计算机10进制、2进制、8进制、16进制的数字表示

川长思鸟来 2022-12-24 15:55 390阅读 0赞

### 文章目录 ###

*   *  10进制
     *   *  10进制的整数表示
         *  10进制的实数表示
     *  2进制
     *   *  2进制的整数表示
         *  2进制的实数表示
     *  8进制
     *   *  8进制的整数表示
         *  8进制的实数表示
     *  16进制
     *   *  16进制的整数表示
         *  16进制的实数表示
     *  不同进制的数字比较

## 10进制 ##

以10为底数来表示一个数，数码集S=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}。

### 10进制的整数表示 ###

一个十进制数表示为：  
 ± S k − 1 . . . S 2 S 1 S 0 \\footnotesize ±S\_\{k-1\}...S\_\{2\}S\_\{1\}S\_\{0\} ±Sk−1...S2S1S0

值计算为：  
 N = ± ( S k − 1 × 1 0 k − 1 + S k − 2 × 1 0 k − 2 + . . . + S 2 × 1 0 2 + S 1 × 1 0 1 + S 0 × 1 0 0 ) \\footnotesize N=±(S\_\{k-1\}×10^\{k-1\}+S\_\{k-2\}×10^\{k-2\}+...+S\_\{2\}×10^\{2\}+S\_\{1\}×10^\{1\}+S\_\{0\}×10^\{0\}) N=±(Sk−1×10k−1\+Sk−2×10k−2\+...\+S2×102\+S1×101\+S0×100)  
其中S代表1个数码，k是数码的位置量，底数是10。

**例如**：*表示整数+186*  
 1 0 2                     1 0 1                    1 0 0 1                         8                        6      N = + ( 1 × 1 0 2     +     8 × 1 0 1     +     6 × 1 0 0 ) = + 186 \\footnotesize \\begin\{matrix\} 10^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~10^1~~~~~~~~~~~~~~~~~~10^0 \\\\ 1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~8~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~6\\\\ ~~~~N=+(1×10^\{2\}~~~+~~~8×10^\{1\}~~~+~~~6×10^\{0\})=+186 \\end\{matrix\} 102                   101                  1001                       8                      6    N=\+(1×102   \+   8×101   \+   6×100)=\+186  
最大值为:  
 N m a x = 1 0 k − 1 \\footnotesize N\_\{max\}=10^k-1 Nmax=10k−1

### 10进制的实数表示 ###

实数是带有小数部分的数字。  
值计算公式：  
                       整 数 部 分                                                          小 数 部 分 N = ± ( S k − 1 × 1 0 k − 1 + . . . + S 1 × 1 0 1 + S 0 × 1 0 0 ) + ( S − 1 × 1 0 − 1 + . . . + S − i × 1 0 − l ) \\footnotesize ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~整数部分~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~小数部分\\\\ N=±(S\_\{k-1\}×10^\{k-1\}+...+S\_\{1\}×10^\{1\}+S\_\{0\}×10^\{0\})+(S\_\{-1\}×10^\{-1\}+...+S\_\{-i\}×10^\{-l\})                      整数部分                                                        小数部分N=±(Sk−1×10k−1\+...\+S1×101\+S0×100)\+(S−1×10−1\+...\+S−i×10−l)

**例如**：*表示实数+12.34*  
                                1 0 1                   1 0 0                   1 0 − 1                     1 0 − 2               位 置 量                               1                       2                        3                           4                   数 字                 N = + ( 1 × 1 0 1     +     2 × 1 0 0     +     3 × 1 0 − 1     +     4 × 1 0 − 2 ) = + 12.34 \\footnotesize \\begin\{matrix\} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~10^1~~~~~~~~~~~~~~~~~10^0~~~~~~~~~~~~~~~~~10^\{-1\}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~10^\{-2\}~~~~~~~~~~~~~位置量 \\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~4~~~~~~~~~~~~~~~~~数字\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~N=+(1×10^\{1\}~~~+~~~2×10^\{0\}~~~+~~~3×10^\{-1\}~~~+~~~4×10^\{-2\})=+12.34 \\end\{matrix\}                               101                 100                 10−1                   10−2             位置量                             1                     2                      3                         4                 数字               N=\+(1×101   \+   2×100   \+   3×10−1   \+   4×10−2)=\+12.34

