毕达哥拉斯定理（又称勾股定理）的证明

青旅半醒 2021-09-29 03:52 1757阅读 0赞

## 前言 ##

最近在拜读欧几里得的数学著作《原本》 看到命题1.47  
对 毕达哥拉斯定理的证明，从几何角度上来证明，还是非常有意思的

毕达哥拉斯定理，又称勾股定理或毕氏定理。是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。  
毕达哥拉斯定理的定义：

> 在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。

下面讲 《原本》中对毕达哥拉斯定理的证明方式  
如同 老爹说的一样： ”要用魔法打败魔法“  
我们也 **要用几何证明几何**

在证明中我们要用到如下三个辅助定理（只涉及初中数学知识）：  
1.全等三角形判定方法：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等.  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzE3ODkyNw_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
2.三角形面积是其与之 同底同高的平行四边形面积的**一半**。![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzE3ODkyNw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

3.正方形的基本性质：  
正方形的四边长度相等  
正方形的面积等于其二边长的乘积（即 一边长的平方）  
![在这里插入图片描述][20190701103010201.png]

设计如下图  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzE3ODkyNw_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
设△ABC为一直角三角形， 其中A为直角。  
在△ABC各边上向外做 正方形 ABFG, ACIH,BCDE.  
从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为 二，其面积分别与其余两个正方形相等。  
所以正方形BCED的面积 = 长方形BDLK的面积 + 长方形KCEL的面积

我们只要证明  
两个小正方形面积之和等于 大正方形的面积  
即 BC² = AB² + AC² 就行了

**证明开始**  
分别连接 CF,AD，形成两个三角形 CBF, DBA  
由正方形FBAG 和 正方形BCED 可知：  
FB = AB, BC = BD, 角FBA = 角CBD = 90度  
角FBC = 角FBA + 角ABC,角ABD = 角CBD + 角ABC, 所以 角FBC = 角ABD  
根据 三角形 全等 SAS定理  
△FBC 全等于 △ABD

再根据辅助定理 ：三角形面积是其与之 同底同高的平行四边形面积的**一半**  
△FBC 同底同高的平行四边形是ABFG  
△ABD 同底同高的平行四边形是BKLD  
所以 **正方形ABFG的面积 = 长方形BKLD的面积**

再分别连接 BI,AE， 形成两个三角形 ACE,BCI  
由正方形ACIH和正方形BCED 可知：  
BC = CE,AC = CI,角ACI= 角BCE = 90度  
角BCI= 角ACI + 角ACB, 角ACE = 角BCE + 角ACB, 所以 角BCI = 角ACE  
根据三角形 全等 SAS定理  
△BCI 全等于 △ACE

再根据辅助定理 ：三角形面积是其与之 同底同高的平行四边形面积的**一半**  
△BCI 同底同高的平行四边形是ACIH  
△ACE 同底同高的平行四边形是KCEL  
所以 **正方形ACIH的面积 = 长方形KCEL的面积**

因为 正方形BCED的面积 = 长方形BDLK的面积 + 长方形KCEL的面积  
所以 **正方形BCED的面积 = 正方形ABFG的面积 + 正方形ACIH的面积**

又因为 正方形的面积等于其二边长的乘积  
所以BC² = AB² + AC²  
即 **直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方**

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## 证讫 ##

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