开平方的七种算法

墨蓝 2021-09-22 08:06 1360阅读 0赞

sqrt()函数，是绝大部分语言支持的常用函数，它实现的是开方运算；开方运算最早是在我国魏晋时数学家刘徽所著的《九章算术》被提及。今天写了几个函数加上国外大神的几个神级程序带大家领略sqrt的神奇之处。

# 1.古人算法（暴力法）   #

原理：从0开始0.00001,000002…一个一个试，直到找到x的平方根，代码如下：

**\[java\]** view plain copy

print ?

1.  public class APIsqrt \{  
2.    
3.      static double baoliSqrt(double x) \{  
4.    
5.          final double \_JINGDU = 1e-6;  
6.          double i;  
7.          for (i = 0; Math.abs(x - i \* i) > \_JINGDU; i += \_JINGDU)  
8.              ;  
9.          return i;  
10.     \}  
11.   
12.     public static void main(String\[\] args) \{  
13.         double x = 3;  
14.         double root = baoliSqrt(x);  
15.         System.out.println(root);  
16.     \}  
17. \}

public class APIsqrt {
    
        static double baoliSqrt(double x) {
    
            final double _JINGDU = 1e-6;
            double i;
            for (i = 0; Math.abs(x - i * i) > _JINGDU; i += _JINGDU)
                ;
            return i;
        }
    
        public static void main(String[] args) {
            double x = 3;
            double root = baoliSqrt(x);
            System.out.println(root);
        }
    }

测试结果：

1.7320509999476947

# 2.牛顿迭代法 #

计算机科班出身的童鞋可能首先会想到的是《数值分析》中的牛顿迭代法求平方根。原理是：随意选一个数比如说8，要求根号3，我们可以这么算：

(8 + 3/8) = 4.1875

(4.1875 + 3/4.1875) = 2.4519

(2.4519 + 3/2.4519) = 1.837

(1.837 + 3/1.837) = 1.735

做了4步基本算出了近似值了，这种迭代的方式就是传说中的牛顿迭代法了，代码如下：

**\[java\]** view plain copy

print ?

1.  public class APIsqrt \{  
2.    
3.      static double newtonSqrt(double x) \{  
4.    
5.          if (x < 0) \{  
6.              System.out.println(”负数没事开什么方”);  
7.              return -1;  
8.          \}  
9.          if (x == 0)  
10.             return 0;  
11.   
12.         double \_avg = x;  
13.         double last\_avg = Double.MAX\_VALUE;  
14.         final double \_JINGDU = 1e-6;  
15.   
16.         while (Math.abs(\_avg - last\_avg) > \_JINGDU) \{  
17.             last\_avg = \_avg;  
18.             \_avg = (\_avg + x / \_avg) / 2;  
19.         \}  
20.         return \_avg;  
21.     \}  
22.   
23.     public static void main(String\[\] args) \{  
24.         double x = 3;  
25.         double root = newtonSqrt(x);  
26.         System.out.println(root);  
27.     \}  
28. \}

public class APIsqrt {
    
        static double newtonSqrt(double x) {
    
            if (x < 0) {
                System.out.println("负数没事开什么方");
                return -1;
            }
            if (x == 0)
                return 0;
    
            double _avg = x;
            double last_avg = Double.MAX_VALUE;
            final double _JINGDU = 1e-6;
    
            while (Math.abs(_avg - last_avg) > _JINGDU) {
                last_avg = _avg;
                _avg = (_avg + x / _avg) / 2;
            }
            return _avg;
        }
    
        public static void main(String[] args) {
            double x = 3;
            double root = newtonSqrt(x);
            System.out.println(root);
        }
    }

[测试][Link 1]结果：

1.7320508075688772

# 3.暴力-牛顿综合法 #

原理：还是以根号3为例，先用暴力法讲根号3逼近到1.7，然后再利用上述的牛顿迭代法。虽然没有用牛顿迭代好，但是也为我们提供一种思路。代码如下：

**\[java\]** view plain copy

print ?

