AcWing 1089. 烽火传递【单调队列优化DP 】 C++详细题解

男娘i 2021-07-25 02:34 396阅读 0赞

# 单调队列优化DP #

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## 题目 ##

烽火台是重要的军事防御设施，一般建在交通要道或险要处。

一旦有军情发生，则白天用浓烟，晚上有火光传递军情。

在某两个城市之间有 n 座烽火台，每个烽火台发出信号都有一定的代价。

为了使情报准确传递，在连续 m 个烽火台中至少要有一个发出信号。

现在输入 n,m 和每个烽火台的代价，请计算在两城市之间准确传递情报所需花费的总代价最少为多少。

**输入格式**  
第一行是两个整数 n,m，具体含义见题目描述；

第二行 n 个整数表示每个烽火台的代价 ai。

**输出格式**  
输出仅一个整数，表示最小代价。

**数据范围**  
1≤n,m≤2×105,  
0≤ai≤1000  
**输入样例：**  
5 3  
1 2 5 6 2  
**输出样例：**  
4

### 思路 ###

**分析图示：**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTYyOTI4NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
**状态表示：** `f[i]`表示前`1~i`座烽火台满足条件，且第`i`座烽火台点燃的方案集合。  
**属性：** 所有符合条件的方案集合中的最小代价值。

**状态计算：**

**如何划分集合？**

题目要求在连续 `m`个烽火台中至少要有一个发出信号，即连续的`m`个烽火台中至少要有一个被点燃。而`f[i]`表示的含义中，第`i`座已经被点燃，因此在第`i`座向前的前`m`座烽火台至少要有一个被点燃。被点燃的可以是第 `i-m`, 第 `i-m+1`，，，,第`i-3`,第`i-2`,第`i -1`座。

**故状态计算方程：** `f [ i] = min( f[j] ) + w[i]` `(i-m<=j<=i-1)`

一段区间的最值可以用单调队列求解。此题中，我们定义一个单调递增队列，队列中维护的是`f[j`\]集合。每次拿出队头元素，即长为`m`的区间中值最小的`f[j]`来更新答案。

**其实有个小疑问**，为什么状态表示时，要将第`i`座表示为点燃？

我们可以从问题出发，每`n`座烽火台中必然要有一座要被点燃。那么最后`n`座烽火台同样也是如此。如果我们将`f[i]`定义为前`1~i`座烽火台满足条件，且第`i`座烽火台点燃的方案集合。那么答案一定在 `f[n-m+1],f[n-m+2],,,,,,f[n]`之间。也就是说将第`i`座表示为点燃可以很容易表示出答案。这就给我们一个启发，我们在定义状态表示时，一定要考虑我们定义的状态是否可以包含答案 。

### 代码 ###

#include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    const int N=2e5+10;
    int w[N];
    int f[N];
    int q[N];
    int main()
    { 
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
        f[0]=0;  //0座的代价为0
        int tt=0,hh=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        { 
            if(q[hh]<i-m) hh++;   //超出滑动窗口，踢出队列
            f[i]=f[q[hh]]+w[i];   //更新答案
            while(hh<=tt&&f[q[tt]]>=f[i]) tt--;//维护单调递增队列 在一段区间内
            //找出最小的f[j](i-m<=j<=i-1)
            q[++tt]=i;
        }
        int res=1e9;
        for(int i=n-m+1;i<=n;i++) res=min(res,f[i]); //答案在最后一段区间选
        printf("%d\n",res);
        return 0;
    }

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