平衡二叉树(AVL 树)左旋转算法

太过爱你忘了你带给我的痛 2021-07-24 12:24 369阅读 0赞

# 一 平衡二叉树的引入 #

## 1 二叉排序树存在的问题 ##

有一个数列\{1,2,3,4,5,6\}， 创建一颗二叉排序树(BST), 分析它存在的问题。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

## 2 上边 BST 存在的问题 ##

a 左子树全部为空，从形式上看，它更像一个单链表。

b 插入速度没有影响。

c 查询速度明显降低，因为需要依次比较，该树不能发挥 BST的优势，因为每次还需要比较左子树，其查询速度比单链表还慢。

## 3 解决方案-平衡二叉树(AVL) ##

平衡二叉树具有以下特点：

a 平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为 AVL 树，可以保证查询效率较高。

b 具有以下特点：它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。

## 4 下面哪些树是 AVL 树 ##

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

第1棵和第2棵是AVL树，第3棵树不是AVL树。

# 二 二叉排序树转化为AVL树的算法——单旋转(左旋转) #

## 1 要求 ##

有一个数列\{4,3,6,5,7,8\}， 创建出对应的平衡二叉树。

## 2 算法 ##

原始的平衡二叉树如下。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

a 创建一个新的节点 newNode（以4这个值创建），创建一个新节点，节点的值等于当前根节点的值。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

b 把新节点的左子树设置为当前节点的左子树。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

c 把新节点的右子树设置为当前节点右子树的左子树。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 5][]

d 把当前节点的值设置为右子节点的值。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 6][]

e 把当前节点的右子树设置为右子树的右子树。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 7][]

f 把当前节点的左子树设置为新节点

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 8][]

g 稍微整理一下上图，就形成了新的平衡二叉树，它是符合平衡二叉树的特征。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 9][]

# 三 实战 #

## 1 需求:  ##

一个数列\{4,3,6,5,7,8\}，创建出对应的平衡二叉树。

## 2 代码 ##

/**
    * @className: AVLTreeDemo
    * @description: 平衡二叉树
    * @date: 2021/3/27
    * @author: cakin
    */
    public class AVLTreeDemo {
        /**
         * 功能描述：平衡二叉树测试
         *
         * @param args 命令行
         * @author cakin
         * @date 2021/3/27
         */
        public static void main(String[] args) {
            // 测试左旋转
            int[] arr = {4, 3, 6, 5, 7, 8};
            // 创建一个 AVLTree对象
            AVLTree avlTree = new AVLTree();
            // 添加结点
            for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
                avlTree.add(new Node(arr[i]));
            }
    
            // 遍历
            System.out.println("中序遍历");
            avlTree.infixOrder();
            System.out.println("平衡处理后：");
            System.out.println("树的高度=" + avlTree.getRoot().height());
            System.out.println("树的左子树高度=" + avlTree.getRoot().leftHeight());
            System.out.println("树的右子树高度=" + avlTree.getRoot().rightHeight());
            System.out.println("当前的根结点=" + avlTree.getRoot());
        }
    }
    
    /**
    * @className: AVLTreeDemo
    * @description: 创建AVLTree
    * @date: 2021/3/27
    * @author: 贝医
    */
    class AVLTree {
        // 根节点
        private Node root;
    
    
        public Node getRoot() {
            return root;
        }
    
        /**
         * 功能描述：查找要删除的结点
         *
         * @param value 要删除节点的值
         * @return Node 要删除的节点
         * @author 贝医
         * @date 2021/3/25
         */
        public Node search(int value) {
            if (root == null) {
                return null;
            } else {
                return root.search(value);
            }
        }
    
        /**
         * 功能描述：要删除节点的父节点
         *
         * @param value 要删除节点的值
         * @return Node 要删除节点的父节点
         * @author 贝医
         * @date 2021/3/25
         * @description:
         */
        public Node searchParent(int value) {
            if (root == null) {
                return null;
            } else {
                return root.searchParent(value);
            }
        }
    