1.  public class APIsqrt \{  
2.    
3.      static double baoliAndNewTonSqrt(double x) \{  
4.        
5.          if (x < 0) \{  
6.              System.out.println(”负数没事开什么方”);  
7.              return -1;  
8.          \}  
9.          if (x == 0)  
10.             return 0;  
11.   
12.         double i = 0;  
13.         double \_avg;  
14.         double last\_avg = Double.MAX\_VALUE;  
15.         for (i = 0; i\*i < x; i += 0.1);  
16.         \_avg = i;  
17.   
18.         final double \_JINGDU = 1e-6;  
19.   
20.         while (Math.abs(\_avg - last\_avg) > \_JINGDU) \{  
21.             last\_avg = \_avg;  
22.             \_avg = (\_avg + x / \_avg) / 2;  
23.         \}  
24.         return \_avg;  
25.     \}  
26.       
27.     public static void main(String\[\] args) \{  
28.         double x = 3;  
29.         double root = baoliAndNewTonSqrt(x);  
30.         System.out.println(root);  
31.     \}  
32. \}

public class APIsqrt {
    
        static double baoliAndNewTonSqrt(double x) {
    
            if (x < 0) {
                System.out.println("负数没事开什么方");
                return -1;
            }
            if (x == 0)
                return 0;
    
            double i = 0;
            double _avg;
            double last_avg = Double.MAX_VALUE;
            for (i = 0; i*i < x; i += 0.1);
            _avg = i;
    
            final double _JINGDU = 1e-6;
    
            while (Math.abs(_avg - last_avg) > _JINGDU) {
                last_avg = _avg;
                _avg = (_avg + x / _avg) / 2;
            }
            return _avg;
        }
    
        public static void main(String[] args) {
            double x = 3;
            double root = baoliAndNewTonSqrt(x);
            System.out.println(root);
        }
    }

测试结果：

1.7320508075689423

# 4.二分开方法 #

原理：还是以3举例：

(0+3)/2 = 1.5, 1.5^2 = 2.25, 2.25 < 3;

(1.5+3)/2 = 2.25, 2.25^2 = 5.0625, 5.0625 > 3;

(1.5+2.25)/2 = 1.875, 1.875^2 = 3.515625; 3.515625>3;

直到前后两次平均值只差小于自定义精度为止，代码如下：

**\[java\]** view plain copy

print ?

1.  public class APIsqrt \{  
2.    
3.      static double erfenSqrt(double x) \{  
4.    
5.          if (x < 0) \{  
6.              System.out.println(”负数没事开什么方”);  
7.              return -1;  
8.          \}  
9.          if (x == 0)  
10.             return 0;  
11.   
12.         final double \_JINGDU = 1e-6;  
13.         double \_low = 0;  
14.         double \_high = x;  
15.         double \_mid = Double.MAX\_VALUE;  
16.         double last\_mid = Double.MIN\_VALUE;  
17.   
18.         while (Math.abs(\_mid - last\_mid) > \_JINGDU) \{  
19.   
20.             last\_mid = \_mid;  
21.             \_mid = (\_low + \_high) / 2;  
22.             if (\_mid \* \_mid > x)  
23.                 \_high = \_mid;  
24.             if (\_mid \* \_mid < x)  
25.                 \_low = \_mid;  
26.   
27.         \}  
28.         return \_mid;  
29.   
30.     \}  
31.   
32.     public static void main(String\[\] args) \{  
33.         double x = 3;  
34.         double root = erfenSqrt(x);  
35.         System.out.println(root);  
36.     \}  
37. \}

public class APIsqrt {
    
        static double erfenSqrt(double x) {
    
            if (x < 0) {
                System.out.println("负数没事开什么方");
                return -1;
            }
            if (x == 0)
                return 0;
    
            final double _JINGDU = 1e-6;
            double _low = 0;
            double _high = x;
            double _mid = Double.MAX_VALUE;
            double last_mid = Double.MIN_VALUE;
    
            while (Math.abs(_mid - last_mid) > _JINGDU) {
    
                last_mid = _mid;
                _mid = (_low + _high) / 2;
                if (_mid * _mid > x)
                    _high = _mid;
                if (_mid * _mid < x)
                    _low = _mid;
    
            }
            return _mid;
    
        }
    
        public static void main(String[] args) {
            double x = 3;
            double root = erfenSqrt(x);
            System.out.println(root);
        }
    }

测试结果：

1.732051134109497

# 5.计算 (int)(sqrt(x))算法 #

PS:此算法非博主所写

原理：空间换时间，细节请大家自行探究，代码如下：

**\[java\]** view plain copy

print ?

