【吴恩达机器学习笔记】004 模型示例：单变量线性回归（Model Representation：Linear Regression with one variable）

痛定思痛。 2021-09-15 09:12 338阅读 0赞

一、示例 —— 预测住房价格

![20180504170304951][]

如上图所示，图中的数据集（X）表示房屋大小和价格存在的一个关系图。如果有一个人有一套1250平方尺的房子，那他卖多少钱合适？

二、分析

或许我们每个人心中都有这样一种想法，构造一个函数，房子的尺寸是x，房子的售价是y，则x和y之间会存在一个函数关系式：y=f(x)。当我们把对应的房子的尺寸放进去之后，就能得到对应的房价。

这也是下面这张图，我们用一条曲线线来拟合这些离散的数据点。，在曲线上找房屋尺寸为1250的点，则对应的纵坐标就是该尺寸的价格。

![70][]

我们把这些数据记录下来，并用字母表示：

![70 1][]

![70 2][]

根据上面这些数据，我们可以得到如下的图：其中的![70 3][]表示的是通过直线拟合构造形成的函数，（为什么要用直线拟合？因为在尽量保证相似的前提下，直线是最简单的，通过最简单入门）。这种用直线拟合的方式就是线性回归。

![70 4][]

三、线性回归

如果想对线性回归有更深的了解，可以先查看百度百科“[线性回归][Link 1]”。

四、代价函数引入

对于函数![70 3][]，不同的参数，就会有不同的函数表达式，下面列举的是几类简单情况。

![70 5][]

那么对于下面左边的这组数据集来说，θ0和θ1应该取何值时，才能和数据集上的数据尽可能的接近，拟合效果更好呢？假设右面的图是拟合效果最好的，我们要做的就是把这个图对应的参数θ0和θ1找出。

![70 6][]           ![70 7][]

当然，我们不能凭空想象，我们根据人的视觉画一条直线出来，说，他就是最短的，这个很明显是不对的。为了达到真正的接近，我们需要做的就是，用数学的方式，去解决它，通过数学的理性推理，得到的结果，就是我们想要的。而不是我们自认为，随意画的直线。

当然在此之前，我们能发现的是，图像上的所有点不是在同一条直线上的，所以接近程度再高，误差也存在（当然，如果学习一下数值分析，你会知道，不管什么，总是会存在误差，现实世界中基本不可能做到没有误差）。我们需要一个函数来表示我们预测的值和实际的值的误差，从而方便我们计算，误差是否在我们可控范围内，是否会对我们的后续工作造成不好的影响。这个函数就是**代价函数**（cost function）。

五、代价函数

1.概念

概况来讲，任何能够衡量模型预测出来的值h(θ)与真实值y之间的差异的函数都可以叫做代价函数C(θ)，如果有多个样本，则可以将所有代价函数的取值求均值，记做J(θ)。

2.性质

（1）对于每种算法来说，代价函数不是唯一的；

（2）代价函数是参数θ的函数；

（3）总的代价函数J(θ)可以用来评价模型的好坏，代价函数越小说明模型和参数越符合训练样本(x, y)；

（4）J(θ)是一个标量；

3.最优参数θ

当我们确定了模型h，后面做的所有事情就是训练模型的参数θ。由于代价函数是用来衡量模型好坏的，我们的目标当然是得到最好的模型（也就是最符合训练样本(x, y)的模型）。因此训练参数的过程就是不断改变θ，从而得到更小的J(θ)的过程。理想情况下，当我们取到代价函数J的最小值时，就得到了最优的参数θ，记为：![70 8][]。

4.第一个代价函数——均方误差

（1）概念

在线性回归中，最常用的是**均方误差**(Mean squared error)，具体形式为：

![70 9][]

m：训练样本的个数；

hθ(x)：用参数θ和x预测出来的y值；

y：原训练样本中的y值，也就是标准答案

上角标(i)：第i个样本

（2）应用

对于上面那个案例，我们希望能得到最优的拟合函数，即误差最小。所以我们可以得到下面的公式：

![70 10][]

或者为了更方便理解，写成如下形式：

![70 11][]

为了便于理解，我们简化一下图形，并假定θ0 = 0。下面这六幅图分别是：简化数据集分布图，θ1 = 1，θ1 = 0.5，

θ1 = 0，均方误差分布图，均方误差趋势。

![70 12][]      ![70 13][]   ![70 14][]

![70 15][]   ![70 16][]       ![70 17][]

如果是在不简化的情况下，就需要构建的是三维坐标了。例如在最开始的数据集中，我们可以构建出如右图一样的图形，并找到最小值。

![70 18][]        ![70 19][]

而另外一种表示方法，是不在图像上具体展示最终结果的值，而是表示出参数和最终结果之间的关系，比如右面的图，横坐标和纵坐标分别为两个参数，而在相同椭圆上的点，表示这些点的均方误差 ![70 20][]是一样的。比如三个粉色的点（X），他们的 ![70 21][]得值是一样的。而右图中红色的X和左图中的蓝色直线相对应。很明显能知道，这个时候的误差时很大的。也就是说这个拟合结果不是一个很理想的拟合结果。

![70 22][]

下图是另外一个拟合直线红色的X依然是左图中蓝色的直线。这个时候的拟合效果就要比上一个好很多了。那什么是最好的呢，在右图中，当红色的X在椭圆中心的时候，拟合效果最好。所以再下面的一幅图的拟合效果相对于前面两个来说就比较不错了。

那，为什么在椭圆的中心会是最小误差，拟合效果最好呢？想让![70 20][]最小，就是让![70 23][]尽可能的趋于0。一种理解方式是，误差大，可能误差的情况就会多，但是误差小的情况就会少，所以对应的θ0和θ1的值就会少，最少的时候，就是最优解，而最少就是在椭圆的中心。

![70 24][]

![70 25][]

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[Link 1]: https://baike.so.com/doc/5415245-5653390.html
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