C语言刷题之动态规划入门(一)

灰太狼 2024-03-31 17:31 76阅读 0赞

**目录**

1.动态规划算法

2.跳跃游戏(一)

1.题目

2.初步分析

3.代码实现

3.跳跃游戏(二)

1.题目

2.初步分析

3.代码实现

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### 1.动态规划算法 ###

动态规划（英语：Dynamic programming，简称 DP），是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

> 简单来说，动态规划就是把给定的问题拆分成一个个子问题，直到子问题可以直接解决，和递归不同的是，动态规划可以将子问题的答案储存起来，减少重复计算，大大减少了时间复杂度。

***下面我们通过两个简单的例题来步入动态规划的大门！***

### 2.跳跃游戏(一) ###

#### 1.题目 ####

> ### 描述 ###
> 
> 给定一个非负整数数组nums，假定最开始处于下标为0的位置，数组里面的每个元素代表下一跳能够跳跃的最大长度。如果能够跳到数组最后一个位置，则输出true，否则输出false。
> 
> #### 输入描述： ####
> 
> 第一行输入一个正整数 n ，表示数组 nums 的长度
> 
> 第二行输入 n 个整数表示数组的每个元素
> 
> #### 输出描述： ####
> 
> 输出 true 或者 false

--------------------

#### 2.初步分析 ####

首先，我们可以发现，本道题具有重叠子问题的特点。要求是否能跳到第n格，可以先将其拆分成能否跳到第n-1格，第n-2格...第1格多个子问题，通过求出一步步求出子问题的答案，如果子问题都成立，原问题是否成立就迎刃而解了。

> **我的思路是**：创建一个变量k存储能跳跃的最大距离，自下而上遍历整个数组，不断的更新k的值，当遍历num\[i\]的过程中，如果i始终小于等于k，即所有子问题都成立，如果出现i>k的情况，则子问题不成立，原问题也就输出false，主要代码如下：

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#### 3.代码实现 ####

#include<stdio.h>
    #include<stdlib.h>
    int main() {
    	int n = 0;
    	int i = 0;
    	scanf("%d", &n);
        //动态开辟num数组
    	int* num = (int*)malloc(n * sizeof(int));
    	for (int i = 0; i < n; i++)
    	{
    		scanf("%d", &num[i]);
    	}
    	int k = 0;                 //表示能走的最大距离
    	for (i = 0; i < n; i++)    //自下而上遍历
    	{
    		if (i > k)             //即走不到第i格，子问题不成立
    		{
    			printf("false");
    			break;
    		}
    		k = k > (i + num[i]) ? k:(i+num[i]);     //更新k的值
    	}
    	if (i == n)                //子问题都成立，且可以走到最后一个
    	{
    		printf("true");
    	}
        free(num);
    	return 0;
    }

### 3.跳跃游戏(二) ###

#### 1.题目 ####

> ### 描述 ###
> 
> 给定一个非负整数数组nums，假定最开始处于下标为0的位置，数组里面的每个元素代表下一跳能够跳跃的最大长度，如果可以跳到数组最后一个位置，请你求出跳跃路径中所能获得的最多的积分。
> 
> 1.如果能够跳到数组最后一个位置，才能计算所获得的积分，否则积分值为-1
> 
> 2.如果无法跳跃(即数组长度为0)，也请返回-1
> 
> 3.数据保证返回的结果不会超过整形范围，即不会超过2^\{31\}-1231−1
> 
> #### 输入描述： ####
> 
> 第一行输入一个正整数 n 表示数组 nums的长度
> 
> 第二行输入 n 个整数，表示数组 nums 的所有元素的值
> 
> #### 输出描述： ####
> 
> 输出能获得的最多的积分

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#### 2.初步分析 ####

这题在上一道题的基础上增加了求最高积分的条件，因此，不仅拥有重叠子问题的特点，还有最优子结构的特点。我们可以发现跳到第i格的最高积分一定是可以跳到第i格的最近格子跳上来的。因此我们可以在上一题的遍历中进行扩展，增加一个循环来求出到这个子问题的最多积分。

> **我的思路是**：在自下而上的遍历整个数组时，增加一个循环，自上而下遍历，如果遇到num\[j\]+j>=i,就代表这是可以跳到i的最近格子(其中i代表第i个格子，j代表0-i中的中的一个格子)。而利用动态规划的思想，我们可以创建一个一维数组dp，存储跳到每一格的最大积分，最终一步步求出跳到第n格的最大积分。主要代码如下：

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#### 3.代码实现 ####

#include <stdio.h>
    #include<stdlib.h>
    int max(int x, int y)       //返回可达到最大距离函数
    {
    	return x > y ? x : y;
    }
    int main()
    {
    	int n = 0;          //代表格数
        int i = 0;          //用于循环遍历
        int k = 0;          //表示最大跳跃距离
    	scanf("%d", &n);
    	int* num = (int*)malloc(n * sizeof(int));
    	int* dp = (int*)malloc(n * sizeof(int));        //存储每个子问题即跳到第i格的最大积分
    	for (i = 0; i < n; i++)
    	{
    		scanf("%d", &num[i]);
    	}
    	dp[0] = num[0];                         //赋初值，跳到第1格的最大积分即为自身
    	if (n == 0)                             //空数组
    	{
    		printf("-1\n");
    		return 0;
    	}
    	if (n == 1)                             //只有一个格子，最大积分即为自身
    	{
    		printf("%d\n", dp[0]);
    		return 0;
    	}
    	for (i = 0; i < n; i++)                 //自下而上遍历，寻找最大距离
    	{
    		if (i <= k)                         //子问题成立
    		{
    			int j = 0;
                k = max(k, i + num[i]);         //更新最大距离
    			for (j = i - 1; j >= 0; j--)    //自上而下，求出子问题的最大积分
    			{
    				if (j + num[j] >= i)        //找到可跳到i最近的格子j
    				{
    					dp[i] = dp[j] + num[i]; //第i格的最大积分即为j的最大积分加上num[i]
    					break;
    				}
    			}
    		}
    		else                                //子问题不成立，无法跳到第i格
    		{
    			printf("-1\n");
    			return 0;
    		}
    	}
    	printf("%d", dp[n - 1]);                //所有子问题均成立，则到终点最大积分就为dp的最后 
                                                //一个元素
    	free(num);
    	free(dp);
    	return 0;
    }

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***以上，就是动态规划入门刷题(一)的全部内容。***

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