1.  public class APIsqrt2 \{  
2.      final static int\[\] table = \{ 0, 16, 22, 27, 32, 35, 39, 42, 45, 48, 50, 53,  
3.              55, 57, 59, 61, 64, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 76, 78, 80, 81, 83, 84,  
4.              86, 87, 89, 90, 91, 93, 94, 96, 97, 98, 99, 101, 102, 103, 104,  
5.              106, 107, 108, 109, 110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119,  
6.              120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 128, 129, 130, 131, 132,  
7.              133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 144,  
8.              145, 146, 147, 148, 149, 150, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 155,  
9.              156, 157, 158, 159, 160, 160, 161, 162, 163, 163, 164, 165, 166,  
10.             167, 167, 168, 169, 170, 170, 171, 172, 173, 173, 174, 175, 176,  
11.             176, 177, 178, 178, 179, 180, 181, 181, 182, 183, 183, 184, 185,  
12.             185, 186, 187, 187, 188, 189, 189, 190, 191, 192, 192, 193, 193,  
13.             194, 195, 195, 196, 197, 197, 198, 199, 199, 200, 201, 201, 202,  
14.             203, 203, 204, 204, 205, 206, 206, 207, 208, 208, 209, 209, 210,  
15.             211, 211, 212, 212, 213, 214, 214, 215, 215, 216, 217, 217, 218,  
16.             218, 219, 219, 220, 221, 221, 222, 222, 223, 224, 224, 225, 225,  
17.             226, 226, 227, 227, 228, 229, 229, 230, 230, 231, 231, 232, 232,  
18.             233, 234, 234, 235, 235, 236, 236, 237, 237, 238, 238, 239, 240,  
19.             240, 241, 241, 242, 242, 243, 243, 244, 244, 245, 245, 246, 246,  
20.             247, 247, 248, 248, 249, 249, 250, 250, 251, 251, 252, 252, 253,  
21.             253, 254, 254, 255 \};  
22.   
23.     /\*\* 
24.      \* A faster replacement for (int)(java.lang.Math.sqrt(x)). Completely 
25.      \* accurate for x < 2147483648 (i.e. 2^31)… 
26.      \*/  
27.     static int sqrt(int x) \{  
28.         int xn;  
29.   
30.         if (x >= 0x10000) \{  
31.             if (x >= 0x1000000) \{  
32.                 if (x >= 0x10000000) \{  
33.                     if (x >= 0x40000000) \{  
34.                         xn = table\[x >> 24\] << 8;  
35.                     \} else \{  
36.                         xn = table\[x >> 22\] << 7;  
37.                     \}  
38.                 \} else \{  
39.                     if (x >= 0x4000000) \{  
40.                         xn = table\[x >> 20\] << 6;  
41.                     \} else \{  
42.                         xn = table\[x >> 18\] << 5;  
43.                     \}  
44.                 \}  
45.   
46.                 xn = (xn + 1 + (x / xn)) >> 1;  
47.                 xn = (xn + 1 + (x / xn)) >> 1;  
48.                 return ((xn \* xn) > x) ? –xn : xn;  
49.             \} else \{  
50.                 if (x >= 0x100000) \{  
51.                     if (x >= 0x400000) \{  
52.                         xn = table\[x >> 16\] << 4;  
53.                     \} else \{  
54.                         xn = table\[x >> 14\] << 3;  
55.                     \}  
56.                 \} else \{  
57.                     if (x >= 0x40000) \{  
58.                         xn = table\[x >> 12\] << 2;  
59.                     \} else \{  
60.                         xn = table\[x >> 10\] << 1;  
61.                     \}  
62.                 \}  
63.   
64.                 xn = (xn + 1 + (x / xn)) >> 1;  
65.   
66.                 return ((xn \* xn) > x) ? –xn : xn;  
67.             \}  
68.         \} else \{  
69.             if (x >= 0x100) \{  
70.                 if (x >= 0x1000) \{  
71.                     if (x >= 0x4000) \{  
72.                         xn = (table\[x >> 8\]) + 1;  
73.                     \} else \{  
74.                         xn = (table\[x >> 6\] >> 1) + 1;  
75.                     \}  
76.                 \} else \{  
77.                     if (x >= 0x400) \{  
78.                         xn = (table\[x >> 4\] >> 2) + 1;  
79.                     \} else \{  
80.                         xn = (table\[x >> 2\] >> 3) + 1;  
81.                     \}  
82.                 \}  
83.   
84.                 return ((xn \* xn) > x) ? –xn : xn;  
85.             \} else \{  
86.                 if (x >= 0) \{  
87.                     return table\[x\] >> 4;  
88.                 \}  
89.             \}  
90.         \}  
91.   
92.         return -1;  
93.     \}  
94.     public static void main(String\[\] args)\{  
95.         System.out.println(sqrt(65));  
96.           
97.     \}  
98. \}

