【算法优选】二分查找专题——壹

ゝ一世哀愁。 2024-04-17 10:40 23阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  😎前言
 *  🎋\[二分查找\](https://leetcode.cn/problems/binary-search/)
 *   *  🚩题目描述：
     *  🚩算法流程：
     *  🚩代码实现：
 *  🌴\[在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置\](https://leetcode.cn/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/)
 *   *  🚩题目描述
     *  🚩算法思路：
     *   *  📌寻找左边界思路：
         *  📌寻找右边界思路：
     *  🚩代码实现
 *  🌳\[搜索插入位置\](https://leetcode.cn/problems/search-insert-position/description/)
 *   *  🚩题目描述
     *  🚩算法思路：
     *  🚩代码实现：
 *  🎄\[x的平方根\](https://leetcode.cn/problems/sqrtx/)
 *   *  🚩题目描述
     *  🚩算法思路：
     *  🚩代码实现：
 *  ⭕总结

## 😎前言 ##

二分查找也称折半查找（Binary Search），它是一种效率较高的查找方法。但是，折半查找要求线性表必须采用顺序存储结构，而且表中元素按关键字有序排列。

***查找过程***：

> 首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

***算法要求***：

> 1.必须采用顺序存储结构。  
> 2.必须按关键字大小有序排列。

***比较次数***：

> 计算公式：  
> 当顺序表有n个关键字时：  
> 查找失败时，至少比较a次关键字；  
> 查找成功时，最多比较关键字次数是b。  
> 注意：a,b,n均为正整数。

***算法复杂度***：

> 二分查找的基本思想是将n个元素分成大致相等的两部分，取a\[n/2\]与x做比较，如果x=a\[n/2\],则找到x,算法中止；如果x<a\[n/2\],则只要在数组a的左半部分继续搜索x,如果x>a\[n/2\],则只要在数组a的右半部搜索x.  
> 时间复杂度即是while循环的次数。  
> 总共有n个元素，  
> 渐渐跟下去就是n,n/2,n/4,…n/2^k（接下来操作元素的剩余个数），其中k就是循环的次数  
> 由于你n/2^k取整后>=1  
> 即令n/2^k=1  
> 可得k=log2n,（是以2为底，n的对数）  
> 所以时间复杂度可以表示O(h)=O(log2n)

## 🎋[二分查找][Link 1] ##

### 🚩题目描述： ###

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

*  示例 1:  
    输入: nums = \[-1,0,3,5,9,12\], target = 9  
    输出: 4  
    解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4
 *  示例 2:  
    输入: nums = \[-1,0,3,5,9,12\], target = 2  
    输出: -1  
    解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

class Solution {
        
        public int search(int[] nums, int target) {
        
    
        }
    }

### 🚩算法流程： ###

1.  定义 left ， right 指针，分别指向数组的左右区间。
2.  找到待查找区间的中间点 mid ，找到之后分三种情况讨论：

*  arr\[mid\] == target 说明正好找到，返回 mid 的值；
 *  arr\[mid\] > target 说明 \[mid, right\] 这段区间都是⼤于 target 的，因此舍去右边区间，在左边 \[left, mid -1\] 的区间继续查找，即让 right = mid -1 ，然后重复 2 过程；
 *  arr\[mid\] < target 说明 \[left, mid\] 这段区间的值都是⼩于 target 的，因此舍去左边区间，在右边 \[mid + 1, right\] 区间继续查找，即让 left = mid +1 ，然后重复 2 过程；

1.  当 left 与 right 错开时，说明整个区间都没有这个数，返回 -1 。

### 🚩代码实现： ###

class Solution {
        
        public int search(int[] nums, int target) {
        
            // 初始化 left 与 right 指针
            int left = 0;
            int right = nums.length - 1;
            // 由于两个指针相交时，当前元素还未判断，因此需要取等号
            while (left <= right) {
        
                // 先找到区间的中间元素
                int mid = left + (right - left) / 2;
                // 分三种情况讨论
                if (nums[mid] == target) {
        
                    return mid;
                } else if (nums[mid] > target) {
        
                    right = mid - 1;
                } else {
        
                    left = mid + 1;
                }
            }
            // 如果程序⾛到这⾥，说明没有找到⽬标值，返回 -1
            return -1;
        }
    }