        /**
         * 功能描述：返回以 node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
         *
         * @param node 传入的结点(当做二叉排序树的根结点)
         * @return 返回的以 node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
         */
        public int delRightTreeMin(Node node) {
            Node target = node;
            // 循环的查找左子节点，就会找到最小值
            while (target.left != null) {
                target = target.left;
            }
            // target就指向了最小结点
            // 删除最小结点
            delNode(target.value);
            return target.value;
        }
    
        /**
         * 功能描述：删除结点
         *
         * @param value 待删除节点的值
         * @author cakin
         * @date 2021/3/25
         */
        public void delNode(int value) {
            if (root == null) {
                return;
            } else {
                // 1 先去找到要删除的结点 targetNode
                Node targetNode = search(value);
                // 如果没有找到要删除的结点
                if (targetNode == null) {
                    return;
                }
                // 如果发现当前这颗二叉排序树只有一个结点
                if (root.left == null && root.right == null) {
                    root = null;
                    return;
                }
    
                // 去找到 targetNode 的父结点
                Node parent = searchParent(value);
                //  如果要删除的结点是叶子结点
                if (targetNode.left == null && targetNode.right == null) {
                    // 判断 targetNode 是父结点的左子结点，还是右子结点
                    if (parent.left != null && parent.left.value == value) { // 是左子结点
                        parent.left = null;
                    } else if (parent.right != null && parent.right.value == value) { // 是由子结点
                        parent.right = null;
                    }
                } else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) { // 删除有两颗子树的节点
                    int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right);
                    targetNode.value = minVal;
                } else { // 删除只有一颗子树的结点
                    // 如果要删除的结点有左子结点
                    if (targetNode.left != null) {
                        if (parent != null) {
                            // 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
                            if (parent.left.value == value) {
                                parent.left = targetNode.left;
                            } else { // targetNode 是 parent 的右子结点
                                parent.right = targetNode.left;
                            }
                        } else {
                            root = targetNode.left;
                        }
                    } else { // 如果要删除的结点有右子结点
                        if (parent != null) {
                            // 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
                            if (parent.left.value == value) {
                                parent.left = targetNode.right;
                            } else { // 如果 targetNode 是 parent 的右子结点
                                parent.right = targetNode.right;
                            }
                        } else {
                            root = targetNode.right;
                        }
                    }
                }
            }
        }
    
        /**
         * 功能描述：添加结点
         *
         * @param node 节点
         * @author cakin
         * @date 2021/3/22
         */
        public void add(Node node) {
            if (root == null) {
                root = node; // 如果root为空则直接让root指向node
            } else {
                root.add(node);
            }
        }
    
        /**
         * 功能描述：中序遍历
         *
         * @author cakin
         * @date 2021/3/22
         */
        public void infixOrder() {
            if (root != null) {
                root.infixOrder();
            } else {
                System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历");
            }
        }
    }
    
    /**
    * @className: Node
    * @description: 节点
    * @date: 2021/3/22
    * @author: cakin
    */
    class Node {
        // 节点值
        int value;
        // 左子树根节点
        Node left;
        // 右子树根节点
        Node right;
    
        public Node(int value) {
            this.value = value;
        }
    
        /**
         * 功能描述：返回左子树的高度
         *
         * @author 贝医
         * @date 2021/3/27
         */
        public int leftHeight() {
            if (left == null) {
                return 0;
            }
            return left.height();
        }
    
        /**
         * 功能描述：返回右子树的高度
         *
         * @author cakin
         * @date 2021/3/27
         */
        public int rightHeight() {
            if (right == null) {
                return 0;
            }
            return right.height();
        }
    
        /**
         * 功能描述：返回以该结点为根结点的树的高度
         *
         * @author cakin
         * @date 2021/3/27
         */
        public int height() {
            return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1;
        }
    
        /**
         * 功能描述：左旋转方法
         *
         * @author cakin
         * @date 2021/3/27
         */
        private void leftRotate() {
            // 创建新的结点，值为当前根结点的值
            Node newNode = new Node(value);
            // 把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树
            newNode.left = left;
            // 把新节点的右子树设置为当前节点右子树的左子树
            newNode.right = right.left;
            // 把当前节点的值设置为右子节点的值
            value = right.value;
            // 把当前节点的右子树设置为右子树的右子树
            right = right.right;
            // 把当前节点的左子树设置为新节点
            left = newNode;
        }
    
