【数据结构与算法】最小生成树与最短路径

左手的ㄟ右手 2024-04-26 02:29 8阅读 0赞

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> 💖 系列专栏：[数据结构与算法][Link 2]  
> 🌠 首发时间：2022年11月21日  
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#### 阅读指南 ####

*  最小生成树
 *   *  生成树
     *  最小生成树（最小代价树）
     *  Prim 算法（普利姆）
     *  Kruskal 算法（克鲁斯卡尔）
 *  最短路径
 *   *  BFS 求无权图的单源最短路径
     *  Dijkstra 算法
     *  Floyd 算法
     *  总结

## 最小生成树 ##

### 生成树 ###

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图（边尽可能少，但要保持连通）

若图中顶点数为  n n n，则它的生成树有  n − 1 n - 1 n−1 条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路

![在这里插入图片描述][c9080e5b968b47d1aeb933b1ea655efa.png]

### 最小生成树（最小代价树） ###

我们来看一个问题：有下图这么几个地方构成的图，图中每条边上的数字是修路的费用，然后要我们规划道路，让所有地方都连通，并且成本要尽可能低

![在这里插入图片描述][aae2210e99524f949d6783ef2cc0b9a4.png]

其实要我们找的，就是这个图的最小生成树

对于一个带权连通无向图  G = ( V , E ) G = (V, E) G=(V,E)，生成树不同，每棵树的权（即树中所有边上的权值之和）也可能不同。设  R R R 为  G G G 的所哟生成树的集合，若  T T T 为  R R R 中边的权值之和最小的生成树，则  T T T 称为  G G G 的最小生成树（ M i n i m u m − S p a n n i n g − T r e e , M S T Minimum-Spanning-Tree, MST Minimum−Spanning−Tree,MST）

注意：

1.  最小生成树可能有多个，但边的权值之和总是唯一且最小的
2.  最小生成树的边数等于顶点数  − 1 - 1 −1，删掉一条边则不连通，增加一条边则会出现回路
3.  如果一个连通图本身就是一棵树，则其最小生成树就是它本身
4.  只有连通图才有生成树，非连通图只有生成森林

### Prim 算法（普利姆） ###

从某一个顶点开始构建生成树，每次将代价最小的新顶点纳入生成树，直到所有顶点都纳入为止

![在这里插入图片描述][9e315a874eb04aa48510c0615564916a.png]

时间复杂度为  O ( ∣ V ∣ 2 ) O(|V|^2) O(∣V∣2)，适合用于边稠密图

### Kruskal 算法（克鲁斯卡尔） ###

每次选择一条权值最小的边，使这条边的两头连通（原本已经连通的就不选），直到所有结点都连通

时间复杂度为  O ( ∣ E ∣ l o g 2 ∣ E ∣ ) O(|E|log\_2|E|) O(∣E∣log2∣E∣)，适合用于边稀疏图

## 最短路径 ##

![在这里插入图片描述][3e89b1096a104392a33fbd84784ab8d0.png]

“G港” 是个物流集散中心，经常需要往各个城市运送东西，怎么运送距离最近？ —— 单源最短路径问题

各个城市之间也需要互相往来，相互之间怎么走距离最近？ —— 每对顶点间的最短路径

### BFS 求无权图的单源最短路径 ###

![在这里插入图片描述][49fba37bd8fe4b049d75a8514e81397f.png]

无权图可以视为一种特殊的带权图，只是每条边的权值都为  1 1 1

我们对广度优先遍历的代码稍微改改，就能得到最短路径的  B F S BFS BFS 算法

//求顶点 u 到其他顶点的最短路径
 void BFS_MIN_Distance(Graph G, int u) {
 
 	//d[i] 表示从 u 到 i 结点的最短路径
 	for (int i = 0; i < G.vexnum; ++i) {
 
 		d[i] = 0;			//初始化最短路径长度
 		path[i] = -1;		//最短路径是从哪个顶点过来的
 	}
 	
 	d[u] = 0;
 	visited[u] = true;
 	EnQueue(Q, u);
 	while (!isEmpty(Q)) {
 				//BFS算法主过程
 		DeQueue(Q, u);					//队头元素 u 出队
 		for (w = FirstNeighbor(G, u); w >= 0; w = NextNeighbor(G, u, w)) {
 
 			if (!visited[w]) {
 			//w 为 u 的尚未访问的邻接顶点
 				d[w] = d[u] + 1;		//路径长度加 1
 				path[w] = u;			//最短路径为从 u 到 w
 				visited[w] = true;		//设置已访问标记
 				EnQueue(Q, w);			//顶点 w 入队
 			}//if
 		}//for
 	}//while
 }

