为什么 GCC 不将 aaaaaa 优化为 (aaa)(aaa)？

水深无声 2024-03-30 16:24 67阅读 0赞

## 问： ##

我正在对科学应用程序进行一些数值优化。我注意到的一件事是，GCC 会通过将调用 pow(a,2) 编译成 a\*a 来优化它，但调用 pow(a,6) 并没有优化，实际上会调用库函数 pow，这会大大降低性能。 （相比之下，可执行文件 icc 的 Intel C++ Compiler 将消除对 pow(a,6) 的库调用。）

我很好奇的是，当我使用 GCC 4.5.1 和选项“-O3 -lm -funroll-loops -msse4”将 pow(a,6) 替换为 a*a*a*a*a\*a 时，它使用了 5 个 mulsd 指令：

movapd  %xmm14, %xmm13
    mulsd   %xmm14, %xmm13
    mulsd   %xmm14, %xmm13
    mulsd   %xmm14, %xmm13
    mulsd   %xmm14, %xmm13
    mulsd   %xmm14, %xmm13

而如果我写(a*a*a)*(a*a\*a)，它会产生

movapd  %xmm14, %xmm13
    mulsd   %xmm14, %xmm13
    mulsd   %xmm14, %xmm13
    mulsd   %xmm13, %xmm13

这将乘法指令的数量减少到 3。icc 具有类似的行为。

为什么编译器无法识别这种优化技巧？

## 答1: ##

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因为Floating Point Math is not Associative。在浮点乘法中对操作数进行分组的方式会影响答案的数值准确性。

因此，大多数编译器对重新排序浮点计算非常保守，除非他们可以确定答案将保持不变，或者除非您告诉他们您不关心数值准确性。例如：gcc 的 the -fassociative-math option 允许 gcc 重新关联浮点操作，甚至 -ffast-math 选项允许在精度与速度之间进行更激进的权衡。

`是的。使用 -ffast-math 它正在做这样的优化。好主意！但由于我们的代码关注的是准确性而不是速度，因此最好不要通过它。`

`IIRC C99 允许编译器执行这种“不安全”的 FP 优化，但 GCC（在 x87 以外的任何设备上）在遵循 IEEE 754 方面做出了合理的尝试——这不是“错误界限”；只有一个正确答案。`

`pow 的实现细节既不存在也不存在；这个答案甚至没有引用 pow。`

`@nedR：ICC 默认允许重新关联。如果您想获得符合标准的行为，您需要使用 ICC 设置 -fp-model precise。 clang 和 gcc 默认为严格一致性 wrt 重新关联。`

`@xis，这并不是真的 -fassociative-math 不准确；只是 a*a*a*a*a*a 和 (a*a*a)*(a*a*a) 不同。这与准确性无关。它是关于标准一致性和严格可重复的结果，例如在任何编译器上的相同结果。浮点数已经不准确了。使用 -fassociative-math 编译很少不合适。`

## 答2: ##

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Lambdageek 正确指出，因为关联性不适用于浮点数，a*a*a*a*a*a 到 (a*a*a)*(a*a*a) 的“优化”可能会改变值。这就是 C99 不允许它的原因（除非用户特别允许，通过编译器标志或编译指示）。通常，假设是程序员编写了她所做的事情是有原因的，编译器应该尊重这一点。如果您想要 (a*a*a)*(a*a\*a)，请写下它。

不过，写起来可能会很痛苦。当您使用 pow(a,6) 时，为什么编译器不能 \[您认为是\] 正确的事情？因为这样做是错误的事情。在具有良好数学库的平台上，pow(a,6) 比 a*a*a*a*a*a 或 (a*a*a)*(a*a*a) 准确得多。只是为了提供一些数据，我在我的 Mac Pro 上进行了一个小实验，测量 \[1,2) 之间的所有单精度浮点数评估 a^6 时的最严重错误：

worst relative error using    powf(a, 6.f): 5.96e-08
    worst relative error using (a*a*a)*(a*a*a): 2.94e-07
    worst relative error using     a*a*a*a*a*a: 2.58e-07

