样本中心化、标准化

小灰灰 2021-05-12 11:55 573阅读 0赞

在回归问题和一些机器学习算法中，以及训练神经网络的过程中，通常需要对原始数据进行中心化（Zero-centered或者Mean-subtraction）处理和标准化（Standardization或Normalization）处理。目的：通过中心化和标准化处理，得到**均值为0，标准差为1**的服从标准正态分布的数据。计算过程由下式表示：![\[公式\]][equation_tex_x_5E_7B_27_7D_3D_5Cfrac_7Bx-_5Cmu_7D_7B_5Csigma_7D]

下面解释一下为什么需要使用这些数据预处理步骤。先看一个标准化例子：

在一些实际问题中，我们得到的样本数据都是多个维度的，即一个样本是用多个特征来表征的。比如在预测房价的问题中，影响房价![\[公式\]][equation_tex_y]的因素有房子面积![\[公式\]][equation_tex_x_7B1_7D]、卧室数量![\[公式\]][equation_tex_x_7B2_7D]等，我们得到的样本数据就是![\[公式\]][equation_tex_28x_7B1_7D_2Cx_7B2_7D_29]这样一些样本点，这里的![\[公式\]][equation_tex_x_7B1_7D]、![\[公式\]][equation_tex_x_7B2_7D]又被称为特征。很显然，这些特征的量纲和数值得量级都是不一样的，在预测房价时，如果直接使用原始的数据值，那么他们对房价的影响程度将是不一样的，而通过标准化处理，可以使得不同的特征**具有相同的尺度（Scale）。**这样，在使用梯度下降法学习参数的时候，不同特征对参数的影响程度就一样了。简言之，**当原始数据不同维度上的特征的尺度（单位）不一致时，需要标准化步骤对数据进行预处理。**

下图中以二维数据为例：左图表示的是原始数据；中间的是中心化后的数据，数据被移动大原点周围；右图将中心化后的数据除以标准差，得到为标准化的数据，可以看出每个维度上的尺度是一致的（红色线段的长度表示尺度）。

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其实，在不同的问题中，中心化和标准化有着不同的意义，

*  比如在训练神经网络的过程中，通过将数据标准化，能够加速权重参数的收敛。
 *  另外，对于主成分分析（PCA）问题，也需要对数据进行中心化和标准化等预处理步骤。

接下来以PCA为例说下中心化的作用。  
下面两幅图是数据做中心化（centering）前后的对比，可以看到其实就是一个平移的过程，平移后所有数据的中心是（0，0）.

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xpdXhpYW83MjM4NDY_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

在做PCA的时候，我们需要找出矩阵的特征向量，也就是主成分（PC）。比如说找到的第一个特征向量是a = \[1, 2\]，a在坐标平面上就是从原点出发到点（1，2）的一个向量。

如果没有对数据做中心化，那算出来的第一主成分的方向可能就不是一个可以“描述”（或者说“概括”）数据的方向了。还是看图比较清楚。

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黑色线就是第一主成分的方向。只有中心化数据之后，计算得到的方向才能比较好的“概括”原来的数据。

最后， 推荐一个问答论坛cross validated，上面可以找到很多数据分析，机器学习相关领域的问答。

[equation_tex_x_5E_7B_27_7D_3D_5Cfrac_7Bx-_5Cmu_7D_7B_5Csigma_7D]: https://www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%7B%27%7D%3D%5Cfrac%7Bx-%5Cmu+%7D%7B%5Csigma+%7D++
[equation_tex_y]: https://www.zhihu.com/equation?tex=y
[equation_tex_x_7B1_7D]: https://www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B1%7D
[equation_tex_x_7B2_7D]: /images/20210511/dee811eca39b422888aba0e77af8f1ea.png
[equation_tex_28x_7B1_7D_2Cx_7B2_7D_29]: https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B1%7D%2Cx_%7B2%7D%29
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