## 🌴[在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置][Link 2] ##

### 🚩题目描述 ###

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 \[-1, -1\]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

*  示例 1：  
    输入：nums = \[5,7,7,8,8,10\], target = 8  
    输出：\[3,4\]
 *  示例 2：  
    输入：nums = \[5,7,7,8,8,10\], target = 6  
    输出：\[-1,-1\]
 *  示例 3：  
    输入：nums = \[\], target = 0  
    输出：\[-1,-1\]

class Solution {
        
        public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        
    
        }
    }

### 🚩算法思路： ###

⽤的还是⼆分思想，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间⼀分为⼆，然后舍去其中⼀个区间，然后再另⼀个区间内查找；

⽅便叙述，⽤ x 表⽰该元素， resLeft 表⽰左边界， resRight 表⽰右边界。

#### 📌寻找左边界思路： ####

寻找左边界：

*  我们注意到以左边界划分的两个区间的特点：

左边区间 \[left, resLeft - 1\] 都是⼩于 x 的；

右边区间（包括左边界） \[resLeft, right\] 都是⼤于等于 x 的；

因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下⾯两种情况：

*  当我们的 mid 落在 \[left, resLeft - 1\] 区间的时候，也就是 arr\[mid\] <target 。说明 \[left, mid\] 都是可以舍去的，此时更新 left 到 mid + 1 的位置，继续在 \[mid + 1, right\] 上寻找左边界；
 *  当 mid 落在 \[resLeft， right\] 的区间的时候，也就是 arr\[mid\] >= target 。说明 \[mid + 1, right\] （因为 mid 可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时更新 right 到 mid 的位置，继续在 \[left, mid\] 上寻找左边界

由此，就可以通过⼆分，来快速寻找左边界；

***注意：这⾥找中间元素需要向下取整***。

因为后续移动左右指针的时候：

*  左指针： left = mid + 1 ，是会向后移动的，因此区间是会缩⼩的；
 *  右指针： right = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向上取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1 ，right == 2 ， mid == 2 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷⼊死循环）。因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整

#### 📌寻找右边界思路： ####

寻右左边界：

*  ⽤ resRight 表⽰右边界；
 *  我们注意到右边界的特点：  
    ▪ 左边区间（包括右边界） \[left, resRight\] 都是⼩于等于 x 的；  
    ▪ 右边区间 \[resRight+ 1, right\] 都是⼤于 x 的；

因此，关于 mid 的落点，我们可以分为下⾯两种情况：

*  当我们的 mid 落在 \[left, resRight\] 区间的时候，说明 \[left, mid - 1\]（ mid 不可以舍去，因为有可能是最终结果）都是可以舍去的，此时更新left 到 mid 的位置；
 *  当 mid 落在 \[resRight+ 1, right\] 的区间的时候，说明 \[mid, right\] 内的元素  
    是可以舍去的，此时更新 right 到 mid - 1 的位置；

由此，就可以通过⼆分，来快速寻找右边界；

**注意：这⾥找中间元素需要向上取整。**

因为后续移动左右指针的时候：

*  左指针： left = mid ，可能会原地踏步（⽐如：如果向下取整的话，如果剩下 1,2 两个元素， left == 1， right == 2，mid == 1 。更新区间之后， left，right，mid 的值没有改变，就会陷⼊死循环）。
 *  右指针： right = mid - 1 ，是会向前移动的，因此区间是会缩⼩的；

因此⼀定要注意，当 right = mid 的时候，要向下取整

### 🚩代码实现 ###

class Solution {
        
        public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        
            int[] ret = new int[2];
            ret[0] = ret[1] = -1;
            // 处理边界情况
            if(nums.length == 0) {
        
                return ret;
            }
            // 1. ⼆分左端点
            int left = 0;
            int right = nums.length - 1;
            while(left < right) {
        
                int mid = left + (right - left) / 2;
                if(nums[mid] < target) {
        
                    left = mid + 1;
                } else {
        
                    right = mid;
                }
            }
            // 判断是否有结果
            if(nums[left] != target) {
        
                return ret;
            } else {
        
                ret[0] = right;
            }
            // 2. ⼆分右端点
            left = 0; 
            right = nums.length - 1;
            while(left < right) {
        
                int mid = left + (right - left + 1) / 2;
                if(nums[mid] <= target) {
        
                    left = mid;
                }else {
        
                    right = mid - 1;
                }
            }
            ret[1] = left;
            return ret;
        }
    }