使用 pow 而不是乘法树可以减少 4 倍的误差。编译器不应该（通常也不应该）进行会增加错误的“优化”，除非得到用户的许可（例如通过 -ffast-math）。

请注意，GCC 提供 \_\_builtin\_powi(x,n) 作为 pow( ) 的替代，它应该生成一个内联乘法树。如果您想在性能上权衡准确性，但又不想启用快速数学，请使用它。

`另请注意，Visual C++ 提供了 pow() 的“增强”版本。通过使用 flag=1 调用 _set_SSE2_enable()，它将尽可能使用 SSE2。这会稍微降低准确性，但会提高速度（在某些情况下）。 MSDN：_set_SSE2_enable() 和 pow()`

`@TkTech：任何降低的准确性都是由于微软的实施，而不是使用的寄存器的大小。如果库编写者如此积极，则可以仅使用 32 位寄存器来提供正确舍入 pow。有一些基于 SSE 的 pow 实现比大多数基于 x87 的实现更准确，还有一些实现会牺牲一些准确性来换取速度。`

`@TkTech：当然，我只是想澄清一下，准确性的降低是由于图书馆作者做出的选择，而不是使用 SSE 所固有的。`

`我很想知道您在这里使用什么作为计算相对误差的“黄金标准”——我通常预计它会是 a*a*a*a*a*a，但显然情况并非如此！ :)`

`@j_random_hacker：因为我是在比较单精度结果，所以双精度足以满足黄金标准——以双精度计算的 aaaaaa 误差*远小于任何单精度计算的误差。`

## 答3: ##

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另一个类似的情况：大多数编译器不会将 a + b + c + d 优化为 (a + b) + (c + d)（这是一种优化，因为可以更好地流水线化第二个表达式）并将其评估为给定（即作为 (((a + b) + c) + d)）。这也是因为极端情况：

float a = 1e35, b = 1e-5, c = -1e35, d = 1e-5;
    printf("%e %e\n", a + b + c + d, (a + b) + (c + d));

这会输出 1.000000e-05 0.000000e+00

`这并不完全相同。更改乘法/除法的顺序（不包括除以 0）比更改和/减法的顺序更安全。在我看来，编译器应该尝试关联 mults./divs。因为这样做会减少操作的总数，除了性能增益之外，还有精度增益。`

`@DarioOO：这并不安全。乘除与指数的加减相同，改变顺序很容易导致临时数超出指数的可能范围。 （不完全相同，因为指数不会损失精度......但表示仍然非常有限，重新排序可能导致无法表示的值）`

`我认为您缺少一些微积分背景。将 2 个数字相乘和相除会引入相同数量的错误。虽然减/加 2 个数字可能会引入更大的误差，尤其是当 2 个数字相差几个数量级时，因此重新排列 mul/divide 比 sub/add 更安全，因为它会在最终误差中引入微小的变化。`

`@DarioOO：mul/div 的风险不同：重新排序要么对最终结果产生微不足道的变化，要么指数在某个点溢出（以前不会有），结果大不相同（可能是 +inf 或0)。`

`@GameDeveloper 以不可预知的方式提高精度是一个很大的问题。`

## 答4: ##

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Fortran（专为科学计算而设计）具有内置的幂运算符，据我所知，Fortran 编译器通常会以与您描述的方式类似的方式优化整数幂。遗憾的是，C/C++ 没有幂运算符，只有库函数 pow()。这并不妨碍智能编译器特别处理 pow 并在特殊情况下以更快的方式计算它，但似乎他们不太常见…

几年前，我试图让以最佳方式计算整数幂更方便，并提出了以下建议。它是 C++，而不是 C，并且仍然取决于编译器在如何优化/内联事物方面有点聪明。无论如何，希望你会发现它在实践中很有用：

template struct power_impl;
    
    template struct power_impl {
        
        template
        static T calc(const T &x) {
        
            if (N%2 == 0)
                return power_impl::calc(x*x);
            else if (N%3 == 0)
                return power_impl::calc(x*x*x);
            return power_impl::calc(x)*x;
        }
    };
    
    template<> struct power_impl<0> {
        
        template
        static T calc(const T &) {
         return 1; }
    };
    
    template
    inline T power(const T &x) {
        
        return power_impl::calc(x);
    }

对好奇的澄清：这并没有找到计算幂的最佳方法，但是因为 finding the optimal solution is an NP-complete problem 并且无论如何这只值得为小幂做（而不是使用 pow） ，没有理由对细节大惊小怪。

