Java开发面试书籍，mysql_query程序崩溃

桃扇骨 2021-07-21 00:18 319阅读 0赞

# 4步套路，解决动态规划问题 #

1、确定问题状态

*  提炼最后一步
 *  的问题转化

2、转移方程，把问题方程化  
3、按照实际逻辑设置初始条件和边界情况  
4、确定计算顺序并求解

**结合实例感受下：**

你有三种硬币，分别面值2元，5元和7元，每种硬币都有足够多。买一本书需要27元。如何用最少的硬币组合正好付清，不需要对方找钱？

关键词“用最小的硬币组合正好付清”——“最小的组合”，**求最值问题，动态规划**。

\*\*正常人第一反应思路:\*\*最少硬币组合?优先使用大面值硬币——7+7+7+5=26 额？可求解目标是27啊……改算法——7+7+7+2+2+2=27，总共用了6枚硬币正好27元.实际正确答案：7+5+5+5+5=27，才用了5枚硬币。**所以这里贪心算法是不正确的。**

**套路用起来：**

# 第一步，确定问题状态。 #

动态规划问题求解需要先开一个数组，并确定数组的每个元素f\[i\]代表什么，就是确定这个问题的状态。类似于解数学题中，设定X，Y，Z代表什么。

A、**确定状态首先提取【最后一步】**

最优策略必定是K枚硬币a1, a2,…, aK 面值加起来是27。

**找出不影响最优策略的最后一个独立角色**，这道问题中，那枚最后的硬币“aK”就是最后一步。把aK提取出来，硬币aK之前的所有硬币面值加总是27- aK因为总体求最硬币数量最小策略，所以拼出27- aK 的硬币数也一定最少（**重要设定**）。

![c969d48c2d7f2c9bb49b19bc23864dd6.png][]

B、\*\*转化子问题。\*\*最后一步aK提出来之后，我们只要求出“最少用多少枚硬币可以拼出27- aK”就可以了。

**这种与原问题内核一致，但是规模变小的问题，叫做子问题。**

为简化定义，我们设状态f(X)=最少用多少枚硬币拼出总面值X。我们目前还不知道最后的硬币aK面额多少，但它的面额一定只可能是2/5/7之一。如果aK是2，f(27)应该是f(27-2) + 1 (加上最后这一枚面值2的硬币）如果aK是5，f(27)应该是f(27-5) + 1 (加上最后这一枚面值5的硬币）如果aK是7，f(27)应该是f(27-7) + 1 (加上最后这一枚面值7的硬币）除此以外，没有其他的可能了。

**至此，通过找到原问题最后一步，并将其转化为子问题。为求面值总额27的最小的硬币组合数的状态就形成了，用以下函数表示：**

f(27) = min\{f(27-2)+1, f(27-5)+1, f(27-7)+1\}

![b4b1259562155e780041d817e246c900.png][]

# **第二步，转移方程，把问题方程化。** #

f\[X\] = min\{f\[X-2\]+1, f\[X-5\]+1, f\[X-7\]+1\}（动态规划都是要开数组，所以这里改用方括号表示）

**实际面试中求解动态规划类问题，正确列出转移方程正确基本上就解决一半了。**

**但是请问：这与递归有什么不同？？**

递归的解法：

// f(X)返回最少用多少枚硬币拼出Xint f(int X) {// 0元钱只要0枚硬币if (X == 0) return 0;// 初始化用无穷大（为什么是正无穷？）int res = MAX_VALUE;// 最后一枚硬币是2元if (X >= 2) {res = Math.min(f(X – 2) + 1, res);}// 最后一枚硬币是5元if (X >= 5) {res = Math.min(f(X – 5) + 1, res);}// 最后一枚硬币是7元if (X >= 7) {res = Math.min(f(X – 7) + 1, res);}return res;}

执行图如下：

![e29d4d79c3a5a326f4bfa4a8872bb213.png][]

要算f(27)，就要递归f(25)、f(22)、f(20)，然后下边依次递归……（三角形表示）。

![0887e8de8bc32d9d22ae98ccefdccd86.png][]

**问题明显——重复递归太多。**

这是求f(27)，还可以勉强递归。如果求f(100)呢？简直是天文数字。**最终结果就是递归超市。**

**求总体最值，一定优先考虑动态规划不要憨憨的去递归。**

**插入一下~**

需要掌握的动态规划面试解题技巧还包括坐标型、位操型、序列型、博弈型、背包型、双序列以及一些高难面试题解。

**本文篇幅有限无法逐一讲清，大家来白嫖我的在线分享吧（纯干货）。**

# **第三步，按照实际逻辑设置边界情况和初始条件。** #

\*\*【必做】\*\*否则即使转移方程正确也大概率无法跑通代码。

f\[X\] = min\{f\[X-2\]+1, f\[X-5\]+1, f\[X-7\]+1\}的边界情况是\[x-2\]/\[x-5\]/\[x-7\]不能小于0（硬币面值为正），也不能高于27。

