离散数学-集合论-集合代数（6）

小灰灰 2024-03-30 16:28 75阅读 0赞

#### 集合代数 ####

*   *  一、集合的基本概念
     *   *  1、集合
         *   *  1.1 集合的定义
             *  1.2 集合的表示
             *  1.3 集合与元素的关系：属于，不属于
             *  1.4 集合之间的关系
             *  1.5 空集与全集
             *  1.6 幂集
     *  二、集合的运算
     *  三、有穷集计数
     *   *  1.集合的基数与有穷集合
         *  2.容斥原理（包含排斥原理）
     *  四、集合恒等式
     *  五、集合包含或相等的证明方法
     *   *  1.证明集合包含
         *   *  (1) 命题演算法
             *  (2) 包含传递法
             *  (3) 等价条件法
             *  (4) 反证法
             *  (5) 并交运算法
         *  2 证明集合相等
         *   *  (1) 命题演算
             *  (2) 等式代入法
             *  (3) 反证法
             *  (4) 运算法

### 一、集合的基本概念 ###

#### 1、集合 ####

##### 1.1 集合的定义 #####

一些离散个体组成的全体，组成集合的个体称为它的元素或成员。

##### 1.2 集合的表示 #####

1.列元素法： A = \{ a, b, c, d \}

2.谓词表示法：B = \{ x | P(x) \} B 由使得 P(x) 为真的 x 构成。

##### 1.3 集合与元素的关系：属于，不属于 #####

例如：  
![A=\{ x | xRx2-1=0 \},  A=\{-1,1\} 1∈A,  2A][A_ x _ xRx2-1_0 _ A_-1_1_ 1_A_ 2A]  
对于任何集合 B 和元素 x (可以是集合)，x ∈ \\in ∈B和 x ∉ \\notin ∈/B两者成立其一，且仅成立其一.

##### 1.4 集合之间的关系 #####

![在这里插入图片描述][0419f97f2dd748778759ab90ffbb76e5.png]

##### 1.5 空集与全集 #####

![在这里插入图片描述][2ff1b80272934e41ad41c25b7c4da0c2.png]

##### 1.6 幂集 #####

![在这里插入图片描述][47510cf4da214ba1a2d640106c887c74.png]

### 二、集合的运算 ###

![在这里插入图片描述][c9ce97d13e3549a9817a473899148760.png]![在这里插入图片描述][93ffb632307745f59b322a07526bf7ef.png]  
例如：  
设A=\{ \{a\},\{a,b\}\}求∪∪A-∪∩A  
解：  
∪A=\{a\}∪\{a,b\}=\{a,b\}  
∪∪A=a∪b  
∩A=\{a\}∩\{a,b\}=\{a\}  
∪∩A=a  
∪∪A-∪∩A=a∪b-a=b-a  
![在这里插入图片描述][6c6dbfbce8584fa8bfc1d89afd13e90f.png]

### 三、有穷集计数 ###

#### 1.集合的基数与有穷集合 ####

![在这里插入图片描述][afc3743ab3084ccc95a217cb8c1037f8.png]

#### 2.容斥原理（包含排斥原理） ####

![在这里插入图片描述][bd971af821e346d69e2d7c2669c0bb49.png]  
![在这里插入图片描述][c050635d3db3422880c81fb8a7731dbd.png]

例如：1.一个学校有 507,292,312 和 344 个学生分别选了微积分、离散数学、数据结构、程序设计语言课，且有 14 人选了微积分和数据结构课，213 人选了微积分和程序设计语言课．211 人选了离散数学和数据结构课，43 人选了离散数学和程序设计语言课，没有学生同时选微积分和离散数课，也没有学生同时选数据结构和程序设计语言课．问有多少学生在微积分、离散数学、数据结构和程序设计语言中选了课．  
解：  
![在这里插入图片描述][db73d4b9461a42f3acd289e9da65050a.png]  
![在这里插入图片描述][7dbcb8a6bd7b4d3db748eea813a39c35.png]

### 四、集合恒等式 ###

![在这里插入图片描述][6c32d8aa4ef44d87893186b5a2914984.png]

### 五、集合包含或相等的证明方法 ###

#### 1.证明集合包含 ####

##### (1) 命题演算法 #####

![在这里插入图片描述][31b57c8ed677463ab46eb9badf66ae8b.png]

##### (2) 包含传递法 #####

![在这里插入图片描述][0b63404d20b54d1aadb1b22b257b554d.png]

##### (3) 等价条件法 #####

![在这里插入图片描述][7dd402b07d5747c1bd051bfa50cab145.png]

##### (4) 反证法 #####

![在这里插入图片描述][4b3791deb9bd47bfa73484b9820bbd8f.png]

##### (5) 并交运算法 #####

![在这里插入图片描述][ce97bb3860b3477082f6c0c77cfc268b.png]

#### 2 证明集合相等 ####

##### (1) 命题演算 #####

![在这里插入图片描述][6b8d8a80225e49abbc6fa5c3940ab8ca.png]

##### (2) 等式代入法 #####

![在这里插入图片描述][11f1cc14025c447dabc837f831ffaceb.png]

##### (3) 反证法 #####

![在这里插入图片描述][5b7bd0f1990f406895b531bf7479c582.png]

![在这里插入图片描述][51f8496514344ff28a026f2f06b32ac3.png]  
![在这里插入图片描述][c512ff4f64764d43a6a50145e5d3ade3.png]

##### (4) 运算法 #####

![在这里插入图片描述][ef81fc9738bb480fbe606b7d33c8c205.png]

[A_ x _ xRx2-1_0 _ A_-1_1_ 1_A_ 2A]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/30/c62ba12969934a6daea6fda79bf947eb.png
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