public class APIsqrt2 {
        final static int[] table = { 0, 16, 22, 27, 32, 35, 39, 42, 45, 48, 50, 53,
                55, 57, 59, 61, 64, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 76, 78, 80, 81, 83, 84,
                86, 87, 89, 90, 91, 93, 94, 96, 97, 98, 99, 101, 102, 103, 104,
                106, 107, 108, 109, 110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119,
                120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 128, 129, 130, 131, 132,
                133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 144,
                145, 146, 147, 148, 149, 150, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 155,
                156, 157, 158, 159, 160, 160, 161, 162, 163, 163, 164, 165, 166,
                167, 167, 168, 169, 170, 170, 171, 172, 173, 173, 174, 175, 176,
                176, 177, 178, 178, 179, 180, 181, 181, 182, 183, 183, 184, 185,
                185, 186, 187, 187, 188, 189, 189, 190, 191, 192, 192, 193, 193,
                194, 195, 195, 196, 197, 197, 198, 199, 199, 200, 201, 201, 202,
                203, 203, 204, 204, 205, 206, 206, 207, 208, 208, 209, 209, 210,
                211, 211, 212, 212, 213, 214, 214, 215, 215, 216, 217, 217, 218,
                218, 219, 219, 220, 221, 221, 222, 222, 223, 224, 224, 225, 225,
                226, 226, 227, 227, 228, 229, 229, 230, 230, 231, 231, 232, 232,
                233, 234, 234, 235, 235, 236, 236, 237, 237, 238, 238, 239, 240,
                240, 241, 241, 242, 242, 243, 243, 244, 244, 245, 245, 246, 246,
                247, 247, 248, 248, 249, 249, 250, 250, 251, 251, 252, 252, 253,
                253, 254, 254, 255 };
    
        /**
         * A faster replacement for (int)(java.lang.Math.sqrt(x)). Completely
         * accurate for x < 2147483648 (i.e. 2^31)...
         */
        static int sqrt(int x) {
            int xn;
    
            if (x >= 0x10000) {
                if (x >= 0x1000000) {
                    if (x >= 0x10000000) {
                        if (x >= 0x40000000) {
                            xn = table[x >> 24] << 8;
                        } else {
                            xn = table[x >> 22] << 7;
                        }
                    } else {
                        if (x >= 0x4000000) {
                            xn = table[x >> 20] << 6;
                        } else {
                            xn = table[x >> 18] << 5;
                        }
                    }
    
                    xn = (xn + 1 + (x / xn)) >> 1;
                    xn = (xn + 1 + (x / xn)) >> 1;
                    return ((xn * xn) > x) ? --xn : xn;
                } else {
                    if (x >= 0x100000) {
                        if (x >= 0x400000) {
                            xn = table[x >> 16] << 4;
                        } else {
                            xn = table[x >> 14] << 3;
                        }
                    } else {
                        if (x >= 0x40000) {
                            xn = table[x >> 12] << 2;
                        } else {
                            xn = table[x >> 10] << 1;
                        }
                    }
    
