L2正则化缓解过拟合实例

「爱情、让人受尽委屈。」 2021-09-25 13:36 362阅读 0赞

>  *  **正则化(Regularization)** 是机器学习中对原始损失函数引入额外信息，以便防止过拟合和提高模型泛化性能的一类方法的统称。也就是目标函数变成了**原始损失函数+额外项**，常用的额外项一般有两种，英文称作ℓ1−normℓ1−norm和ℓ2−normℓ2−norm，中文称作**L1正则化**和**L2正则化**，或者L1范数和L2范数（实际是L2范数的平方）。
>  *  **L2正则化，拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小**，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。**可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响**，专业一点的说法是**抗扰动能力强**。
>  *  正则化参数λ越大，θj衰减得越快，**最后求得代价函数最值时各参数也会变得很小，**当然也不是越大越好，太大容易引起欠拟合。

使用逻辑回归的例子来解释正则化问题，给定一个数据集中又x1，x2,y在神经网络中进行训练，再用网格中坐标作为测试集测试，将原始数据x1，x2进行0/1分类，以图表显示

**一.未使用正则化**

1.Y\_c = \[\['red' if y else 'blue'\] for y in y\_train\]  
用颜色来代替0/1预测值 \[\['red'\], \['blue'\], \['blue'\], \['red'\], \['red'\], \['blue'\],

2.h1 = tf.nn.relu(h1)

relu激活函数

3.xx, yy = np.mgrid\[-3:3:.1, -3:3:.1\]

xx在-3到3之间以步长为0.01，yy在-3到3之间以步长0.01,生成间隔数值点，最终xx,yy为60\*60的矩阵，np.mgrid方法详见[mgrid与meshgrid生成数据的区别以及与contour等高线的联系][mgrid_meshgrid_contour]

4.xx.ravel(), yy.ravel()

ravel()方法是将xx，yy矩阵按行优先拉伸为一位数组

5. np.c\_\[xx.ravel(), yy.ravel()\]

np.c\_是将矩阵列数合并要求行数与原矩阵相同，np.r则列数相同，如果是一维数组的话，按两个数组的索引组成坐标对矩阵(shape为n\*2)

6.color=np.squeeze(Y\_c)

squeeze去掉纬度是1的纬度,相当于去掉\[\['red'\],\[''blue\]\],内层括号变为\['red','blue'\]。如果没有维度为1的维度，则不发生改变。

7.plt.scatter(x1, x2, color=np.squeeze(Y\_c))

将原始数据x1，x2形成散列点以坐标图像展示，并标上之前预设好的颜色。

8.plt.contour(xx, yy, probs,levels=\[.5\])

画分界线，数据以0/1分类，probs为每个坐标点的预测值（0~1之间），则将预测值为0.5的坐标画上分界线，此线也就是分类点的分界线。

代码清单：

# Alleviate overfitting缓解过拟合
    
    # L2 正则化公式非常简单，直接在原来的损失函数基础上加上权重参数的平方和：正则化的目的是限制参数过多或者过大，避免模型更加复杂
    
    # 导入所需模块
    import tensorflow as tf
    from matplotlib import pyplot as plt
    import numpy as np
    import pandas as pd
    
    # 读入数据/标签 生成x_train y_train
    df = pd.read_csv('dot.csv')
    #将数据按标签 转换为矩阵x_data y_data
    x_data = np.array(df[['x1', 'x2']])
    y_data = np.array(df[['y_c']])
    # print(x_data)
    print(y_data)
    #下面这一步其实是没有必要的，上面x_data与ydata已经是矩阵形式的了，没必要再通过reshape转为两列一列了，生成的数据其实是相同的
    # reshape(-1, 2)转换为两列，reshape(-1, 1)转换为一列
    #np.vstack(x_data)纵向堆叠数据，形成矩阵形式
    x_train = np.vstack(x_data).reshape(-1, 2)
    y_train = np.vstack(y_data).reshape(-1, 1)
    print(x_train)
    print(y_train)
    
    # 用颜色区分0./1.数据
    Y_c = [['red' if y else 'blue'] for y in y_train]
    print(Y_c)
    #用颜色来代替0/1预测值
    #[['red'], ['blue'], ['blue'], ['red'], ['red'], ['blue'],
    # 转换x的数据类型，否则后面矩阵相乘时会因数据类型问题报错
    x_train = tf.cast(x_train, tf.float32)
    y_train = tf.cast(y_train, tf.float32)
    
    # from_tensor_slices函数切分传入的张量的第一个维度，生成相应的数据集，使输入特征和标签值一一对应
    train_db = tf.data.Dataset.from_tensor_slices((x_train, y_train)).batch(32)
    