如果我们从  2 2 2 这个顶点对图进行广度优先遍历，那么得到的广度优先生成树一定是以  2 2 2 为根的、高度最小的生成树

B F S BFS BFS 算法的局限性 —— 求单源最短路径只适用于无权图，或者所有边的权值都相同的图

### Dijkstra 算法 ###

带权路径长度 —— 当图是带权图时，一条路径上所有边的权值之和，称为该路径的带权路径长度

![在这里插入图片描述][1ec75c561b55485180bcf706ba748159.png]

我们需要  3 3 3 个数组：

*   f i n a l final final 数组：标记各顶点是否已经找到最短路径
 *   d i s t dist dist 数组：顶点的最短路径长度
 *   p a t h path path 数组：路径上的前驱顶点

初始：若从  V 0 V\_0 V0 开始，令  f i n a l \[ 0 \] = t r u e ; d i s t \[ 0 \] = 0 ; p a t h \[ 0 \] = − 1 final\[0\] = true; dist\[0\] = 0; path\[0\] = -1 final\[0\]=true;dist\[0\]=0;path\[0\]=−1，其余顶点  f i n a l \[ k \] = f a l s e ; d i s t \[ k \] = a r c s \[ 0 \] \[ k \] ; p a t h \[ k \] = ( a r c s \[ 0 \] \[ k \] = = ∞ ) ? − 1 : 0 final\[k\] = false; dist\[k\] = arcs\[0\]\[k\]; path\[k\] = (arcs\[0\]\[k\] == \\infty) \\ ? -1 : 0 final\[k\]=false;dist\[k\]=arcs\[0\]\[k\];path\[k\]=(arcs\[0\]\[k\]==∞)?−1:0

后面的 n − 1 n - 1 n−1 轮处理：循环遍历所有顶点，找到还没有确定最短路径，且 d i s t dist dist 最小的顶点 V i V\_i Vi， 令 f i n a l \[ i \] = t r u e final\[i\] = true final\[i\]=true。并检查所有邻接自 V i V\_i Vi 的顶点 V j V\_j Vj，若 f i n a l \[ j \] = f a l s e final\[j\] = false final\[j\]=false 且 d i s t \[ i \] + a r c s \[ i \] \[ j \] < d i s t \[ j \] dist\[i\] + arcs\[i\]\[j\] < dist\[j\] dist\[i\]\+arcs\[i\]\[j\]<dist\[j\]，则令 d i s t \[ j \] = d i s t \[ i \] + a r c s \[ i \] \[ j \] ; p a t h \[ j \] = i dist\[j\] = dist\[i\] + arcs\[i\]\[j\]; \\ path\[j\] = i dist\[j\]=dist\[i\]\+arcs\[i\]\[j\];path\[j\]=i（ a r c s \[ i \] \[ j \] arcs\[i\]\[j\] arcs\[i\]\[j\] 表示 V i V\_i Vi 到 V j V\_j Vj 的弧的权值）

时间复杂度为  O ( N 2 − N ) O(N^2 - N) O(N2−N)，简化后为  O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)（其中  N N N 为顶点个数），在这个过程中，每一轮处理我们都需要循环遍历所有顶点，找到还没有确定最短路径，且  d i s t dist dist 最小的顶点  V i V\_i Vi，这一步需要  O ( N ) O(N) O(N) 的时间，因为有  N N N 个点，然后有  n − 1 n - 1 n−1 处理，相乘即为此算法的时间复杂度

注意：Dijkstra 算法不适用于有负权值的带权图

### Floyd 算法 ###

F l o y d Floyd Floyd 算法：求出每一对顶点之间的最短路径

使用动态规划思想，将问题的求解分为多个阶段

对于  n n n 个顶点的图  G G G，求任意一对顶点  V i V\_i Vi \->  V j V\_j Vj 之间的最短路径可分为如下几个阶段：

*  初始：不允许在其他顶点中转，最短路径是？
 *  0：若允许在  V 0 V\_0 V0 中转，最短路径是？
 *  1：若允许在  V 0 、 V 1 V\_0、V\_1 V0、V1 中转，最短路径是？
 *  2：若允许在  V 0 、 V 1 、 V 2 V\_0、V\_1、V\_2 V0、V1、V2 中转，最短路径是？
 *  …
 *  n - 1：若允许在  V 0 、 V 1 、 V 2 、 . . . 、 V n − 1 V\_0、V\_1、V\_2、... 、V\_\{n- 1\} V0、V1、V2、...、Vn−1 中转，最短路径是？

