离散数学试题及答案 ╰+哭是因爲堅強的太久メ 2024-03-24 14:42 24阅读 0赞 **离散数学试题及答案** **一、填空题** **1** 设集合A,B,其中A=\{1,2,3\}, B= \{1,2\}, 则A - B=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_; r(A) - r(B)= \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则 |r(A×A)| = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. **3.** 设集合A = \{ *a*, *b*\}, B = \{1, 2\}, 则从A到B的所有映射是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_, 其中双射的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 4. 已知命题公式G=Ø(P®Q)∧R,则G的主析取范式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 5.设*G*是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则*G*的总度数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_,分枝点数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. **6** 设A、B为两个集合, A= \{1,2,4\}, B = \{3,4\}, 则从AÇB=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_; AÈB=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_;A-B= \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ . **7**. 设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_, \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_, \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. **8**. 设命题公式G=Ø(P®(QÙR)),则使公式G为真的解释有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_,\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_, \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 9. 设集合A=\{1,2,3,4\}, A上的关系R1 = \{(1,4),(2,3),(3,2)\}, R1 = \{(2,1),(3,2),(4,3)\}, 则 R1·R2 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_,R2·R1 =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_, R12 =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 10. 设有限集A, B,|A| = m, |B| = n, 则| |r(A´B)| = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. **11** 设A,B,R是三个集合,其中R是实数集,A = \{x | -1≤x≤1, xÎR\}, B = \{x | 0≤x < 2, xÎR\},则A-B = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ , B-A = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ , A∩B = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ , . **13.** 设集合A=\{2, 3, 4, 5, 6\},R是A上的整除,则R以集合形式(列举法)记为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_*.* 14. 