然后只需将其用作 power<6>(a)。

这使得键入幂变得容易（无需用括号拼出 6 个 a），并允许您在没有 -ffast-math 的情况下进行这种优化，以防您有一些依赖于精度的东西，例如 compensated summation（一个示例，其中操作顺序是必不可少的）。

您可能还忘记了这是 C++，而只是在 C 程序中使用它（如果它使用 C++ 编译器编译）。

希望这会很有用。

编辑：

这是我从编译器中得到的：

对于 a*a*a*a*a\*a，

movapd  %xmm1, %xmm0
        mulsd   %xmm1, %xmm0
        mulsd   %xmm1, %xmm0
        mulsd   %xmm1, %xmm0
        mulsd   %xmm1, %xmm0
        mulsd   %xmm1, %xmm0

对于 (a*a*a)*(a*a\*a)，

movapd  %xmm1, %xmm0
        mulsd   %xmm1, %xmm0
        mulsd   %xmm1, %xmm0
        mulsd   %xmm0, %xmm0

对于 power<6>(a)，

mulsd   %xmm0, %xmm0
        movapd  %xmm0, %xmm1
        mulsd   %xmm0, %xmm1
        mulsd   %xmm0, %xmm1

`找到最佳幂树可能很难，但由于它只对小幂感兴趣，显而易见的答案是预先计算一次（Knuth 提供了一个最多 100 个表）并使用该硬编码表（这就是 gcc 在内部为 powi 所做的） .`

`在现代处理器上，速度受到延迟的限制。例如，乘法的结果可能在五个周期后可用。在这种情况下，找到最快的方法来创造一些力量可能会更加棘手。`

`您还可以尝试找到给出相对舍入误差的最低上限或最低平均相对舍入误差的幂树。`

`Boost 也支持这一点，例如 boost::math::pow<6>(n);我认为它甚至试图通过提取公因数来减少乘法的次数。`

`这是 Fortran 做出正确选择的情况之一（编译器可以使用关联性，除非用户使用括号，这是一种众所周知的表示评估顺序的符号），而 C 做出了错误的选择（无法进行关联数学）`

## 答5: ##

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当 a 为整数时，GCC 确实将 a*a*a*a*a*a 优化为 (a*a*a)*(a*a*a)。我试过这个命令：

$ echo 'int f(int x) {
         return x*x*x*x*x*x; }' | gcc -o - -O2 -S -masm=intel -x c -

有很多 gcc 标志，但没有什么花哨的。它们的意思是：从标准输入读取；使用 O2 优化级别；输出汇编语言列表而不是二进制；清单应使用英特尔汇编语言语法；输入是 C 语言（通常语言是从输入文件扩展名推断出来的，但是从标准输入读取时没有文件扩展名）；并写入标准输出。

这是输出的重要部分。我用一些注释来注释它，说明汇编语言中发生了什么：

; x is in edi to begin with.  eax will be used as a temporary register.
    mov  eax, edi  ; temp = x
    imul eax, edi  ; temp = x * temp
    imul eax, edi  ; temp = x * temp
    imul eax, eax  ; temp = temp * temp

我在 Linux Mint 16 Petra（Ubuntu 衍生产品）上使用系统 GCC。这是 gcc 版本：

$ gcc --version
    gcc (Ubuntu/Linaro 4.8.1-10ubuntu9) 4.8.1

正如其他海报所指出的，此选项在浮点中是不可能的，因为浮点运算不是关联的。

`这对于整数乘法是合法的，因为二进制补码溢出是未定义的行为。如果要发生溢出，它将发生在某个地方，而不管重新排序操作如何。因此，没有溢出的表达式评估相同，溢出的表达式是未定义的行为，因此编译器可以更改发生溢出的点。 gcc 也对 unsigned int 进行了此操作。`