        /**
         * 功能描述：查找要删除的结点
         *
         * @param value 希望删除的结点的值
         * @return 如果找到返回该结点，否则返回null
         */
        public Node search(int value) {
            if (value == this.value) { // 找到该结点
                return this;
            } else if (value < this.value) {// 如果查找的值小于当前结点值，向左子树递归查找
                // 如果左子结点为空
                if (this.left == null) {
                    return null;
                }
                return this.left.search(value);
            } else { // 如果查找的值不小于当前结点，向右子树递归查找
                if (this.right == null) {
                    return null;
                }
                return this.right.search(value);
            }
        }
    
        /**
         * 功能描述：查找要删除结点的父结点
         *
         * @param value 要删除的结点的值
         * @return 返回的是要删除的结点的父结点，如果没有就返回null
         */
        public Node searchParent(int value) {
            // 如果当前结点就是要删除的结点的父结点
            if ((this.left != null && this.left.value == value) ||
                    (this.right != null && this.right.value == value)) {
                return this;
            } else {
                // 如果查找的值小于当前结点的值, 并且当前结点的左子结点不为空
                if (value < this.value && this.left != null) {
                    return this.left.searchParent(value); // 向左子树递归查找
                } else if (value >= this.value && this.right != null) {
                    return this.right.searchParent(value); // 向右子树递归查找
                } else {
                    return null; // 找到父结点
                }
            }
        }
    
        @Override
        public String toString() {
            return "Node [value=" + value + "]";
        }
    
        /**
         * 功能描述：添加节点到平衡二叉树
         *
         * @param node 节点
         * @author cakin
         * @date 2021/3/22
         */
        public void add(Node node) {
            if (node == null) {
                return;
            }
    
            // 传入的结点的值小于当前子树的根结点的值
            if (node.value < this.value) {
                // 当前结点左子树根结点为null
                if (this.left == null) {
                    this.left = node;
                } else {
                    // 递归的向左子树添加
                    this.left.add(node);
                }
            } else { // 传入的结点的值大于当前子树的根结点的值
                if (this.right == null) {
                    this.right = node;
                } else {
                    // 递归的向右子树添加
                    this.right.add(node);
                }
            }
    
            // 当添加完一个结点后，如果: (右子树的高度-左子树的高度) > 1 , 左旋转
            if (rightHeight() - leftHeight() > 1) {
                // 左旋转
                leftRotate();
            }
        }
    
    
        /**
         * 功能描述：中序遍历
         *
         * @author cakin
         * @date 2021/3/22
         */
        public void infixOrder() {
            if (this.left != null) {
                this.left.infixOrder();
            }
            System.out.println(this);
            if (this.right != null) {
                this.right.infixOrder();
            }
        }
    }

## 3 测试 ##

中序遍历
    Node [value=3]
    Node [value=4]
    Node [value=5]
    Node [value=6]
    Node [value=7]
    Node [value=8]
    平衡处理后：
    树的高度=3
    树的左子树高度=2
    树的右子树高度=2
    当前的根结点=Node [value=6]

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20210724/3acda2b13b524f4785212291b692143a.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20210724/006ced56af174423bb0d766e4b5dd018.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20210724/88be16d55c394911ac644983233e0f08.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: /images/20210724/ced52f5097094abcbbc74908734a5e1d.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: /images/20210724/51a201e4ee134ecb9f981501022eeb2e.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]: /images/20210724/5b927d4121644ac5b6a3cae05d19a7fd.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]: /images/20210724/eb8b54fb2bb946e791b3e0346673b3a9.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]: /images/20210724/006e5b8f7d4b467abf06400ee7960958.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]: /images/20210724/58cce18ea8a24e6898f759b9336efa5b.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2NoZW5ncWl1bWluZw_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]: /images/20210724/4fa9465bb47c44ffb0cd6255392cee11.png