设一阶逻辑公式G = "xP(x)®$xQ(x),则G的前束范式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_. 15.设G是具有8个顶点的树,则G中增加\_\_\_\_\_\_\_\_\_条边才能把G变成完全图。 16. 设谓词的定义域为\{ *a*, *b*\},将表达式"xR(x)→$xS(x)中量词消除,写成与之对应的命题公式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 17. 设集合A=\{1, 2, 3, 4\},A上的二元关系R=\{(1,1),(1,2),(2,3)\}, S=\{(1,3),(2,3),(3,2)\}。则R×S=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_, R2=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. **二、选择题** **1** 设集合A=\{2,\{a\},3,4\},B = \{ \{a\},3,4,1\},E为全集,则下列命题正确的是( )。 (A)\{2\}ÎA (B)\{a\}ÍA (C)ÆÍ\{ \{a\}\}ÍBÍE (D)\{ \{a\},1,3,4\}ÌB. 2设集合A=\{1,2,3\},A上的关系R=\{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)\},则R不具备( ). (A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)反对称性 3 设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示,若A的子集B = \{2,3,4,5\},则元素6为B的( )。 (A)下界 (B)上界 (C)最小上界 (D)以上答案都不对 **4** 下列语句中,( )是命题。 (A)请把门关上 (B)地球外的星球上也有人 (C)x + 5 > 6 (D)下午有会吗? **5** 设I是如下一个解释:D=\{a,b\}, 则在解释I下取真值为1的公式是( ). (A)$x"yP(x,y) (B)"x"yP(x,y) (C)"xP(x,x) (D)"x$yP(x,y). 6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度,能画出图的是( ). (A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6). 7. 设G、H是一阶逻辑公式,P是一个谓词,G=$xP(x), H="xP(x),则一阶逻辑公式G®H是( ). (A)恒真的 (B)恒假的 (C)可满足的 (D)前束范式. **8** 设命题公式G=Ø(P®Q),H=P®(Q®ØP),则G与H的关系是( )。 (A)GÞH (B)HÞG (C)G=H (D)以上都不是. 9设A, B为集合,当( )时A-B=B. (A)A=B (B)AÍB (C)BÍA (D)A=B=Æ. 10 设集合A = \{1,2,3,4\}, A上的关系R=\{(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)\}, 则R具有( )。 (A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)以上答案都不对 **11** 下列关于集合的表示中正确的为( )。 (A)\{a\}Î\{a,b,c\} (B)\{a\}Í\{a,b,c\} (C)ÆÎ\{a,b,c\} (D)\{a,b\}Î\{a,b,c\} **12** 命题"xG(x)取真值1的充分必要条件是( ). (A) 对任意x,G(x)都取真值1. (B)有一个x0,使G(x0)取真值1. (C)有某些x,使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不对. 13. 设G是连通平面图,有5个顶点,6个面,则G的边数是( ). (A) 9条 (B) 5条 (C) 6条 (D) 11条. 14. 设G是5个顶点的完全图,则从G中删去( )条边可以得到树. (A)6 (B)5 (C)10 (D)4. 15. 设图G的相邻矩阵为 ,则G的顶点数与边数分别为( ). (A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8. **三、计算证明题** **1.**设集合A=\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12\},R为整除关系。 (1) 画出半序集(A,R)的哈斯图; (2) 写出A的子集B = \{3,6,9,12\}的上界,下界,最小上界,最大下界; (3) 写出A的最大元,最小元,极大元,极小元。 1. 设集合A=\{1, 2, 3, 4\},A上的关系R=\{(x,y) | x, yÎA 且 x ³ y\}, 求 (1) 画出R的关系图; (2) 写出R的关系矩阵. 2. 设R是实数集合,s,t,j是R上的三个映射,s(x) = x+3, t(x) = 2x, j(x) = x/4,试求复合映射s•t,s•s, s•j, j•t,s•j•t. 4. 设I是如下一个解释:D = \{2, 3\}, *a* *b* *f* (2) *f* (3) *P*(2, 2) *P*(2, 3) *P*(3, 2) *P*(3, 3) 3 2 3 2 0 0 1 1 试求 (1) *P*(*a*, *f* (*a*))∧*P*(*b*, *f* (*b*)); (2) "*x*$*y P* (*y*, *x*). **5.** 设集合A=\{1, 2, 4, 6, 8, 12\},R为A上整除关系。 (1) 画出半序集(A,R)的哈斯图; (2) 写出A的最大元,最小元,极大元,极小元; (3) 写出A的子集B = \{4, 6, 8, 12\}的上界,下界,最小上界,最大下界. 6. 设命题公式G = Ø(P→Q)∨(Q∧(ØP→R)), 求G的主析取范式。 7. (9分)设一阶逻辑公式:*G* = ("*xP*(*x*)∨$*yQ*(*y*))→"*xR*(*x*),把*G*化成前束范式. 9. 设R是集合A = \{a, b, c, d\}. R是A上的二元关系, R = \{(a,b), (b,a), (b,c), (c,d)\}, (1) 求出r(R), s(R), t(R); (2) 画出r(R), s(R), t(R)的关系图. **11.** 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价: (1) G = (P∧Q)∨(ØP∧Q∧R) (2) H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(ØP∧R)) 13. 设*R*和*S*是集合*A*=\{ *a*, *b*, *c*, *d*\}上的关系,其中*R*=\{(*a*, *a*),(*a*, *c*),(*b*, *c*),(*c*, *d*)\}, *S*=\{(*a*, *b*),(*b*, *c*),(*b*, *d*),(*d*, *d*)\}. (1) 试写出*R*和*S*的关系矩阵; (2) 计算*R*•*S*, *R*∪*S*, *R*-1, *S*-1•*R*-1. **四、证明题** 1. 利用形式演绎法证明:\{ *P*→*Q*, *R*→*S*, *P*∨*R*\}蕴涵*Q*∨*S*。 2. 设A,B为任意集合,证明:(A-B)-C = A-(B∪C). 3. (本题10分)利用形式演绎法证明:\{ØA∨B, ØC→ØB, C→D\}蕴涵A→D。 4. (本题10分)A, B为两个任意集合,求证: A-(A∩B) = (A∪B)-B . **参考答案** 一、填空题 1. \{3\}; \{ \{3\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}. 2. . 3. a1= \{(*a*,1), (*b*,1)\}, a2= \{(*a*,2), (*b*,2)\},a3= \{(*a*,1), (*b*,2)\}, a4= \{(*a*,2), (*b*,1)\}; a3, a4. 4. (P∧ØQ∧R). 5. 12, 3. 6. \{4\}, \{1, 2, 3, 4\}, \{1, 2\}. 7. 自反性;对称性;传递性. 8. (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0). 9. \{(1,3),(2,2),(3,1)\}; \{(2,4),(3,3),(4,2)\}; \{(2,2),(3,3)\}. 10. 2m´n. 11. \{x | -1≤x < 0, xÎR\}; \{x | 1 < x < 2, xÎR\}; \{x | 0≤x≤1, xÎR\}. 12. 12; 6. 13. \{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)\}. 14. $x(ØP(x)∨Q(x)). 15. 21. 16. (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)). 