`@PeterCordes：我认为它合法的一个更好的理由是，与浮点乘法不同，整数乘法（mod n）是关联的。当然，有符号整数类型溢出仍然是未定义的行为，但假装没有，您总是会从 a*a*a*a*a*a 和 (a*a*a)*(a*a*a) 得到相同的结果。 （当然对于无符号类型，溢出不是UB。）`

`@DanielMcLaury：哦，是的，我没有说明这个关键要求。 :P 显然早在 2015 年，我以为每个人都已经知道这一点，或者在确定实际整数结果相同后谈论可能的 UB 可能令人担忧。 （OTOH，我想我记得看到 GCC 没有像无符号一样优化有符号整数数学，因为一些过于保守的“不要引入 UB”逻辑在最终结果是没有意义时是相同的。）`

## 答6: ##

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因为 32 位浮点数（例如 1.024）不是 1.024。在计算机中，1.024 是一个区间：从 (1.024-e) 到 (1.024+e)，其中“e”表示错误。有些人没有意识到这一点，并且还认为 \* in a*a 代表任意精度数字的乘法，而这些数字没有任何错误。有些人没有意识到这一点的原因可能是他们在小学时进行的数学计算：只使用没有附加错误的理想数字，并认为在执行乘法时可以简单地忽略“e”。他们看不到“float a=1.2”、“a*a\*a”和类似的 C 代码中隐含的“e”。

如果大多数程序员认识到（并能够执行）C 表达式 a*a*a*a*a*a 实际上不是使用理想数字的想法，那么 GCC 编译器将可以免费优化 "a*a *a*a*a*a" 变成说 “t=(a*a); t*t\*t” 这需要更少的乘法。但不幸的是，GCC 编译器不知道编写代码的程序员是否认为“a”是一个有错误或没有错误的数字。所以 GCC 只会做源代码的样子——因为那是 GCC 用它的“肉眼”看到的。

…一旦您知道自己是哪种程序员，就可以使用“-ffast-math”开关告诉GCC“嘿，GCC，我知道我在做什么！”。这将允许 GCC 将 a*a*a*a*a*a 转换为不同的文本 - 它看起来与 a*a*a*a*a*a 不同 - 但仍会在错误间隔内计算一个数字a*a*a*a*a\*a。这没关系，因为您已经知道您正在使用间隔，而不是理想的数字。

`浮点数是精确的。它们只是不一定完全符合您的预期。此外，使用 epsilon 的技术本身就是如何处理现实问题的近似值，因为真正的预期误差与尾数的比例有关，即，通常最多输出大约 1 LSB，但这可能会随着如果您不小心执行了每个操作，因此在对浮点进行任何重要的操作之前请咨询数值分析师。如果可能，请使用适当的库。`

`@DonalFellows：IEEE 标准要求浮点计算产生的结果与源操作数是精确值时的结果最精确匹配，但这并不意味着它们实际上代表精确值。在许多情况下，将 0.1f 视为 (1,677,722 +/- 0.5)/16,777,216 比将其视为精确数量 (1,677,722 +/- 0.5)/16,777,216（应显示为 24 位十进制数字）。`

`@supercat：IEEE-754 非常清楚浮点数据 do 表示精确值；第 3.2 - 3.4 条是相关章节。当然，您可以选择以其他方式解释它们，就像您可以选择将 int x = 3 解释为意味着 x 是 3+/-0.5。`

`@supercat：我完全同意，但这并不意味着 Distance 不完全等于它的数值；这意味着数值只是对某些正在建模的物理量的近似值。`

`对于数值分析，如果您不将浮点数解释为间隔，而是作为精确值（恰好不是您想要的值），您的大脑会感谢您。例如，如果 x 在 4.5 附近，误差小于 0.1，并且您计算 (x + 1) - x，“区间”解释为您留下 0.8 到 1.2 的区间，而“精确值”解释告诉您的结果将是 1，双精度误差最多为 2^(-50)。`

## 答7: ##

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还没有海报提到浮动表达式的收缩（ISO C 标准，6.5p8 和 7.12.2）。如果 FP\_CONTRACT pragma 设置为 ON，则允许编译器将诸如 a*a*a*a*a\*a 的表达式视为单个操作，就像使用单个舍入精确计算一样。例如，编译器可以用更快、更准确的内部幂函数代替它。这一点特别有趣，因为行为部分是由程序员直接在源代码中控制的，而最终用户提供的编译器选项有时可能会被错误地使用。