**故对边界情况设定如下：**

**如果硬币面值不能组合出Y，就定义f\[Y\]=正无穷**例如f\[-1\]=f\[-2\]=…=正无穷；f\[1\] =min\{f\[-1\]+1, f\[-4\]+1,f\[-6\]+1\}=正无穷,

\*\*特殊情况：\*\*本题的F\[0\]对应的情况为F\[-2\]、F\[-5\]、F\[-7\]，按照上文的边界情况设定结果是正无穷。

但是实际上F\[0\]的结果是存在的（即使用0个硬币的情况下），F\[0\]=0。可是按照我们刚刚的设定，F\[0\]=F\[0-2\]+1= F\[-2\]+1=正无穷。

**岂不是矛盾？**

**这种用转移方程无法计算，但是又实际存在的情况，就必须通过手动定义。**

**这里手动强制定义初始条件为：F\[0\]=0.**

而从0之后的数值是没矛盾的，比如F\[1\]= F\[1-2\]+1= F\[-1\]+1=正无穷（正无穷加任何数结果还是正无穷）；F\[2\]= F\[2-2\]+1= F\[0\]+1=1……

# **第四步，确定计算顺序并计算求解** #

那么开始计算时，是从F\[1\]、F\[2\]开始呢？还是从F\[27\]、F\[26\]开始呢？

**判断计算顺序正确与否的原则是：当我们要计算F\[X\]**（等式左边，如F\[10\]）**的时候，等式右边**（f\[X-2\], f\[X-5\], f\[X-7\]等）**都是已经得到结果的状态，这个计算顺序就是OK的。**

**实际就是从小到大的计算方式**（偶有例外的情况我们后边再讲）。

例如我们算到F\[12\]的时候，发现F\[11\]、F\[10\]、F\[9\]都已经算过了，这种算法就是对的；而开始算F\[27\]的时候，发现F\[26\]还没有算，这样的顺序就是错的。

很显然这样的情况下写一个FOR循环就够了。

回到这道题，采用动态规划的算法，每一步只尝试三种硬币，一共进行了27步。算法时间复杂度（即需要进行的步数）为27\*3。

**与递归相比，没有任何重复计算。**

\*\*原题练习及实际代码：\*\*这道题是lintcode编号669的Coin Change问题。代码如下：

public int coinChange(int[] A, int M){// A = [2,5,7]// M = 27int[] f = new int[M + 1];int n = A.length; // 硬币的种类// 初始化, 0个硬币f[0] = 0;// f[1], f[2], ... , f[27] = Integer.MAX_VALUEfor (int i = 1; i <= M; i++){f[i] = Integer.MAX_VALUE;}for (int i = 1; i <= M; i++){// 使用第j个硬币 A[j]// f[i] = min{f[i-A[0]]+1, ... , f[i-A[n-1]]+1}for (int j = 0; j < n; ++j){// 如果通过放这个硬币能够达到重量iif (i >= A[j] && f[i - A[j]] != Integer.MAX_VALUE) {// 获得i的重量的硬币数就可能是获得i-A[j]重量硬币数的方案+1// 拿这个方案数量与原本的方案数打擂台，取最小值就行f[i] = Math.min(f[i - A[j]] + 1, f[i]);}}}if (f[M] == Integer.MAX_VALUE){return -1;}return f[M];}

**最后总结：**

1、这是**求最值问题**，用动态规划方式求解。2、进入求解过程，先确定问题状态

*  提炼最后一步  
    （最优策略中使用的最后一枚硬币aK）  
    \-子问题转化 （最少的硬币拼出更小的面值27-aK）  
    3、构建转移方程 f\[X\] = min\{f\[X-2\]+1, f\[X-5\]+1, f\[X-7\]+1\}  
    （求min是因为题目要求求最小）  
    4、设置初始条件和边界情况 f\[0\] = 0, 如果不能拼出Y，f\[Y\]=正无穷  
    5、确定计算顺序并计算求解  
    f\[0\], f\[1\], f\[2\]……

**实际上按照以上4步套路，基本上可以应对绝对大多数的动态规划面试题。**

### 最后 ###

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[Link 1]: https://docs.qq.com/doc/DSmxTbFJ1cmN1R2dB
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