17. \{(1, 3),(2, 2)\}; \{(1, 1),(1, 2),(1, 3)\}. **二、选择题** 1. C. 2. D. 3. B. 4. B. 5. D. 6. C. 7. C. 8. A. 9. D. 10. B. 11. B. 13. A. 14. A. 15. D **三、计算证明题** 1. (1) (2) B无上界,也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3. (3) A无最大元,最小元是1,极大元8, 12, 90+; 极小元是1. **2.**R = \{(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\}. (1) (2) 3. (1)s•t=s(t(x))=t(x)+3=2x+3=2x+3. (2)s•s=s(s(x))=s(x)+3=(x+3)+3=x+6, (3)s•j=s(j(x))=j(x)+3=x/4+3, (4)j•t=j(t(x))=t(x)/4=2x/4 = x/2, (5)s•j•t=s•(j•t)=j•t+3=2x/4+3=x/2+3. 4. **(1)** ***P*****(*****a*****,** ***f*** **(*****a*****))∧*****P*****(*****b*****,** ***f*** **(*****b*****)) =** ***P*****(3,** ***f*** **(3))∧*****P*****(2,** ***f*** **(2))** = *P*(3, 2)∧*P*(2,3) = 1∧0 = 0. (2) "*x*$*y P* (*y*, *x*) = "*x* (*P* (2, *x*)∨*P* (3, *x*)) = (*P* (2, 2)∨P (3, 2))∧(*P* (2, 3)∨P (3, 3)) = (0∨1)∧(0∨1) = 1∧1 = 1. **5.** (1) (2) 无最大元,最小元1,极大元8, 12; 极小元是1. (3) B无上界,无最小上界。下界1, 2; 最大下界2. 6. G = Ø(P→Q)∨(Q∧(ØP→R)) = Ø(ØP∨Q)∨(Q∧(P∨R)) = (P∧ØQ)∨(Q∧(P∨R)) = (P∧ØQ)∨(Q∧P)∨(Q∧R) = (P∧ØQ∧R)∨(P∧ØQ∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R) = (P∧ØQ∧R)∨(P∧ØQ∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧ØR)∨(ØP∧Q∧R) = m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = S(3, 4, 5, 6, 7). 7. ***G*** **= ("*****xP*****(*****x*****)∨$*****yQ*****(*****y*****))→"*****xR*****(*****x*****)** = Ø("*xP*(*x*)∨$*yQ*(*y*))∨"*xR*(*x*) = (Ø"*xP*(*x*)∧Ø$*yQ*(*y*))∨"*xR*(*x*) = ($*x*Ø*P*(*x*)∧"*y*Ø*Q*(*y*))∨"*zR*(*z*) = $*x*"*y*"*z*((Ø*P*(*x*)∧Ø*Q*(*y*))∨*R*(*z*)) 9. (1) r(R)=R∪IA=\{(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d)\}, s(R)=R∪R-1=\{(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c)\}, t(R)=R∪R2∪R3∪R4=\{(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)\}; (2)关系图: **11.** G=(P∧Q)∨(ØP∧Q∧R) =(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R) =m6∨m7∨m3 =å (3, 6, 7) H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(ØP∧R)) =(P∧Q)∨(Q∧R))∨(ØP∧Q∧R) =(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R) =(P∧Q∧ØR)∨(ØP∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) =m6∨m3∨m7 =å (3, 6, 7) G,H的主析取范式相同,所以G = H. 13. **(1)** (2)*R•S*=\{(*a*, *b*),(*c*, *d*)\}, *R*∪*S*=\{(*a*, *a*),(*a*, *b*),(*a*, *c*),(*b*, *c*),(*b*, *d*),(*c*, *d*),(*d*, *d*)\}, *R*-1=\{(*a*, *a*),(*c*, *a*),(*c*, *b*),(*d*, *c*)\}, *S*-1•*R*-1=\{(*b*, *a*),(*d*, *c*)\}. **四 证明题** 1. 