FP\_CONTRACT pragma 的默认状态是实现定义的，因此默认情况下允许编译器进行此类优化。因此，需要严格遵循 IEEE 754 规则的可移植代码应将其显式设置为 OFF。

如果编译器不支持此 pragma，则必须避免任何此类优化，以防开发人员选择将其设置为 OFF。

GCC 不支持这个 pragma，但是使用默认选项，它假定它是 ON;因此对于具有硬件 FMA 的目标，如果想要阻止将 a\*b+c 转换为 fma(a,b,c)，则需要提供诸如 -ffp-contract=off 之类的选项（将 pragma 显式设置为 OFF）或 -std=c99（告诉 GCC 符合某些 C 标准版本，这里是 C99，因此遵循上述段落）。过去，后一个选项不会阻止转换，这意味着 GCC 不符合这一点：https://gcc.gnu.org/bugzilla/show\_bug.cgi?id=37845

`长期流行的问题有时会显示他们的年龄。这个问题在 2011 年被问及回答，当时 GCC 可以原谅不完全尊重当时最近的 C99 标准。当然现在是 2014 年，所以 GCC ……嗯。`

`但是，您不应该在没有公认答案的情况下回答相对较新的浮点问题吗？咳嗽stackoverflow.com/questions/23703408咳嗽`

`我发现它......令人不安的是 gcc 没有实现 C99 浮点编译指示。`

`@DavidMonniaux 编译指示根据定义是可选的实现。`

`@TimSeguine 但是，如果未实现 pragma，则其默认值需要对实现具有最大限制。我想这就是大卫的想法。使用 GCC，现在是 fixed for FP_CONTRACT if one uses an ISO C mode：它仍然没有实现 pragma，但在 ISO C 模式下，它现在假定 pragma 已关闭。`

## 答8: ##

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像“pow”这样的库函数通常经过精心设计，以产生最小的可能错误（在一般情况下）。这通常是通过样条曲线逼近函数来实现的（根据 Pascal 的评论，最常见的实现似乎是使用 Remez algorithm）

基本上是以下操作：

pow(x,y);

具有与任何单次乘法或除法中的误差大致相同大小的固有误差。

同时进行以下操作：

float a=someValue;
    float b=a*a*a*a*a*a;

具有大于单个乘法或除法误差的 5 倍以上的固有误差（因为您正在组合 5 次乘法）。

编译器应该非常小心它正在执行的优化类型：

如果将 pow(a,6) 优化为 a*a*a*a*a*a 它可能会提高性能，但会大大降低浮点数的准确性。如果将 a*a*a*a*a*a 优化为 pow(a,6) 它实际上可能会降低精度，因为“a”是一些允许乘法无误的特殊值（2 的幂或一些小整数）如果将 pow(a,6) 优化为 (a*a*a)*(a*a*a) 或 (a*a)*(a*a)*(a*a) 仍然可能会损失准确性与 pow 函数相比。

一般来说，您知道对于任意浮点值，“pow”比您最终编写的任何函数具有更好的精度，但在某些特殊情况下，多次乘法可能具有更好的精度和性能，这取决于开发人员选择更合适的方法，最终评论代码，以便其他人不会“优化”该代码。

唯一有意义的事情（个人意见，显然是 GCC 中的选择，没有任何特定的优化或编译器标志）要优化应该用“a\*a”替换“pow(a,2)”。那将是编译器供应商应该做的唯一明智的事情。

`downvoters 应该意识到这个答案非常好。我可以引用数十个来源和文档来支持我的答案，而且我可能比任何反对者都更关心浮点精度。在 StackOverflow 中添加其他答案未涵盖的缺失信息是完全合理的，因此请保持礼貌并解释您的原因。`

