算法沉淀——动态规划篇（子数组系列问题（下））

骑猪看日落 2024-04-06 15:54 80阅读 0赞

#### 算法沉淀——动态规划篇（子数组系列问题（下）） ####

*  前言
 *  一、等差数列划分
 *  二、最长湍流子数组
 *  三、单词拆分
 *  四、环绕字符串中唯一的子字符串

## 前言 ##

几乎所有的动态规划问题大致可分为以下5个步骤，后续所有问题分析都将基于此

*  1.、状态表示：通常状态表示分为以下两种，其中更是第一种为主。
    
     *  `以i为结尾`，dp\[i\] 表示什么，通常为代求问题（具体依题目而定）
     *  `以i为开始`，dp\[i\]表示什么，通常为代求问题（具体依题目而定）
 *  2、状态转移方程
    
     *  以上述的dp\[i\]意义为根据， 通过`最近一步来分析和划分问题`，由此来得到一个有关dp\[i\]的状态转移方程。
 *  3、dp表创建，初始化
    
     *  动态规划问题中，如果直接使用状态转移方程通常会伴随着`越界访问`等风险，所以一般需要初始化。而初始化最重要的两个注意事项便是：`保证后续结果正确，不受初始值影响；下标的映射关系`。
     *  而`初始化一般分为以下两种：`
        
         *  `直接初始化开头的几个值。`
         *  `一维空间大小+1，下标从1开始；二维增加一行/一列`。
 *  4、填dp表、填表顺序：根据状态转移方程来确定填表顺序。
 *  5、确定返回值

## 一、等差数列划分 ##

【题目】：[413. 等差数列划分][413.]  
【题目】：

>  如果一个数列 至少有三个元素 ，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该数列为等差数列。例如，\[1,3,5,7,9\]、\[7,7,7,7\] 和 \[3,-1,-5,-9\] 都是等差数列。  
>  给你一个整数数组 nums ，返回数组 nums 中所有为等差数组的 子数组 个数。(子数组 是数组中的一个连续序列)

【示例】：

> 输入：nums = \[1,2,3,4\]  
> 输出：3  
> 解释：nums 中有三个子等差数组：\[1, 2, 3\]、\[2, 3, 4\] 和 \[1,2,3,4\] 自身。

【分析】：  
 我们可以定义dp\[i\]表示以i为结尾，等差数组的子数组个数。之后我们可以通过判断（nums\[i\]、nums\[i-1\]、nums\[i-2\]）是否构成等差数列，来进一步分析

**状态转移方程推导：**

1.  如果nums\[i\]、nums\[i-1\]、nums\[i-2\]不构成等差数列，显然此时以i为结尾的等差数组的子数组个数为0。即`dp[i] = 0;`
2.  如果构成等差数列，此时dp\[i\]的值至少为1。此时我们还需加上dp\[i-1\]的值。原因在于如果以i-1为结尾的等差数列存在，此时该等差数列公差为`dp[i-1] -dp[i-2]`。同时nums\[i\]、nums\[i-1\]、nums\[i-2\]构成等差数列，公差也为`dp[i-1] -dp[i-2]`。这也意味着，以i-1为结尾的所有等差数列，在添加新增nums\[i\]元素后，依然是等差数列。所以状态转移方程为`dp[i] = dp[i - 1] + 1;`

**细节处理：**  
 显然当i为1、2时，状态转移方程不适用。我们由于dp\[0\]、dp\[1\]一定构不成等差数列，所以我们可以先将dp\[0\]、dp\[1\]先初始化为0，在从下标2开始，从左往右填表。

【代码编写】：

class Solution {
        
    public:
        int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums) {
        
            int n = nums.size();
            vector<int> dp(n);
            int ret = 0;
            for(int i = 2; i < n; i++)
            {
        
                if(nums[i] - nums[i - 1] == nums[i - 1] - nums[i - 2])
                    dp[i] = dp[i - 1] + 1;
                ret += dp[i];//累加所有结果
            }
            return ret;
        }
    };

