学习数学建模算法与应用【灰色关联系分析与预测模型】

本是古典何须时尚 2024-03-30 15:11 18阅读 0赞

主要内容  
一灰色预测的概念；  
二 灰色生成数列；  
三 灰色关联度分析；  
五 灰色预测实例  
四 灰色模型GM；

## 灰色预测的概念 ##

1982我国学者邓聚龙教授发表第一篇中文论文《灰色控制系统》标志着灰色系统这一学科诞生。灰色系统理论应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。  
灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面：  
（1）灰色关联分析。  
（2）灰色预测：人口预测；灾变预测….等等。  
（3）灰色决策。  
（4）灰色预测控制。  
灰色系统理论是人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。

## 一、灰色预测的概念 ##

#### 灰色系统、白色系统和黑色系统 ####

*  白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。
 *  黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。
 *  灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。

#### 灰色预测法 ####

*  灰色预测法是一种对含有**不确定因素**的系统进行预测的方法。
 *  灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预则，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行**预测**。
 *  灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并可对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列,然后建立相应的**微分方程模型**，从而预测事物未来发展趋势的状况。
 *  灰色预测法用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

#### 灰色预测的四种常见类型 ####

*  **灰色时间序列预测**,即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
 *  **畸变预测**,即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
 *  **系统预测**,通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
 *  **拓扑预测**,将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。

## 二、灰色关联度与优势分析 ##

我们经常要对系统进行因素分析，这些因素中哪些对系统来讲是主要的，哪些是次要的，哪些需要发展，哪些需要抑制，哪些是潜在的，哪些是明显的。因素间关联性如何、关联程度如何量化等问题是系统分析的关键。  
例如**人口问题**构成一个系统，影响人口发展变化的因素有**社会方面**的诸如计划生育、社会治安、社会生活方式等: 有**经济方面**的诸如国民收入、社会福利、社会保险等:还有**医疗方面**的诸如医疗条件、医疗水平等…也就是说，人口是多种因素互相关联、互相制约的系统，对这些因素进行分折将有助子人们对人口的未来预测及人口控制工作。  
因素分析的基本方法过去主要是采用**回归分析**等办法，但回归分析的办法有很多**欠缺**，如**要求大量数据、计算量大以及可能出现反常情况**等。为克服以上整病，本节采用**灰色关联度分析**的办法来做系统分析。  
灰色关联度一定是分析**向量**与向量之间以及**矩阵**与矩阵之间的关联度。既然计算关联度，一定是计算某一个待比较的数列与**参照物**(参考数列)之间的相关程度。

#### 灰色关联度 ####

![在这里插入图片描述][b4a5f91348c347a6a538793a8ddbdffa.png]  
![在这里插入图片描述][419461f92e534ba6931bbb5555366a39.png]  
![在这里插入图片描述][f711721e510a4b7daeb46ac9d3f0db49.png]

#### 案例分析 ####

![在这里插入图片描述][70eeda59816845c89c0f30a2d9ca729f.png]  
![在这里插入图片描述][3d40dd497eb14d30a77cdb984e59976e.png]  
![在这里插入图片描述][264995e4488e4e8b8cf31b18aa350636.png]  
上图有个错误，上式是根据式一得到的。  
ζ1（1）是由第一个样本的第一个数据得到，ζ1（2）是由第一个样本的第二个数据得到。  
![在这里插入图片描述][a6a30cbd3b2646fbb546944e05b9eeab.png]

## 三、灰色生成数列 ##

灰色系统理论认为，尽管客观表象复杂，但总是有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。灰色系统是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的，这是一种就数据寻求数据的现实规律的途径，即为灰色序列的生成。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。数据生成的常用方式有**累加生成**、**累减生成**和**加权累加生成**。

#### 累加生成 ####

![在这里插入图片描述][64a36747e0c74d3aaf291d582e6ede85.png]

#### 累减生成 ####

![在这里插入图片描述][9aa85aa8a8454ba182cb4e13b019dc70.png]