`在我看来，斯蒂芬佳能的回答涵盖了您要说的内容。您似乎坚持 libms 是用样条线实现的：它们更通常使用参数缩减（取决于正在实现的函数）加上一个多项式，其系数已通过 Remez 算法的或多或少复杂的变体获得。连接点的平滑度不被认为是 libm 函数值得追求的目标（如果它们最终足够准确，那么无论域被分成多少块，它们都会自动变得非常平滑）。`

`您答案的后半部分完全忽略了编译器应该生成实现源代码所说的代码的观点。当你的意思是“准确度”时，你也会使用“精度”这个词。`

`感谢您的输入，我稍微更正了答案，最后两行中仍然存在一些新内容^^`

## 答9: ##

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正如 Lambdageek 指出的那样，浮点乘法不是关联的，您可以获得较低的准确性，但当获得更高的准确性时，您可以反对优化，因为您想要一个确定性的应用程序。例如，在游戏模拟客户端/服务器中，每个客户端都必须模拟同一个世界，您希望浮点计算具有确定性。

`@greggo 不，那么它仍然是确定性的。在任何意义上都没有添加随机性。`

`@Alice似乎很清楚Bjorn在这里使用'确定性'的代码在不同平台和不同编译器版本等（可能超出程序员控制范围的外部变量）上给出相同结果的代码 - 而不是缺乏运行时的实际数字随机性。如果您指出这不是该词的正确用法，我不会对此进行争论。`

`@greggo 除了你对他所说的话的解释，它仍然是错误的；这就是 IEEE 754 的全部要点，为跨平台的大多数（如果不是全部）操作提供相同的特性。现在，他没有提及平台或编译器版本，如果您希望每个远程服务器/客户端上的每个操作都相同，这将是一个有效的问题......但这在他的陈述中并不明显。一个更好的词可能是“可靠地相似”之类的。`

`@Alice，您通过争论语义浪费了每个人的时间，包括您自己的时间。他的意思很清楚。`

`@Lanaru 标准的全部意义在于语义；他的意思显然不清楚。`

## 答10: ##

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我根本没想到这种情况会被优化。表达式包含可以重新组合以删除整个操作的子表达式的情况并不常见。我希望编译器编写者将他们的时间投入到更有可能带来显着改进的领域，而不是涵盖很少遇到的边缘情况。

我很惊讶地从其他答案中得知，这个表达式确实可以通过适当的编译器开关进行优化。要么优化是微不足道的，要么是更常见优化的边缘案例，或者编译器编写者非常彻底。

正如您在此处所做的那样，向编译器提供提示并没有错。重新排列语句和表达式以查看它们会带来什么差异是微优化过程中正常且预期的部分。

虽然编译器可能有理由考虑这两个表达式来提供不一致的结果（没有适当的开关），但您无需受该限制的约束。差异将非常小 - 以至于如果差异对您很重要，那么您首先不应该使用标准浮点运算。

`正如另一位评论者所指出的，这不真实到荒谬的地步；差异可能高达成本的一半到 10%，如果在紧密循环中运行，这将转化为浪费许多指令来获得可能微不足道的额外精度。说你在做蒙特卡罗时不应该使用标准 FP 有点像说你应该总是使用飞机穿越国家。它忽略了许多外部性。最后，这不是一个不常见的优化；死代码分析和代码缩减/重构非常普遍。`

## 答11: ##

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这个问题已经有一些很好的答案，但为了完整起见，我想指出 C 标准的适用部分是 5.1.2.2.3/15（与第 1.9/9 节相同） C++11 标准）。本节指出，只有当它们真正具有关联性或可交换性时，才能重新组合运算符。

原文链接：[https://www.huntsbot.com/qa/Ld7A/why-doesnt-gcc-optimize-aaaaaa-to-aaaaaa?lang=zh\_CN&from=csdn][https_www.huntsbot.com_qa_Ld7A_why-doesnt-gcc-optimize-aaaaaa-to-aaaaaa_lang_zh_CN_from_csdn]

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[https_www.huntsbot.com_qa_Ld7A_why-doesnt-gcc-optimize-aaaaaa-to-aaaaaa_lang_zh_CN_from_csdn]: https://www.huntsbot.com/qa/Ld7A/why-doesnt-gcc-optimize-aaaaaa-to-aaaaaa?lang=zh_CN&from=csdn