证明:\{ *P*→*Q*, *R*→*S*, *P*∨*R*\}蕴涵*Q*∨*S* (1) *P*∨*R* P (2) Ø*R*→*P* Q(1) (3) *P*→*Q* P (4) Ø*R*→*Q* Q(2)(3) (5) Ø*Q*→*R* Q(4) (6) *R*→*S* P (7) Ø*Q*→*S* Q(5)(6) (8) *Q*∨*S Q(7)* 2. 证明:(A-B)-C = (A∩~B)∩~C = A∩(~B∩~C) = A∩~(B∪C) = A-(B∪C) 3. 证明:\{ØA∨B, ØC→ØB, C→D\}蕴涵A→D (1) A D(附加) (2) ØA∨B P (3) B Q(1)(2) (4) ØC→ØB P (5) B→C Q(4) (6) C Q(3)(5) (7) C→D P (8) D Q(6)(7) (9) A→D D(1)(8) 所以 \{ØA∨B, ØC→ØB, C→D\}蕴涵A→D. 3. 证明:A-(A∩B) = A∩~(A∩B) =A∩(~A∪~B) =(A∩~A)∪(A∩~B) =Æ∪(A∩~B) =(A∩~B) =A-B 而 (A∪B)-B = (A∪B)∩~B = (A∩~B)∪(B∩~B) = (A∩~B)∪Æ = A-B 所以:A-(A∩B) = (A∪B)-B. **离散数学试题(A卷及答案)** 一、(10分)某项工作需要派*A*、*B*、*C*和*D* 4个人中的2个人去完成,按下面3个条件,有几种派法?如何派? (1)若*A*去,则*C*和*D*中要去1个人; (2)*B*和*C*不能都去; (3)若*C*去,则*D*留下。 解 设*A*:*A*去工作;*B*:*B*去工作;*C*:*C*去工作;*D*:*D*去工作。则根据题意应有:*A*®*C*Å*D*,Ø(*B*∧*C*),*C*®Ø*D*必须同时成立。因此 (*A*®*C*Å*D*)∧Ø(*B*∧*C*)∧(*C*®Ø*D*) Û(Ø*A*∨(*C*∧Ø *D*)∨(Ø*C*∧*D*))∧(Ø*B*∨Ø*C*)∧(Ø*C*∨Ø*D*) Û(Ø*A*∨(*C*∧Ø *D*)∨(Ø*C*∧*D*))∧((Ø*B*∧Ø*C*)∨(Ø*B*∧Ø*D*)∨Ø*C*∨(Ø*C*∧Ø*D*)) Û(Ø*A*∧Ø*B*∧Ø*C*)∨(Ø*A*∧Ø*B*∧Ø*D*)∨(Ø*A*∧Ø*C*)∨(Ø*A*∧Ø*C*∧Ø*D*) ∨(*C*∧Ø *D*∧Ø*B*∧Ø*C*)∨(*C*∧Ø *D*∧Ø*B*∧Ø*D*)∨(*C*∧Ø *D*∧Ø*C*)∨(*C*∧Ø *D*∧Ø*C*∧Ø*D*) ∨(Ø*C*∧*D*∧Ø*B*∧Ø*C*)∨(Ø*C*∧*D*∧Ø*B*∧Ø*D*)∨(Ø*C*∧*D*∧Ø*C*)∨(Ø*C*∧*D*∧Ø*C*∧Ø*D*) ÛF∨F∨(Ø*A*∧Ø*C*)∨F∨F∨(*C*∧Ø *D*∧Ø*B*)∨F∨F∨(Ø*C*∧*D*∧Ø*B*)∨F∨(Ø*C*∧*D*)∨F Û(Ø*A*∧Ø*C*)∨(Ø*B*∧*C*∧Ø *D*)∨(Ø*C*∧*D*∧Ø*B*)∨(Ø*C*∧*D*) Û(Ø*A*∧Ø*C*)∨(Ø*B*∧*C*∧Ø *D*)∨(Ø*C*∧*D*) ÛT 故有三种派法:*B*∧*D*,*A*∧*C*,*A*∧*D*。 二、(15分)在谓词逻辑中构造下面推理的证明:某学术会议的每个成员都是专家并且是工人,有些成员是青年人,所以,有些成员是青年专家。 解:论域:所有人的集合。 ( ): 是专家; ( ): 是工人; ( ): 是青年人;则推理化形式为: ( ( )∧ ( )), ( ) ( ( )∧ ( )) 下面给出证明: (1) ( ) P (2) (*c*) T(1),ES (3) ( ( )∧ ( )) P (4) ( *c*)∧ ( *c*) T(3),US (5) ( *c*) T(4),I (6) ( *c*)∧ (*c*) T(2)(5),I (7) ( ( )∧ ( )) T(6) ,EG 三、(10分)设*A*、*B*和*C*是三个集合,则*A*Ì*B*ÞØ(*B*Ì*A*)。 证明:*A*Ì*B*Û"*x*(*x*∈*A*→*x*∈*B*)∧$*x*(*x*∈*B*∧*x*Ï*A*)Û"*x*(*x*Ï*A*∨*x*∈*B*)∧$*x*(*x*∈*B*∧*x*Ï*A*) ÛØ$*x*(*x*∈*A*∧*x*Ï*B*)∧Ø"*x*(*x*Ï*B*∨*x*∈*A*)ÞØ$*x*(*x*∈*A*∧*x*Ï*B*)∨Ø"*x*(*x*∈*A*∨*x*Ï*B*) ÛØ($*x*(*x*∈*A*∧*x*Ï*B*)∧"*x*(*x*∈*A*∨*x*Ï*B*))ÛØ($*x*(*x*∈*A*∧*x*Ï*B*)∧"*x*(*x*∈*B*→*x*∈*A*)) ÛØ(*B*Ì*A*)。 