【吴恩达机器学习笔记】005 梯度下降（Gradient Descent）

素颜马尾好姑娘i 2021-09-15 09:28 486阅读 0赞

**一、引入**

在前几节课我们讲到，我们希望能够找到曲线拟合效果最好的线条，这样的线条的误差最小，所以就转化成了下面这幅图所表达的内容。

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我们有一些函数，这些函数会有n个参数，我们希望能得到这个函数的最小值，为了方便计算，我们从最简单的入手，让参数的个数仅有两个。对于这个函数，我们会给定初始的参数θ0和θ1，不断改变他们的值，从而改变函数值，直到我们找到我们希望的函数的最小值。所以，我们引入梯度下降算法。

**二、什么是梯度？**

在微积分里面，对多元函数的参数求∂偏导数，把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。比如函数f(x,y), 分别对x,y求偏导数，求得的梯度向量就是(∂f/∂x, ∂f/∂y)T,简称grad f(x,y)或者▽f(x,y)。对于在点(x0,y0)的具体梯度向量就是(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T.或者▽f(x0,y0)，如果是3个参数的向量梯度，就是(∂f/∂x, ∂f/∂y，∂f/∂z)T,以此类推。

那么这个梯度向量求出来有什么意义呢？他的意义从几何意义上讲，就是函数变化增加最快的地方。具体来说，对于函数f(x,y),在点(x0,y0)，沿着梯度向量的方向就是(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T的方向是f(x,y)增加最快的地方。或者说，沿着梯度向量的方向，更加容易找到函数的最大值。反过来说，沿着梯度向量相反的方向，也就是 -(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T的方向，梯度减少最快，也就是更加容易找到函数的最小值。

**三、梯度上升与梯度下降**

在机器学习算法中，在最小化损失函数时，可以通过梯度下降法来一步步的迭代求解，得到最小化的损失函数，和模型参数值。反过来，如果我们需要求解损失函数的最大值，这时就需要用梯度上升法来迭代了。

梯度下降法和梯度上升法是可以互相转化的。比如我们需要求解损失函数f(θ)的最小值，这时我们需要用梯度下降法来迭代求解。但是实际上，我们可以反过来求解损失函数 -f(θ)的最大值，这时梯度上升法就派上用场了。

**四、梯度下降算法理解**

下面这幅图，可以看做两座高山，我们希望能以最快的速度下山，那我们每一步需要朝向什么方向呢？假设我们从图上“+”位置开始下山，我们假定第二幅图中的方向就是下山最快的方向，那达到第二个位置的时候，相当于处在一个新起点，我们会照着第一步的方法，再选择一个新的我们认为最好的方向走第二步，如下面第三幅图所示。我们照着这种方式，一步一步走下去，直到山脚。也就是在图中，不管从哪个位置开始，每走到一个位置，就需要判断，找到最好的位置走第二步。而这种找最好位置的方法就是梯度下降算法。即每到一个位置，求解当前位置的梯度，沿着梯度的负方向（图像上当前最陡峭的位置）向下走一步，然后继续求解当前位置梯度，向这一步所在位置沿着最陡峭的位置走一步。这样一步步的走下去，一直走到觉得我们已经到了图像的局部最低点。（注：局部最低点不一定是整个数据集的最低点）。

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因为走到的是局部最低点，不是整体最低点，所以梯度下降不一定能够找到全局的最优解，有可能是一个局部最优解。而且，相近的起点，可能最终的结果也有很大差别。比如下图，虽然起点与上面情况起点相差很少，但是通过下降梯度算法，最终的位置却到了另外一个局部最低点。

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**五、梯度下降算法定义**

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上面这个公式就是梯度下降的算法，那这个算法表达的是什么含义呢？

首先，给出所有的符号的定义，便于大家理解：

:=   ：  这个符号是赋值符号；

=    ： 这个符号是等于符号；

α    ： 这个符号是下降速率（learning rate），它控制我们用多大的幅度来更新θj。例如在下山的例子中，它控制下山的速率；

**     要注意的是，这里的等于和赋值与C++等编程语言是不同的，以C++为例，=表示赋值，==表示等于。**

**       ** 在横线的下面，写了一个**Correct：Simultaneous update（正确的：同时更新）**，这个是什么意思呢？大家对比一下下面两组公式，一个是正确的，一个是不正确的。

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我们能发现，区别在于，前面的θ0和θ1是同时更新的，然后在做迭代，而后面的是先求出θ0，然后求θ1，为什么必须要同时更新呢？

我自己的理解是： 迭代时， θ0和θ1是需要上一组的θ0和θ1，θ0和θ1是一组，即不可分的，同一组的θ0和θ1是由上一组的θ0和θ1生成的，相邻两组之间的θ0和θ1不能构成另一个θ0或θ1。

所以我们要记住一句话：**梯度下降，必须要同步更新；不同步更新，不是梯度下降算法。**

我们再简化一下，假设只有一个参数θ1，并且假设图像如下图所示。

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那我们能从图像看出最低点的位置，计算机怎么更加精确地找到呢？假设θ1从最低点的右侧开始对图像进行初始化，函数的导数大于0，α是速率，大于0，这个时候，新的θ1小于上一个θ1。

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同理，如果θ1从最低点的左侧开始对图像进行初始化，函数的导数小于0，α是速率，大于0，这个时候，新的θ1大于上一个θ1。 当然，如果恰好θ1就是最小值，那这个时候，导数等于0，θ1的值就不会变了。

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那么，会不会出现一种情况，当初始化的值不为最小值时，进行梯度下降处理后到了最小值的另一边呢？答案是肯定的，因为α的值没有限制，所以在取值时要注意。如果α的值过小，下降速率会很慢，就像下面左边的图一样。当然，如果α的值太大，就会出现右图的情况，最后无法收敛，离最小值越来越远。

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**六、举例**

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假设上图是我们经过试验计算得到的代价函数。我们从图上的θ1点（图中最右上角的点）开始做梯度下降。当α的值比较恰当（不会过大或过小），会得到下图，第一次做梯度下降时，函数图像比较陡，导数值比较大，下降的比较快，第二次做梯度下降时，图像较第一次更加平缓，导数值变小，下降速度变慢，继续做梯度下降，直到收敛到最低点，最终得到最优解。

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