#### 加权邻值生成 ####

![在这里插入图片描述][3eb22bc9a8284bec9e26d942e5e2b5da.png]

#### 累加生成计算示例 ####

![在这里插入图片描述][3e3823a820ab4811a2a21e179b877158.png]  
![在这里插入图片描述][36cd68f32dee4392bd76881eaee69d84.png]  
一般经济数列都是非负数列。累加生成能使任意非负数列、摆动的与非摆动的，转化为非减的、递增的。从而发现规律。  
![在这里插入图片描述][42761d9fbc544742a2edcc953034fcd2.png]  
![在这里插入图片描述][de635389d44c4576922a9dd0fbf8d72e.png]

#### 累减生成计算示例 ####

![在这里插入图片描述][47eb90d89e2046fea53940bbc0babe80.png]

## 四、灰色模型ＧＭ(1,1） ##

灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰**导数与灰微分方程**，进而用**离散数据**列建立**微分方程形式**的动态模型，即灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述  
G表示grey (灰色)，M表示model (模型)  
![在这里插入图片描述][14ebc8b18b8c4ce399e60b21a894ccea.png]  
![在这里插入图片描述][51382f92680e4c4c8d1199617c2d79a7.png]  
![在这里插入图片描述][f82a110d436c4bb1884c355c72d05aad.png]  
左除B也可以表示求B的伪逆，不要求B可逆  
以下是上式的证明  
![在这里插入图片描述][f6e2b8e2361c48f582c25595ff54ae84.png]

### GM（1，1）灰色预测的步骤 ###

#### 1.数据的检验与处理 ####

![在这里插入图片描述][19f781b6137147b3bc99b1794dabd801.png]  
在进行数学建模时，级比检验检测数据是否可以用灰色预测处理。

#### 2.建立GM（1，1）模型 ####

![在这里插入图片描述][925107857e694d0a8f3ee31b96ef2e0d.png]

#### 3.检验预测值 ####

![在这里插入图片描述][39f641fcf99a46f8af77a0ab0fd684a9.png]

## 灰色预测计算实例 ##

![在这里插入图片描述][224b29d292a54ab4afa1f89e75267a88.png]  
![在这里插入图片描述][45570a5e05c2405f8fbc2ef6a12ea0d6.png]  
![在这里插入图片描述][9d9aa50f52fe4c8ebcf6e1683856fa88.png]  
![在这里插入图片描述][27d9fcd0ff0f49d0809ef7053398c822.png]

## 案例：SARS疫情对某些经济指标影响 ##

![在这里插入图片描述][49ca1d5b43314f51b09e5a346a633430.png]  
![在这里插入图片描述][9f03e232d2ee4c25b32633be2ae66d56.png]  
![在这里插入图片描述][3b4af0e1f789423791736802f15a387d.png]  
![在这里插入图片描述][1003e0f8e2034de1b459cf4aec6a88f5.png]

### 模型的分析与假设 ###

*  根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的平均值较好地反映了相关指标的变化规律，这样可以把预测评估分成两部分
 *  利用灰色理论建立灰微分方程模型，由1997~2002年的平均值预测2003年平均值
 *  通过历史数据计算每个月的指标值与全年总值的关系从而可预测出正常情况下2003年每个月的指标值，再与实际值比较可以估算出SARS疫情实际造成的影响
 *  给出下面两条假设:  
    (1)假设该市的统计数据都是可靠准确的;  
    (2)假设该市在SARS疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与SARS疫情的影响有关，不考虑其他随机因素的影响

### 建立灰色预测模型GM(1,1) ###

![在这里插入图片描述][49ab93c7945a4d6fb522e493cf3f1589.png]  
![在这里插入图片描述][50f885f67ab141d080b49959dd2cacb6.png]  
![在这里插入图片描述][bda0c562770f4dd985d906d01cca43d7.png]