假设有如下这个图，要我们求出每一对顶点之间的最短路径

![在这里插入图片描述][aafd68a5f87444ca834e561bffe3d7d3.png]

我们一步步来分析这个问题

初始状态，不允许在其他顶点中转，其最短路径（也就是图的邻接矩阵）为

![在这里插入图片描述][3cdb393d82e74013b0ae75879e8baa66.png]

每两个顶点之间的中转点为（ − 1 -1 −1 表示无中转点）

![在这里插入图片描述][cd264012a2064e349f3531dbb4a8364e.png]

接着，下一步，若允许在  V 0 V\_0 V0 中转，最短路径是什么呢？

对此，我们需要进行下列比较：

*  若  A ( k − 1 ) \[ i \] \[ j \] > A ( k − 1 ) \[ i \] \[ k \] + A ( k − 1 ) \[ k \] \[ j \] A^\{(k-1)\}\[i\]\[j\] > A^\{(k-1)\}\[i\]\[k\] + A^\{(k-1)\}\[k\]\[j\] A(k−1)\[i\]\[j\]>A(k−1)\[i\]\[k\]\+A(k−1)\[k\]\[j\]，则  A ( k ) \[ i \] \[ j \] = A ( k − 1 ) \[ i \] \[ k \] + A ( k − 1 ) \[ k \] \[ j \] ; A^\{(k)\}\[i\]\[j\] = A^\{(k-1)\}\[i\]\[k\] + A^\{(k-1)\}\[k\]\[j\]; A(k)\[i\]\[j\]=A(k−1)\[i\]\[k\]\+A(k−1)\[k\]\[j\];  p a t h ( k ) \[ i \] \[ j \] = k \\ path^\{(k)\}\[i\]\[j\] = k path(k)\[i\]\[j\]=k，否则， A ( k ) A^\{(k)\} A(k) 和  A ( k − 1 ) A^\{(k - 1)\} A(k−1) 保持原值

在前面的  A ( − 1 ) A^\{(-1)\} A(−1) 图中，只有求  V 2 V\_2 V2 到  V 1 V\_1 V1 的最短路径时符合比较的要求：

*   A ( − 1 ) \[ 2 \] \[ 1 \] > A ( − 1 ) \[ 2 \] \[ 0 \] + A ( − 1 ) \[ 0 \] \[ 1 \] = 11 A^\{(-1)\}\[2\]\[1\] > A^\{(-1)\}\[2\]\[0\] + A^\{(-1)\}\[0\]\[1\] = 11 A(−1)\[2\]\[1\]>A(−1)\[2\]\[0\]\+A(−1)\[0\]\[1\]=11
 *  所以  A ( 0 ) \[ 2 \] \[ 1 \] = 11 , p a t h ( 0 ) \[ 2 \] \[ 1 \] = 0 A^\{(0)\}\[2\]\[1\] = 11, \\ path^\{(0)\}\[2\]\[1\] = 0 A(0)\[2\]\[1\]=11,path(0)\[2\]\[1\]=0

对应的最短路径和中转点图为：

![在这里插入图片描述][94ccf87ba675448480b1a7b7919f4a4c.png]

第  3 3 3 步，若允许在  V 0 、 V 1 V\_0、V\_1 V0、V1 中转，最短路径是？

在这一步，只有求  V 0 V\_0 V0 到  V 2 V\_2 V2 的最短路径时符合比较的要求：

*   A ( 0 ) \[ 0 \] \[ 2 \] > A ( 0 ) \[ 0 \] \[ 1 \] + A ( 0 ) \[ 1 \] \[ 2 \] = 10 A^\{(0)\}\[0\]\[2\] > A^\{(0)\}\[0\]\[1\] + A^\{(0)\}\[1\]\[2\] = 10 A(0)\[0\]\[2\]>A(0)\[0\]\[1\]\+A(0)\[1\]\[2\]=10
 *  所以  A ( 1 ) \[ 0 \] \[ 2 \] = 10 , p a t h ( 1 ) \[ 0 \] \[ 2 \] = 1 A^\{(1)\}\[0\]\[2\] = 10, \\ path^\{(1)\}\[0\]\[2\] = 1 A(1)\[0\]\[2\]=10,path(1)\[0\]\[2\]=1

对应的最短路径和中转点图为：

![在这里插入图片描述][8ec818188ec24102b3db004b1c706c3a.png]