## 二、最长湍流子数组 ##

【题目链接】：[978. 最长湍流子数组][978.]  
【题目】：

>  给定一个整数数组 arr ，返回 arr 的 最大湍流子数组的长度 。如果比较符号在子数组中的每个相邻元素对之间翻转，则该子数组是 湍流子数组 。  
>  更正式地来说，当 arr 的子数组 A\[i\], A\[i+1\], …, A\[j\] 满足仅满足下列条件时，我们称其为湍流子数组：  
> 若 i <= k < j ：当 k 为奇数时， A\[k\] > A\[k+1\]，且当 k 为偶数时，A\[k\] < A\[k+1\]；  
> 或 若 i <= k < j ：当 k 为偶数时，A\[k\] > A\[k+1\] ，且当 k 为奇数时， A\[k\] < A\[k+1\]。

【示例】：

> 输入：arr = \[9,4,2,10,7,8,8,1,9\]  
> 输出：5  
> 解释：arr\[1\] > arr\[2\] < arr\[3\] > arr\[4\] < arr\[5\]

【分析】：  
 我们定义f\[i\]表示以i位置为结尾，并且最后是“上升”趋势的最长湍流子数组大小；g\[i\]表示以i位置为结尾，并且最后是“下降”趋势的最长湍流子数组大小。

**状态转移方程推导：**  
 此时以i为结尾的湍流子数组长度可能为1，或大于1。具体如下：

![在这里插入图片描述][fdcf8e530c634de9a7b8f1c79a2e1103.png]

![在这里插入图片描述][2b25ac6c572249b38068a551f798f97b.png]  
**特殊处理：**  
 以i为结尾的湍流子数组中，不管最后一步是呈上升趋势还是下降趋势，最小长度一定为1，即nums\[i\]本身。所以我们在创建f和g表时，可以将初始值设为1。后续填表过程中，仅需考虑子数组长度大于1的情况即可！！

【代码编写】：

class Solution {
        
    public:
        int maxTurbulenceSize(vector<int>& arr) {
        
            int n = arr.size();
            vector<int> f(n, 1), g(n, 1);
            int ret = 1;
            for(int i = 1; i < n; i++)
            {
        
                if(arr[i] > arr[i - 1])
                    f[i] = g[i - 1] + 1;
                else if(arr[i] < arr[i - 1])
                    g[i] = f[i - 1] + 1;
                ret = max(ret, max(f[i], g[i]));
            }
            return ret;
        }
    };

## 三、单词拆分 ##

【题目链接】：[139. 单词拆分][139.]  
【题目】：

>  给你一个字符串 s 和一个字符串列表 wordDict 作为字典。如果可以利用字典中出现的一个或多个单词拼接出 s 则返回 true。  
>  注意：不要求字典中出现的单词全部都使用，并且字典中的单词可以重复使用。

【示例】：

> 输入: s = “applepenapple”, wordDict = \[“apple”, “pen”\]  
> 输出: true  
> 解释: 返回 true 因为 “applepenapple” 可以由 “apple” “pen” “apple” 拼接成。  
> 注意，你可以重复使用字典中的单词。

【分析】：  
 我们可以定义dp\[i\]表示以i位置为结尾的子字符串是否能单词拆分。

**状态转移方程推导：**

要判断从下标从0到i的子串是否能单词拆分。我们可以将0到i的字串分为两部分：0到j-1，j到i（0 <= j <= i）。而dp\[j-1\]表示以j-1位置为结尾的字串能否单词拆分的结果。此时我们还需判断下标从j到i的字串是否能单词拆分。此时即可判断此种分发是否能实现单词拆分！！  
 但由于j的位置不确定。所以我们可以一次将j从开始，逐渐减小到起始下标0。在每次递减过程中，只有存在一种拆分发将拆分出的两个字串都能实现拆分单词，此时dp\[i\]=true,同时可停止遍历。否则为false;