## 🌳[搜索插入位置][Link 3] ##

### 🚩题目描述 ###

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O(log n) 的算法。

*  示例 1:  
    输入: nums = \[1,3,5,6\], target = 5  
    输出: 2
 *  示例 2:  
    输入: nums = \[1,3,5,6\], target = 2  
    输出: 1
 *  示例 3:  
    输入: nums = \[1,3,5,6\], target = 7  
    输出: 4

class Solution {
        
        public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        
    
        }
    }

### 🚩算法思路： ###

1、分析插⼊位置左右两侧区间上元素的特点：

设插⼊位置的坐标为 index ，根据插⼊位置的特点可以知道：

*  \[left, index - 1\] 内的所有元素均是⼩于 target 的；
 *  \[index, right\] 内的所有元素均是⼤于等于 target 的。

2、设 left 为本轮查询的左边界， right 为本轮查询的右边界。根据 mid 位置元素的信  
息，分析下⼀轮查询的区间：

*  当 nums\[mid\] >= target 时，说明 mid 落在了 \[index, right\] 区间上，mid 左边包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 \[left,mid\] 上。因此，更新 right 到 mid 位置，继续查找。
 *  当 nums\[mid\] < target 时，说明 mid 落在了 \[left, index - 1\] 区间上，mid 右边但不包括 mid 本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在 \[mid + 1, right\] 上。因此，更新 left 到 mid + 1 的位置，继续查找。

3、 直到我们的查找区间的⻓度变为 1 ，也就是left == right 的时候， left 或者  
right 所在的位置就是我们要找的结果

### 🚩代码实现： ###

public int searchInsert(int[] nums, int target) {
        
            int left = 0;
            int right = nums.length - 1;
            while (left < right) {
        
                int mid = left + (right - left) / 2;
                if (nums[mid] < target) {
        
                    left = mid + 1;
                } 
                else {
        
                    right = mid;
                }
            }
            // 特判⼀下第三种情况
            if (nums[right] < target) {
        
                return right + 1;
            }
            return right;
        }

## 🎄[x的平方根][x] ##

### 🚩题目描述 ###

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x \*\* 0.5 。

*  示例 1：  
    输入：x = 4  
    输出：2
 *  示例 2：  
    输入：x = 8  
    输出：2  
    解释：8 的算术平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

class Solution {
        
        public int mySqrt(int x) {
        
            
        }
    }

### 🚩算法思路： ###

设 x 的平⽅根的最终结果为 index ：

分析 index 左右两次数据的特点：

*  \[0, index\] 之间的元素，平⽅之后都是⼩于等于 x 的；
 *  \[index + 1, x\] 之间的元素，平⽅之后都是⼤于 x 的。

因此可以使⽤⼆分查找算法。

### 🚩代码实现： ###

class Solution {
        
        public int mySqrt(int x) {
        
            long left = 1;
            long right = x;
            if(x < 1) {
        
                return 0;
            }
            while(left < right) {
        
                long mid = left + (right - left + 1)/2;
                if(mid*mid <= x) {
        
                    left = mid;
                } else {
        
                    right = mid - 1;
                }
            }
            return (int)left;
        }
    }

## ⭕总结 ##

关于《【算法优选】 二分查找专题——壹》就讲解到这儿，感谢大家的支持，欢迎各位留言交流以及批评指正，如果文章对您有帮助或者觉得作者写的还不错可以点一下关注，点赞，收藏支持一下！

[Link 1]: https://leetcode.cn/problems/binary-search/
[Link 2]: https://leetcode.cn/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/
[Link 3]: https://leetcode.cn/problems/search-insert-position/description/
[x]: https://leetcode.cn/problems/sqrtx/