin\{aligned\} H(Y|X) & = - \\sum\_\{x \\in X\} p(x) \\sum\_\{y \\in Y\} p(y|x) \\log p(y|x) \\\\ & = - \\sum\_\{x \\in X\} \\sum\_\{y \\in Y\} p(x) p(y|x) \\log p(y|x) \\\\ & = - \\sum\_\{x \\in X\} \\sum\_\{y \\in Y\} p(x, y) \\log \\frac\{p(x, y)\}\{p(x)\} \\\\ & = - \\sum\_\{x \\in X\} \\sum\_\{y \\in Y\} p(x, y) \[\\log p(x, y) - \\log p(x)\] \\\\ & = - \\sum\_\{x \\in X\} \\sum\_\{y \\in Y\} p(x, y) \\log p(x, y) - \[- \\sum\_\{x \\in X\} \\sum\_\{y \\in Y\} p(x, y) \\log p(x)\] \\\\ & = H(X, Y) - \[- \\sum\_\{x \\in X\} p(x) \\log p(x)\] \\\\ & = H(X, Y) - H(X). \\end\{aligned\} H(Y∣X)=−x∈X∑p(x)y∈Y∑p(y∣x)logp(y∣x)=−x∈X∑y∈Y∑p(x)p(y∣x)logp(y∣x)=−x∈X∑y∈Y∑p(x,y)logp(x)p(x,y)=−x∈X∑y∈Y∑p(x,y)\[logp(x,y)−logp(x)\]=−x∈X∑y∈Y∑p(x,y)logp(x,y)−\[−x∈X∑y∈Y∑p(x,y)logp(x)\]=H(X,Y)−\[−x∈X∑p(x)logp(x)\]=H(X,Y)−H(X).

得证。

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# 4. 互信息 #

在已知了  Y Y Y 之后， X X X 的熵减少的量，称为  X X X 和  Y Y Y 之间的互信息，定义为：

>  I ( X ; Y ) = ∑ x ∈ X ∑ y ∈ Y p ( x , y ) log ⁡ ( p ( x , y ) p ( x ) p ( y ) ) (4) \\begin\{aligned\} I(X; Y) = \\sum\_\{x \\in X\} \\sum\_\{y \\in Y\} p(x, y) \\log \\Big ( \\frac\{p(x, y)\}\{p(x) p(y)\} \\Big ) \\end\{aligned\} \\tag\{4\} I(X;Y)=x∈X∑y∈Y∑p(x,y)log(p(x)p(y)p(x,y))(4)

实际上，还有一个推导公式：

>  I ( X ; Y ) = I ( Y ; X ) = H ( X ) − H ( X ∣ Y ) = H ( Y ) − H ( Y ∣ X ) = H ( X ) + H ( Y ) − H ( X , Y ) I(X; Y) = I(Y; X) = H(X) - H(X|Y) = H(Y) - H(Y|X) = H(X) + H(Y) - H(X, Y) I(X;Y)=I(Y;X)=H(X)−H(X∣Y)=H(Y)−H(Y∣X)=H(X)\+H(Y)−H(X,Y)

**证明**

>  I ( X ; Y ) = ∑ x ∈ X ∑ y ∈ Y p ( x , y ) log ⁡ ( p ( x , y ) p ( x ) p ( y ) ) = − ∑ x ∈ X p ( x ) log ⁡ p ( x ) − ∑ x ∈ X ∑ y ∈ Y p ( x , y ) log ⁡ p ( y ) + ∑ x ∈ X ∑ y ∈ Y p ( x , y ) log ⁡ p ( x , y ) = H ( X ) − ∑ y ∈ Y p ( y ) log ⁡ p ( y ) − \[ − ∑ x ∈ X ∑ y ∈ Y p ( x , y ) log ⁡ p ( x , y ) \] = H ( X ) − H ( X , Y ) + H ( Y ) = H ( X ) + H ( Y ) − H ( X , Y ) . \\begin\{aligned\} I(X; Y) & = \\sum\_\{x \\in X\} \\sum\_\{y \\in Y\} p(x, y) \\log \\Big ( \\frac\{p(x, y)\}\{p(x) p(y) \} \\Big ) \\\\ & = - \\sum\_\{x \\in X\} p(x) \\log p(x) - \\sum\_\{x \\in X\} \\sum\_\{y \\in Y\} p(x, y) \\log p(y) + \\sum\_\{x \\in X\} \\sum\_\{y \\in Y\} p(x, y) \\log p(x, y) \\\\ & = H(X) - \\sum\_\{y \\in Y\} p(y) \\log p(y) - \[- \\sum\_\{x \\in X\} \\sum\_\{y \\in Y\} p(x, y) \\log p(x, y)\] \\\\ & = H(X) - H(X, Y) + H(Y) \\\\ & = H(X) + H(Y) - H(X, Y). \\end\{aligned\} I(X;Y)=x∈X∑y∈Y∑p(x,y)log(p(x)p(y)p(x,y))=−x∈X∑p(x)logp(x)−x∈X∑y∈Y∑p(x,y)logp(y)\+x∈X∑y∈Y∑p(x,y)logp(x,y)=H(X)−y∈Y∑p(y)logp(y)−\[−x∈X∑y∈Y∑p(x,y)logp(x,y)\]=H(X)−H(X,Y)\+H(Y)=H(X)\+H(Y)−H(X,Y).

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# 5. 条件互信息 #

假设  Z Z Z 是已知的，在知道  Z Z Z 的情况下， X X X 和  Y Y Y 的互信息称为条件互信息，定义为：

>  I ( X ; Y ∣ Z ) = ∑ z ∈ Z ∑ y ∈ Y ∑ x ∈ X p ( x , y , z ) log ⁡ p ( z ) p ( x , y , z ) p ( x , z ) p ( y , z ) (5) I(X; Y|Z) = \\sum\_\{z \\in Z\} \\sum\_\{y \\in Y\} \\sum\_\{x \\in X\} p(x, y, z) \\log \\frac\{p(z) p(x, y, z)\}\{p(x, z) p(y, z) \} \\tag\{5\} I(X;Y∣Z)=z∈Z∑y∈Y∑x∈X∑p(x,y,z)logp(x,z)p(y,z)p(z)p(x,y,z)(5)

实际上，有推导公式：

>  I ( X ; Y ∣ Z ) = I ( X ; Y , Z ) − I ( X ; Z ) I(X; Y|Z) = I(X; Y, Z) - I(X; Z) I(X;Y∣Z)=I(X;Y,Z)−I(X;Z)

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# 6. 参考文章 #

1.  [信息熵及其相关概念][Link 1]
2.  [Lin Y, Hu Q, Liu J, et al. Multi-label feature selection based on max-dependency and min-redundancy\[J\]. Neurocomputing, 2015, 168: 92-103.][Lin Y_ Hu Q_ Liu J_ et al. Multi-label feature selection based on max-dependency and min-redundancy_J_. Neurocomputing_ 2015_ 168_ 92-103.]
3.  [机器学习特征选择之卡方检验与互信息][Link 2]
4.  [Conditional mutual information 条件互信息][Conditional mutual information]

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[Link 1]: https://blog.csdn.net/am290333566/article/details/81187124
[Lin Y_ Hu Q_ Liu J_ et al. Multi-label feature selection based on max-dependency and min-redundancy_J_. Neurocomputing_ 2015_ 168_ 92-103.]: https://doi.org/10.1016/j.neucom.2015.06.010
[Link 2]: https://blog.csdn.net/yihucha166/article/details/50646615
[Conditional mutual information]: https://blog.csdn.net/csuhoward/article/details/78682712