![在这里插入图片描述][7e1311b617d84ca9858cb1bb0edc2b89.png]  
**细节处理：**  
 在填dp表过程中，dp\[i\]的值会用到dp\[j-1\]（0<=j<=i）,可能会发生越界访问。所以我们为dp表额外增加一个空间，同时为了保证后续填表的正确性，我们需要将dp\[0\]初始化为true。  
 同时面对字符串问题时，通常需要存在子字符窜问题。此时，下标映射关系可能+1,可能减1。所以这里个原始字符串最开始任意增加一个字符（习惯上该字符为空字符），让原始字符串下标统一向后移动一位。  
【代码编写】：

class Solution {
        
    public:
        bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
        
            unordered_map<string, int> hash;
            for(auto& str : wordDict)//后续快速查找是否存在某单词
                hash[str]++;
            int n = s.size();
            vector<bool> dp(n + 1);
            dp[0] = true;//初始化，保证后续填表正确
            s = ' ' + s;//让s下标集体向后移动一位
            for(int i = 1; i <= n; i++)
                for(int j = i; j >= 1; j--)
                {
        
                    if(dp[j - 1] && hash.count(s.substr(j, i - j + 1)))
                    {
        
                        dp[i] = true;
                        break;
                    }
                }
            return dp[n];
        }
    };

## 四、环绕字符串中唯一的子字符串 ##

【题目链接】：[467. 环绕字符串中唯一的子字符串][467.]  
【题目】：

【代码编写】：

>  定义字符串 base 为一个 “abcdefghijklmnopqrstuvwxyz” 无限环绕的字符串，所以 base 看起来是这样的：
> 
>  *  “…zabcdefghijklmnopqrstuvwxyzabcdefghijklmnopqrstuvwxyzabcd…”。  
>     给你一个字符串 s ，请你统计并返回 s 中有多少 不同非空子串 也在 base 中出现。

【示例】：

> 输入：s = “zab”  
> 输出：6  
> 解释：字符串 s 有六个子字符串 (“z”, “a”, “b”, “za”, “ab”, and “zab”) 在 base 中出现。

【分析】：  
 我们可以定义dp\[i\]表示以i位置为结尾的字符串中非空字串在base中出现的个数。

**状态转移方程推导：**  
 非空字串存在于base中有两种可能：

1.  相邻字符是连续的，即`s[i-1] + 1 == s[i]`。
2.  相邻字符分别是26个小写字母的结束和开始，即是`bashs[i-1] == 'z' && s[i] == 'a'`。  
    所以状态转移方程为：

if((s[i] - s[i - 1] == 1) || (s[i - 1] == 'z' && s[i] == 'a'))
         dp[i] = dp[i - 1] + 1;

细节处理：  
 由于当个字符一定存在于base中，所以dp\[i\]的值最小为1，所以我们可以将dp表中的初始值全部初始化为1。

上述dp表中的结果存在重复值，不能直接累加。那如何去重？

*  我们知道以某一个字符为结尾的子串中，长子串一定包含了短子串的所有结果。所以我们可以借助一个26空间大小的数组，将s分割出的字串中，以结尾字符为依据，将最长字串结果放入对应的数组空间中。从而实现去重效果。即：`hash[s[i] - 'a'] = max(hash[s[i] - 'a'], dp[i]);`  
     既然以及去重了，最后只需将数组中的结果累加即可！！

【代码编写】：

class Solution {
        
    public:
        int findSubstringInWraproundString(string s) {
        
            int n = s.size();
            vector<int> dp(n, 1);
            for(int i = 1; i < n; i++)
                if((s[i] - s[i - 1] == 1) || (s[i - 1] == 'z' && s[i] == 'a'))
                    dp[i] = dp[i - 1] + 1;
            
            int hash[26] = {
        0};
            for(int i = 0; i < n; i++)//去重
                hash[s[i] - 'a'] = max(hash[s[i] - 'a'], dp[i]);
    
            int ret = 0;
            for(auto x : hash)
                ret += x;
            return ret;
        }
    };

[413.]: https://leetcode.cn/problems/arithmetic-slices/description/
[978.]: https://leetcode.cn/problems/longest-turbulent-subarray/description/
[fdcf8e530c634de9a7b8f1c79a2e1103.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/06/4d638c56f9ae47bcaea0062a5e5b7fa2.png
[2b25ac6c572249b38068a551f798f97b.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/06/c1d445b8a2634527bb35ec249ff48c6a.png
[139.]: https://leetcode.cn/problems/word-break/description/
[7e1311b617d84ca9858cb1bb0edc2b89.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/06/ef2b20cc7c9b47e7a84f2e25c7f7a2b6.png
[467.]: https://leetcode.cn/problems/unique-substrings-in-wraparound-string/description/