第  4 4 4 步，若允许在  V 0 、 V 1 、 V 2 V\_0、V\_1、V\_2 V0、V1、V2 中转，最短路径是？

在这一步，只有求  V 1 V\_1 V1 到  V 0 V\_0 V0 的最短路径时符合比较的要求：

*   A ( 1 ) \[ 1 \] \[ 0 \] > A ( 1 ) \[ 1 \] \[ 2 \] + A ( 1 ) \[ 2 \] \[ 0 \] = 9 A^\{(1)\}\[1\]\[0\] > A^\{(1)\}\[1\]\[2\] + A^\{(1)\}\[2\]\[0\] = 9 A(1)\[1\]\[0\]>A(1)\[1\]\[2\]\+A(1)\[2\]\[0\]=9
 *  所以  A ( 2 ) \[ 1 \] \[ 0 \] = 9 , p a t h ( 2 ) \[ 1 \] \[ 0 \] = 2 A^\{(2)\}\[1\]\[0\] = 9, \\ path^\{(2)\}\[1\]\[0\] = 2 A(2)\[1\]\[0\]=9,path(2)\[1\]\[0\]=2

对应的最短路径和中转点图为：

![在这里插入图片描述][f2b92c6451804d8392da4fb3f5ffd900.png]

从  A ( − 1 ) A^\{(-1)\} A(−1) 和  p a t h ( − 1 ) path^\{(-1)\} path(−1) 开始，经过  n n n 轮递推（ n n n 为顶点个数），得到了  A ( n − 1 ) A^\{(n-1)\} A(n−1) 和  p a t h ( n − 1 ) path^\{(n-1)\} path(n−1)

核心代码如下

//前期准备工作，根据图的信息初始化矩阵 A 和 path
 
 //每一步比较
 for (int k = 0; k < n; ++k) {
 						//考虑以 Vk 为中转点
 	for (int i = 0; i < n; ++i) {
 					//遍历整个矩阵，i 为行号，j 为列号
 		for (int j = 0; j < n; ++j) {
 
 			if (A[i][j] > A[i][k] + A[k][j]) {
 
 				A[i][j] = A[i][k] + A[k][j];		//更新最短路径长度
 				path[i][j] = k;						//更新中转点
 			}
 		}
 	}
 }

时间复杂度为  O ( ∣ V ∣ 3 ) O(|V|^3) O(∣V∣3)，空间复杂度为  O ( ∣ V ∣ 2 ) O(|V|^2) O(∣V∣2)

注意：

*   F l o y d Floyd Floyd 算法可以用于负权值带权图
 *   F l o y d Floyd Floyd 算法不能解决带有 “负权回路” 的图（有负权值的边组成回路），这种图有可能没有最短路径，如下图

![在这里插入图片描述][3ae728fddeb348d4b539c7678454a2ae.png]

### 总结 ###

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>对比方面</th> 
 <th>BFS 算法</th> 
 <th>Dijkstra 算法</th> 
 <th>Floyd 算法</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>无权图</td> 
 <td>✔</td> 
 <td>✔</td> 
 <td>✔</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>带权图</td> 
 <td>✖</td> 
 <td>✔</td> 
 <td>✔</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>带负权值的图</td> 
 <td>✖</td> 
 <td>✖</td> 
 <td>✔</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>带负权回路的图</td> 
 <td>✖</td> 
 <td>✖</td> 
 <td>✖</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>时间复杂度</td> 
 <td> O ( ∣ V ∣ 2 ) O(|V|^2) O(∣V∣2) 或 O ( ∣ V ∣ + ∣ E ∣ ) O(|V| + |E|) O(∣V∣+∣E∣)</td> 
 <td> O ( ∣ V ∣ 2 ) O(|V|^2) O(∣V∣2)</td> 
 <td> O ( ∣ V ∣ 3 ) O(|V|^3) O(∣V∣3)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>通常用于</td> 
 <td>求无权图的单源在最短路径</td> 
 <td>求带权图的单源最短路径</td> 
 <td>求带权图中各顶点间的最短路径</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

也可以用  D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra 算法求所有顶点间的最短路径，重复  ∣ V ∣ |V| ∣V∣ 次即可，总的时间复杂度也为  O ( ∣ V ∣ 3 ) O(|V|^3) O(∣V∣3)

[Link 1]: https://blog.csdn.net/weixin_62511863?spm=1011.2421.3001.5343
[Link 2]: https://blog.csdn.net/weixin_62511863/category_11984530.html?spm=1001.2014.3001.5482
[c9080e5b968b47d1aeb933b1ea655efa.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/26/a180de2979af48948e58138886c033fc.png
[aae2210e99524f949d6783ef2cc0b9a4.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/26/f9a1017c832048ec929139be1e626bc5.png
[9e315a874eb04aa48510c0615564916a.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/26/2dc040ebe3324e1fb5c9ec3062832d9f.png
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