                    xn = (xn + 1 + (x / xn)) >> 1;
    
                    return ((xn * xn) > x) ? --xn : xn;
                }
            } else {
                if (x >= 0x100) {
                    if (x >= 0x1000) {
                        if (x >= 0x4000) {
                            xn = (table[x >> 8]) + 1;
                        } else {
                            xn = (table[x >> 6] >> 1) + 1;
                        }
                    } else {
                        if (x >= 0x400) {
                            xn = (table[x >> 4] >> 2) + 1;
                        } else {
                            xn = (table[x >> 2] >> 3) + 1;
                        }
                    }
    
                    return ((xn * xn) > x) ? --xn : xn;
                } else {
                    if (x >= 0) {
                        return table[x] >> 4;
                    }
                }
            }
    
            return -1;
        }
        public static void main(String[] args){
            System.out.println(sqrt(65));
    
        }
    }

测试结果：8

# 6.最快的sqrt算法 #

PS:此算法非博主所写

这个[算法][Link 2]很有名，大家可能也见过，作者是开发游戏的，图形算法中经常用到sqrt，作者才写了一个神级算法，和他那神秘的0x5f3759df，代码如下

**\[cpp\]** view plain copy

print ?

1.  \#include <math.h>  
2.  float InvSqrt(float x)  
3.  \{  
4.   float xhalf = 0.5f\*x;  
5.   int i = \*(int\*)&x; // get bits for floating VALUE  
6.   i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0  
7.   x = \*(float\*)&i; // convert bits BACK to float  
8.   x = x\*(1.5f-xhalf\*x\*x); // Newton step, repeating increases accuracy  
9.   return x;  
10. \}  
11.   
12. int main()  
13. \{  
14.   printf(”%lf”,1/InvSqrt(3));  
15.   
16.    return 0;  
17. \}

#include <math.h>
    float InvSqrt(float x)
    {
     float xhalf = 0.5f*x;
     int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE
     i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0
     x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float
     x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy
     return x;
    }
    
    int main()
    {
      printf("%lf",1/InvSqrt(3));
    
       return 0;
    }

测试结果：

![1353674734_3508.jpg][]

感兴趣的朋友可以参考[http://wenku.baidu.com/view/a0174fa20029bd64783e2cc0.html][http_wenku.baidu.com_view_a0174fa20029bd64783e2cc0.html]  是作者解释这个算法的14页论文《Fast Inverse Square Root》

# 7.一个与算法6相似的算法 #

PS:此算法非博主所写

代码如下：

**\[cpp\]** view plain copy

print ?

1.  \#include <math.h>  
2.  float SquareRootFloat(float number) \{  
3.      long i;  
4.      float x, y;  
5.      const float f = 1.5F;  
6.    
7.      x = number \* 0.5F;  
8.      y  = number;  
9.      i  = \* ( long \* ) &y;  
10.     i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );  
11.     y  = \* ( float \* ) &i;  
12.     y  = y \* ( f - ( x \* y \* y ) );  
13.     y  = y \* ( f - ( x \* y \* y ) );  
14.     return number \* y;  
15. \}  
16.   
17. int main()  
18. \{  
19.   printf(”%f”,SquareRootFloat(3));  
20.   
21.    return 0;  
22. \}

#include <math.h>
    float SquareRootFloat(float number) {
        long i;
        float x, y;
        const float f = 1.5F;
    
        x = number * 0.5F;
        y  = number;
        i  = * ( long * ) &y;
        i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
        y  = * ( float * ) &i;
        y  = y * ( f - ( x * y * y ) );
        y  = y * ( f - ( x * y * y ) );
        return number * y;
    }
    
    int main()
    {
      printf("%f",SquareRootFloat(3));
    
       return 0;
    }

测试结果：

![1353675091_6857.jpg][]

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