四、(15分)设*A*=\{1,2,3,4,5\},*R*是*A*上的二元关系,且*R*=\{<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>\},求*r*(*R*)、*s*(*R*)和*t*(*R*)。 解 *r*(*R*)=*R*∪*IA*=\{<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>\} *s*(*R*)=*R*∪*R*-1=\{<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>\} *R*2=\{<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>\} *R*3=\{<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<5,4>\} *R*4=\{<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>\}=*R*2 *t*(*R*)= *Ri*=\{<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>\}。 五、(10分)*R*是非空集合*A*上的二元关系,若*R*是对称的,则*r*(*R*)和*t*(*R*)是对称的。 证明 对任意的*x*、*y*∈*A*,若*xr*(*R*)*y*,则由*r*(*R*)=*R*∪*IA*得,*xRy*或*xIAy*。因*R*与*IA*对称,所以有*yRx*或*yIAx*,于是*yr*(*R*)*x*。所以*r*(*R*)是对称的。 下证对任意正整数*n*,*R*n对称。 因*R*对称,则有*xR*2*y*Û$*z*(*xRz*∧*zRy*)Û$*z*(*zRx*∧*yRz*)Û*yR*2*x*,所以*R*2对称。若 对称,则*x* *y*Û$*z*(*x* *z*∧*zRy*)Û$*z*(*z* *x*∧*yRz*)Û*y* *x*,所以 对称。因此,对任意正整数*n*, 对称。 对任意的*x*、*y*∈*A*,若*xt*(*R*)*y*,则存在*m*使得*xR*m*y*,于是有*yR*m*x*,即有*yt*(*R*)*x*。因此,*t*(*R*)是对称的。 六、(10分)若*f*:*A*→*B*是双射,则*f*-1:*B*→*A*是双射。 证明 因为*f*:*A*→*B*是双射,则*f*-1是*B*到*A*的函数。下证*f*-1是双射。 对任意*x*∈*A*,必存在*y*∈*B*使*f*(*x)*=*y*,从而*f*-1(*y*)=*x*,所以*f*-1是满射。 对任意的*y*1、*y*2∈*B*,若*f*-1(*y*1)=*f*-1(*y*2)=*x*,则*f*(*x)*=*y*1,*f*(*x)*=*y*2。因为*f*:*A→B*是函数,则*y*1=*y*2。所以*f*-1是单射。 综上可得,*f*-1:*B*→*A*是双射。 七、(10分)设<*S*,\*>是一个半群,如果*S*是有限集,则必存在*a*∈*S*,使得*a*\**a*=*a*。 证明 因为<*S*,\*>是一个半群,对任意的*b*∈*S*,由\*的封闭性可知,*b*2=*b*\**b*∈*S*,*b*3=*b*2\**b*∈*S*,…,*bn*∈*S*,…。 因为*S*是有限集,所以必存在*j*>*i*,使得 = 。令*p*=*j*-*i*,则 = \* 。所以对*q*≥*i*,有 = \* 。 因为*p*≥1,所以总可找到*k*≥1,使得*kp*≥*i*。对于 ∈*S*,有 = \* = \*( \* )=…= \* 。 令*a*=,则*a*∈*S*且*a*\**a*=*a*。 八、(20分)(1)若*G*是连通的平面图,且*G*的每个面的次数至少为*l*(*l*≥3),则*G*的边数*m*与结点数*n*有如下关系: *m*≤ (*n*-2)。 证明 设*G*有*r*个面,则2*m*= ≥*lr*。由欧拉公式得,*n-m*+*r*=2。于是, *m*≤ (*n*-2)。 (2)设平面图*G*=<*V*,*E*,*F*>是自对偶图,则| *E*|=2(|*V*|-1)。 证明 设*G*\*=<*V*\*,*E*\*>是连通平面图*G*=<*V*,*E*,*F*>的对偶图,则*G*\*@ *G*,于是|*F*|=|*V*\*|=|*V*|,将其代入欧拉公式|*V*|-|*E*|+|*F*|=2得,|*E*|=2(|*V*|-1)。 **离散数学试题(B卷及答案)** 一、(10分)证明(*P*∨*Q*)∧(*P*®*R*)∧(*Q*®*S*) *S*∨*R* 证明 因为*S*∨*R*ÛØ*R*®*S*,所以,即要证(*P*∨*Q*)∧(*P*®*R*)∧(*Q*®*S*) Ø*R*®*S*。 (1)Ø*R* 附加前提 (2)*P*®*R* *P* (3)Ø*P* *T*(1)(2),*I* (4)*P*∨*Q* *P* (5)*Q* *T*(3)(4),*I* (6)*Q*®*S* *P* (7)*S* *T*(5)(6),*I* (8)Ø*R*®*S* *CP* (9)*S*∨*R* *T*(8),*E* 二、(15分)根据推理理论证明:每个考生或者勤奋或者聪明,所有勤奋的人都将有所作为,但并非所有考生都将有所作为,所以,一定有些考生是聪明的。 设*P*(*e*):*e*是考生,*Q*(*e*):*e*将有所作为,*A*(*e*):*e*是勤奋的,*B*(*e*):*e*是聪明的,个体域:人的集合,则命题可符号化为:"*x*(*P*(*x*)®(*A*(*x*)∨*B*(*x*))),"*x*(*A*(*x*)®*Q*(*x*)),Ø"*x*(*P*(*x*)®*Q*(*x*)) $*x*(*P*(*x*)∧*B*(*x*))。 (1)Ø"*x*(*P*(*x*)®*Q*(*x*)) *P* (2)Ø"*x*(Ø*P*(*x*)∨*Q*(*x*)) *T*(1),*E* (3)$*x*(*P*(*x*)∧Ø*Q*(*x*)) *T*(2),*E* (4)*P*(*a*)∧Ø*Q*(*a*) *T*(3),*ES* (5)*P*(*a*) *T*(4),*I* (6)Ø*Q*(*a*) *T*(4),*I* (7)"*x*(*P*(*x*)®(*A*(*x*)∨*B*(*x*)) *P* (8)*P*(*a*)®(*A*(*a*)∨*B*(*a*)) *T*(7),*US* (9)*A*(*a*)∨*B*(*a*) *T*(8)(5),*I* (10)"*x*(*A*(*x*)®*Q*(*x*)) *P* (11)*A*(*a*)®*Q*(*a*) *T*(10),*US* (12)Ø*A*(*a*) *T*(11)(6),*I* (13)*B*(*a*) *T*(12)(9),*I* (14)*P*(*a*)∧*B*(*a*) *T*(5)(13),*I* (15)$*x*(*P*(*x*)∧*B*(*x*)) *T*(14),*EG* 三、(10分)某班有25名学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数。 解 设*A*、*B*、*C*分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则: |*A*|=12,|*B*|=6,|*C*|=14,|*A*∩*C*|=6,|*B*∩*C*|=5,|*A*∩*B*∩*C*|=2,|(*A*∪*C*)∩*B*|=6。 因为|(*A*∪*C*)∩*B*|=(*A*∩*B*)∪(*B*∩*C*)|=|(*A*∩*B*)|+|(*B*∩*C*)|-|*A*∩*B*∩*C*|=|(*A*∩*B*)|+5-2=6,所以|(*A*∩*B*)|=3。于是|*A*∪*B*∪*C*|=12+6+14-6-5-3+2=20, =25-20=5。故,不会打这三种球的共5人。 四、(10分)设*A*1、*A*2和*A*3是全集*U*的子集,则形如 *Ai*¢(*Ai*¢为*Ai*或 )的集合称为由*A*1、*A*2和*A*3产生的小项。试证由*A*1、*A*2和*A*3所产生的所有非空小项的集合构成全集*U*的一个划分。 证明 小项共8个,设有*r*个非空小项*s*1、*s*2、…、*sr*(*r*≤8)。 对任意的*a*∈*U*,则*a*∈*A*i或*a*∈ ,两者必有一个成立,取*A*i¢为包含元素*a*的*A*i或 ,则*a*∈ *Ai*¢,即有*a*∈ *si*,于是*U*Í *si*。又显然有 *si*Í*U*,所以*U*= *si*。 任取两个非空小项*sp*和*sq*,若*sp*≠*sq*,则必存在某个*Ai*和 分别出现在*sp*和*sq*中,于是*sp*∩*sq*=Æ。 综上可知,\{ *s*1,*s*2,…,*sr*\}是*U*的一个划分。 五、(15分)设*R*是*A*上的二元关系,则:*R*是传递的Û*R*\**R*Í*R*。 证明 (5)若*R*是传递的,则<*x*,*y*>∈*R*\**R*Þ$*z*(*xRz*∧*zSy*)Þ*xRc*∧*cSy*,由*R*是传递的得*xRy*,即有<*x*,*y*>∈*R*,所以*R*\**R*Í*R*。 反之,若*R*\**R*Í*R*,则对任意的*x*、*y*、*z*∈*A*,如果*xRz*且*zRy*,则<*x*,*y*>∈*R*\**R*,于是有<*x*,*y*>∈*R*,即有*xRy*,所以*R*是传递的。 