### 模型的求解 ###

![在这里插入图片描述][0def8417a92b49c2b817d63d52d5de94.png]  
![在这里插入图片描述][1ba9600b42b341d58b48a26aaa13dc6e.png]  
![在这里插入图片描述][dbeb455bb29746b297e337899016f933.png]  
代码

han1=[83.0 79.8 78.1 85.1 86.6 88.2 90.3 86.7 93.3 92.5 90.9 96.9
    101.7 85.1 87.8 91.6 93.4 94.5 97.4 99.5 104.2 102.3 101.0 123.5
    92.2 114.0 93.3 101.0 103.5 105.2 109.5 109.2 109.6 111.2 121.7 131.3
    105.0 125.7 106.6 116.0 117.6 118.0 121.7 118.7 120.2 127.8 121.8 121.9
    139.3 129.5 122.5 124.5 135.7 130.8 138.7 133.7 136.8 138.9 129.6 133.7
    137.5 135.3 133.0 133.4 142.8 141.6 142.9 147.3 159.6 162.1 153.5 155.9
    163.2 159.7 158.4 145.2 124.0 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7 173.5 176.5];
    han1(end,:)=[];%相当于han1=han1(1:6,:)，即把最后一行空出来;
    m=size(han1,2);%把月份提取出来，12个月
    x0=mean(han1,2);%返回x矩阵每行的平均值，其中的2代表返回行
    x1=cumsum(x0);%一次累加
    alpha=0.4;
    n=length(x0);%长度，数据的维度，n=6
    z1=alpha*x1(2:n)+(1-alpha)*x1(1:n-1)%q求邻域生成数
    Y=x0(2:n);B=[-z1,ones(n-1,1)];
    ab=B\Y%求出a,b。此处B\,为求B的伪逆
    k=6;
    x7hat=(x0(1)-ab(2)/ab(1))*(exp(-ab(1)*k)-exp(-ab(1)*(k-1)))%预测结果
    z=m*x7hat%12乘均值得到一整年的预测结果
    u=sum(han1)/sum(sum(han1))
    %sum(han1)为对han1的列求和得到的是行向量，sum(行向量)直接对行向量求和。此式子结果表示预测的每个月所占一年的总量的比例
    v=z*u%结果是每个月的预测值

运行结果  
![在这里插入图片描述][1a32b22cf27849d2a14aaad2e31e9fad.png]  
![在这里插入图片描述][82aacd2328164e92936abca4db7c083c.png]  
![在这里插入图片描述][c18e9916d9da434dbc906f1e8007dcda.png]  
![在这里插入图片描述][6f8f167eba0549da954dd032499ed9ab.png]  
根据该市的统计报告显示，2003年4、5、6三个月的实际商品零售额分别为145.2，124、144。1亿元。在这之前根据统计部门的估计4、5、6三个月份SARS疫情对该市的商品零售业的影响最为严重，这三个月估计大约损失62亿元左右。从我们的模型预测结果来计算，4、5、6三个月的损失为60.3亿元，这个数据基本与专家的估算值相符，8月份基本恢复正常，这也说明了模型的正确性和可靠性  
对于旅游业来说是受影响最严重的行业之一，最严重的4、5、6、7四个月就损失100多万人，按最新统计数据，平均每人消费1002美元计算，大约损失10亿美元。全年大约损失160万人，约合16亿美元，到年底基本恢复正常  
对于综合服务业中的部分行业影响较大，如航空交通运输、宾馆餐饮等，但有些行业影响不大，如电信通讯等，总平均来看，影响还不算太大，5、6、7、8四个月大约损失70亿元从预测结果可以看出，虽然下半年没有发生疫情，但人们一直担心SARS会卷土重来，所以，对这些行业还是有一定的影响，即SARS影响的延续性的作用该模型虽是就某经济指标的发展规律进行评估预测而建立的，但类似的也适用于其他方面的一些数据规律的评估预测问题，即该模型具有很广泛的应用性。

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