    # 生成神经网络的参数，输入层为2个神经元，隐藏层为11个神经元，1层隐藏层，输出层为1个神经元
    # 用tf.Variable()保证参数可训练
    w1 = tf.Variable(tf.random.normal([2, 11]), dtype=tf.float32)
    b1 = tf.Variable(tf.constant(0.01, shape=[11]))
    
    w2 = tf.Variable(tf.random.normal([11, 1]), dtype=tf.float32)
    b2 = tf.Variable(tf.constant(0.01, shape=[1]))
    
    lr = 0.005  # 学习率
    epoch = 800  # 循环轮数
    
    # 训练部分
    for epoch in range(epoch):
        for step, (x_train, y_train) in enumerate(train_db):
            with tf.GradientTape() as tape:  # 记录梯度信息
                # 第一层隐藏层
                h1 = tf.matmul(x_train, w1) + b1  # 记录神经网络乘加运算
                # 如果不用激励函数（其实相当于激励函数是f(x) = x），在这种情况下你每一层输出都是上层输入的线性函数，很容易验证，无论你神经网络有多少层，输出都是输入的线性组合。
                # 激活函数是用来加入非线性因素的，提高神经网络对模型的表达能力，解决线性模型所不能解决的问题。
                h1 = tf.nn.relu(h1)#激活函数
                # 输入激活函数
                y = tf.matmul(h1, w2) + b2
    
                # 采用均方误差损失函数mse = mean(sum(y-out)^2)
                loss = tf.reduce_mean(tf.square(y_train - y))
    
            # 计算loss对各个参数的梯度
            variables = [w1, b1, w2, b2]
            grads = tape.gradient(loss, variables)
    
            # 实现梯度更新
            # w1 = w1 - lr * w1_grad tape.gradient是自动求导结果与[w1, b1, w2, b2] 索引为0，1，2，3
            w1.assign_sub(lr * grads[0])
            b1.assign_sub(lr * grads[1])
            w2.assign_sub(lr * grads[2])
            b2.assign_sub(lr * grads[3])
    
        # 每20个epoch，打印loss信息
        if epoch % 20 == 0:
            print('epoch:', epoch, 'loss:', float(loss))
    
    # 预测部分
    print("*******predict*******")
    # xx在-3到3之间以步长为0.01，yy在-3到3之间以步长0.01,生成间隔数值点
    xx, yy = np.mgrid[-3:3:.1, -3:3:.1]
    # 将xx , yy拉直，并合并配对为二维张量，生成二维坐标点
    #ravel()将数组维度拉成一维数组
    #np.c_将矩阵列数合并要求行数与原矩阵相同，np.r相反
    #如果是数组，用np.c_是组成坐标对
    #grid也就代表网格中所有的坐标点，为了给下面的坐标点赋值预测值，形成测试集
    grid = np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()]
    print("xx.ravel()")
    print(xx.ravel())
    #ravel()将数组维度拉成一维数组
    #[-3.  -3.  -3.  ...  2.9  2.9  2.9]
    print('=============================')
    print(grid)
    # print(grid)
    # [[-3.  -3. ]
    #  [-3.  -2.9]
    #  [-3.  -2.8]
    #  ...
    #  [ 2.9  2.7]
    #  [ 2.9  2.8]
    #  [ 2.9  2.9]]
    grid = tf.cast(grid, tf.float32)
    # 将网格坐标点喂入神经网络，进行预测，probs为输出
    probs = []
    for x_test in grid:
        print(x_test)
        # 使用训练好的参数进行预测
        h1 = tf.matmul([x_test], w1) + b1
        h1 = tf.nn.relu(h1)
        y = tf.matmul(h1, w2) + b2  # y为预测结果
        probs.append(y)
    
    # 取第0列给x1，取第1列给x2
    x1 = x_data[:, 0]
    x2 = x_data[:, 1]
    # probs的shape调整成xx的样子
    print("probs")
    print(probs)#这里打印的是每一个x_test的结果，x_test一共3600个
    probs = np.array(probs).reshape(xx.shape)#xx.shape 60*60
    print(probs)
    print(probs.shape)#60*60
    #将原始数据对生成散列图
    plt.scatter(x1, x2, color=np.squeeze(Y_c))  # squeeze去掉纬度是1的纬度,相当于去掉[['red'],[''blue]],内层括号变为['red','blue']
    #画出0/1  red/blue分界线
    # 把坐标xx yy和对应的值probs放入contour函数，给probs值为0.5的所有点上色  plt.show()后 显示的是红蓝点的分界线
    plt.contour(xx, yy, probs,levels=[.5])#给值为0.5的等高线画上分界线
    plt.show()
    
    # 读入红蓝点，画出分割线，不包含正则化
    # 不清楚的数据，建议print出来查看

** 通过此结果可以看出，分界线很曲折，过拟合，没有很好的模型泛化能力。**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxOTUwNDQ3_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

** 二.使用L2正则化**

为w1，w2添加了L2正则化

loss_regularization = []
    # tf.nn.l2_loss(w)=sum(w ** 2) / 2
    #简单的可以理解成张量中的每一个元素进行平方，然后求和，最后乘一个1/2
    loss_regularization.append(tf.nn.l2_loss(w1))
    loss_regularization.append(tf.nn.l2_loss(w2))
    # 求和
    # 例：x=tf.constant(([1,1,1],[1,1,1]))
    #   tf.reduce_sum(x)
    # >>>6
    loss_regularization = tf.reduce_sum(loss_regularization)
    #正则化参数为0.03
    loss = loss_mse + 0.03 * loss_regularization  # REGULARIZER = 0.03