六、(15分)若*G*为连通平面图,则*n*-*m*+*r*=2,其中,*n*、*m*、*r*分别为*G*的结点数、边数和面数。 证明 对*G*的边数*m*作归纳法。 当*m*=0时,由于*G*是连通图,所以*G*为平凡图,此时*n*=1,*r*=1,结论自然成立。 假设对边数小于*m*的连通平面图结论成立。下面考虑连通平面图*G*的边数为*m*的情况。 设*e*是*G*的一条边,从*G*中删去*e*后得到的图记为*G*¢,并设其结点数、边数和面数分别为*n*¢、*m*¢和*r*¢。对*e*分为下列情况来讨论: 若*e*为割边,则*G*¢有两个连通分支*G*1和*G*2。*Gi*的结点数、边数和面数分别为*ni*、*mi*和*ri*。显然*n*1+*n*2=*n*¢=*n*,*m*1+*m*2=*m*¢=*m*-1,*r*1+*r*2=*r*¢+1=*r*+1。由归纳假设有*n*1-*m*1+*r*1=2,*n*2-*m*2+*r*2=2,从而(*n*1+*n*2)-(*m*1+*m*2)+(*r*1+*r*2)=4,*n*-(*m*-1)+(*r*+1)=4,即*n*-*m*+*r*=2。 若*e*不为割边,则*n*¢=*n*,*m*¢=*m*-1,*r*¢=*r*-1,由归纳假设有*n*¢-*m*¢+*r*¢=2,从而*n*-(*m*-1)+*r*-1=2,即*n*-*m*+*r*=2。 由数学归纳法知,结论成立。 七、(10分)设函数*g*:*A*→*B*,*f*:*B*→*C*,则: (1)*f*o*g*是*A*到*C*的函数; (2)对任意的*x*∈*A*,有*f*o*g*(*x*)=*f*(*g*(*x*))。 证明 (1)对任意的*x*∈*A*,因为*g*:*A*→*B*是函数,则存在*y*∈*B*使<*x*,*y*>∈*g*。对于*y*∈*B*,因*f*:*B*→*C*是函数,则存在*z*∈*C*使<*y*,*z*>∈*f*。根据复合关系的定义,由<*x*,*y*>∈*g*和<*y*,*z*>∈*f*得<*x*,*z*>∈*g*\**f*,即<*x*,*z*>∈*f*o*g*。所以*Df*o*g*=*A*。 对任意的*x*∈*A*,若存在*y*1、*y*2∈*C*,使得<*x*,*y*1>、<*x*,*y*2>∈*f*o*g*=*g*\**f*,则存在*t*1使得<*x*,*t*1>∈*g*且<*t*1, *y*1>∈*f*,存在*t*2使得<*x*,*t*2>∈*g*且<*t*2,*y*2>∈*f*。因为*g*:*A*→*B*是函数,则*t*1=*t*2。又因*f*:*B*→*C*是函数,则*y*1=*y*2。所以*A*中的每个元素对应*C*中惟一的元素。 综上可知,*f*o*g*是*A*到*C*的函数。 (2)对任意的*x*∈*A*,由*g*:*A*→*B*是函数,有<*x*,*g*(*x*)>∈*g*且*g*(*x*)∈*B*,又由*f*:*B*→*C*是函数,得<*g*(*x*),*f*(*g*(*x*))>∈*f*,于是<*x*,*f*(*g*(*x*))>∈*g*\**f*=*f*o*g*。又因*f*o*g*是*A*到*C*的函数,则可写为*f*o*g*(*x*)=*f*(*g*(*x*))。 八、(15分)设<*H*,\*>是<*G*,\*>的子群,定义*R*=\{<*a*,*b*>|*a*、*b*∈*G*且*a*-1\**b*∈*H*\},则*R*是*G*中的一个等价关系,且\[*a*\]*R*=*aH*。 证明 对于任意*a*∈*G*,必有*a*-1∈*G*使得*a*-1\**a*=*e*∈*H*,所以<*a*,*a*>∈*R*。 若<*a*,*b*>∈*R*,则*a*-1\**b*∈*H*。因为*H*是*G*的子群,故(*a*-1\**b*)-1=*b*-1\**a*∈*H*。所以<*b*,*a*>∈*R*。 若<*a*,*b*>∈*R*,<*b*,*c*>∈*R*,则*a*-1\**b*∈*H*,*b*-1\**c*∈*H*。因为*H*是*G*的子群,所以(*a*-1\**b*)\*(*b*-1\**c*)=*a*-1\**c*∈*H*,故<*a*,*c*>∈*R*。 综上可得,*R*是*G*中的一个等价关系。 对于任意的*b*∈\[*a*\]*R*,有<*a*,*b*>∈*R*,*a*-1\**b*∈*H*,则存在*h*∈*H*使得*a*-1\**b*=*h*,*b*=*a*\**h*,于是*b*∈*aH*,\[*a*\]*R*Í*aH*。对任意的*b*∈*aH*,存在*h*∈*H*使得*b*=*a*\**h*,*a*-1\**b*=*h*∈*H*,<*a*,*b*>∈*R,*故*aH*Í\[*a*\]*R*。所以,\[*a*\]*R*=*aH*。
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