代码清单：

# 导入所需模块
    import tensorflow as tf
    from matplotlib import pyplot as plt
    import numpy as np
    import pandas as pd
    
    # 读入数据/标签 生成x_train y_train
    df = pd.read_csv('dot.csv')
    x_data = np.array(df[['x1', 'x2']])
    y_data = np.array(df['y_c'])
    
    x_train = x_data
    y_train = y_data.reshape(-1, 1)
    
    Y_c = [['red' if y else 'blue'] for y in y_train]
    
    # 转换x的数据类型，否则后面矩阵相乘时会因数据类型问题报错
    x_train = tf.cast(x_train, tf.float32)
    y_train = tf.cast(y_train, tf.float32)
    
    # from_tensor_slices函数切分传入的张量的第一个维度，生成相应的数据集，使输入特征和标签值一一对应
    train_db = tf.data.Dataset.from_tensor_slices((x_train, y_train)).batch(32)
    
    # 生成神经网络的参数，输入层为2个神经元，隐藏层为11个神经元，1层隐藏层，输出层为1个神经元
    
    # 用tf.Variable()保证参数可训练
    w1 = tf.Variable(tf.random.normal([2, 11]), dtype=tf.float32)
    b1 = tf.Variable(tf.constant(0.01, shape=[11]))
    
    w2 = tf.Variable(tf.random.normal([11, 1]), dtype=tf.float32)
    b2 = tf.Variable(tf.constant(0.01, shape=[1]))
    
    lr = 0.005  # 学习率为
    epoch = 800  # 循环轮数
    
    # 训练部分
    for epoch in range(epoch):
        for step, (x_train, y_train) in enumerate(train_db):
            with tf.GradientTape() as tape:  # 记录梯度信息
    
                h1 = tf.matmul(x_train, w1) + b1  # 记录神经网络乘加运算
                h1 = tf.nn.relu(h1)
                y = tf.matmul(h1, w2) + b2
    
                # 采用均方误差损失函数mse = mean(sum(y-out)^2)
                loss_mse = tf.reduce_mean(tf.square(y_train - y))
                # 添加l2正则化
                loss_regularization = []
                # tf.nn.l2_loss(w)=sum(w ** 2) / 2
                #简单的可以理解成张量中的每一个元素进行平方，然后求和，最后乘一个1/2
                loss_regularization.append(tf.nn.l2_loss(w1))
                loss_regularization.append(tf.nn.l2_loss(w2))
                # 求和
                # 例：x=tf.constant(([1,1,1],[1,1,1]))
                #   tf.reduce_sum(x)
                # >>>6
                loss_regularization = tf.reduce_sum(loss_regularization)
                #正则化参数为0.03
                loss = loss_mse + 0.03 * loss_regularization  # REGULARIZER = 0.03
    
            # 计算loss对各个参数的梯度
            variables = [w1, b1, w2, b2]
            grads = tape.gradient(loss, variables)
    
            # 实现梯度更新
            # w1 = w1 - lr * w1_grad
            w1.assign_sub(lr * grads[0])
            b1.assign_sub(lr * grads[1])
            w2.assign_sub(lr * grads[2])
            b2.assign_sub(lr * grads[3])
    
        # 每200个epoch，打印loss信息
        if epoch % 20 == 0:
            print('epoch:', epoch, 'loss:', float(loss))
    
    # 预测部分
    print("*******predict*******")
    # xx在-3到3之间以步长为0.01，yy在-3到3之间以步长0.01,生成间隔数值点
    xx, yy = np.mgrid[-3:3:.1, -3:3:.1]
    # 将xx, yy拉直，并合并配对为二维张量，生成二维坐标点
    grid = np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()]
    grid = tf.cast(grid, tf.float32)
    # 将网格坐标点喂入神经网络，进行预测，probs为输出
    probs = []
    for x_predict in grid:
        # 使用训练好的参数进行预测
        h1 = tf.matmul([x_predict], w1) + b1
        h1 = tf.nn.relu(h1)
        y = tf.matmul(h1, w2) + b2  # y为预测结果
        probs.append(y)
    
    # 取第0列给x1，取第1列给x2
    x1 = x_data[:, 0]
    x2 = x_data[:, 1]
    # probs的shape调整成xx的样子
    probs = np.array(probs).reshape(xx.shape)
    plt.scatter(x1, x2, color=np.squeeze(Y_c))
    # 把坐标xx yy和对应的值probs放入contour函数，给probs值为0.5的所有点上色  plt.show()后 显示的是红蓝点的分界线
    plt.contour(xx, yy, probs, levels=[.5])
    plt.show()
    
    # 读入红蓝点，画出分割线，包含正则化
    # 不清楚的数据，建议print出来查看

** 通过此图来看，添加了正则化的模型相比较未正则化的图像来说，此图分界线比较圆滑，又较强的模型泛化能力。**

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[mgrid_meshgrid_contour]: https://blog.csdn.net/qq_41950447/article/details/119707988
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