## 2进制 ##

以2为底数来表示一个数，数码集S=\{0,1\}。在以2为底的数字系统中，一个数码也被称为位。

### 2进制的整数表示 ###

一个2进制数表示为：  
 ± ( S k − 1 . . . S 1 S 0 ) 2 \\footnotesize ±(S\_\{k-1\}...S\_\{1\}S\_\{0\})\_2 ±(Sk−1...S1S0)2

值计算为：  
 N = ± ( S k − 1 × 2 k − 1 + S k − 2 × 2 k − 2 + . . . + S 2 × 2 2 + S 1 × 2 1 + S 0 × 2 0 ) \\footnotesize N=±(S\_\{k-1\}×2^\{k-1\}+S\_\{k-2\}×2^\{k-2\}+...+S\_\{2\}×2^\{2\}+S\_\{1\}×2^\{1\}+S\_\{0\}×2^\{0\}) N=±(Sk−1×2k−1\+Sk−2×2k−2\+...\+S2×22\+S1×21\+S0×20)  
其中S代表1个数码，k是数码的位置量，底数是2。

**例如**：*表示一个数+10，其二进制数为(1010)*  
                              2 3                     2 2                    2 1                    2 0               位 置 量                          1                       0                      1                      0                 数 字      N = + ( 1 × 2 3     +     0 × 2 2     +     1 × 2 1     +     0 × 2 0 ) = + 10 \\footnotesize \\begin\{matrix\} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~2^1~~~~~~~~~~~~~~~~~~2^0~~~~~~~~~~~~~位置量\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0~~~~~~~~~~~~~~~数字\\\\ ~~~~N=+(1×2^\{3\}~~~+~~~0×2^\{2\}~~~+~~~1×2^\{1\}~~~+~~~0×2^\{0\})=+10 \\end\{matrix\}                             23                   22                  21                  20             位置量                        1                     0                    1                    0               数字    N=\+(1×23   \+   0×22   \+   1×21   \+   0×20)=\+10  
最大值为:  
 N m a x = 2 k − 1 \\footnotesize N\_\{max\}=2^k-1 Nmax=2k−1

### 2进制的实数表示 ###

二进制中的实数，由左边k位到右边l位来组成。  
值计算公式：  
                       整 数 部 分                                                          小 数 部 分 N = ± ( S k − 1 × 2 k − 1 + . . . + S 1 × 2 1 + S 0 × 2 0 ) + ( S − 1 × 2 − 1 + . . . + S − i × 2 − l ) \\footnotesize ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~整数部分~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~小数部分\\\\ N=±(S\_\{k-1\}×2^\{k-1\}+...+S\_\{1\}×2^\{1\}+S\_\{0\}×2^\{0\})+(S\_\{-1\}×2^\{-1\}+...+S\_\{-i\}×2^\{-l\})                      整数部分                                                        小数部分N=±(Sk−1×2k−1\+...\+S1×21\+S0×20)\+(S−1×2−1\+...\+S−i×2−l)

**例如**：*表示实数+10.75，其二进制数为(1010.11)*  
        2 3                    2 2                    2 1                    2 0                    2 − 1                  2 − 2    1                      0                      1                      0           .            1                      1              N = + ( 1 × 2 3     +     0 × 2 2     +     1 × 2 1     +     0 × 2 0     +     1 × 2 − 1    +    1 × 2 − 2 ) = + 10.75 \\footnotesize \\begin\{matrix\} ~~~~~~2^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~2^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~2^\{1\}~~~~~~~~~~~~~~~~~~2^\{0\}~~~~~~~~~~~~~~~~~~2^\{-1\}~~~~~~~~~~~~~~~~2^\{-2\} \\\\ ~~1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0~~~~~~~~~.~~~~~~~~~~1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~1\\\\ ~~~~~~~~~~~~N=+(1×2^\{3\}~~~+~~~0×2^\{2\}~~~+~~~1×2^\{1\}~~~+~~~0×2^\{0\}~~~+~~~1×2^\{-1\}~~+~~1×2^\{-2\})=+10.75 \\end\{matrix\}       23                  22                  21                  20                  2−1                2−2  1                    0                    1                    0         .          1                    1            N=\+(1×23   \+   0×22   \+   1×21   \+   0×20   \+   1×2−1  \+  1×2−2)=\+10.75

## 8进制 ##

以8为底数来表示一个数，数码集S=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}。

### 8进制的整数表示 ###

值计算为：  
 N = ± ( S k − 1 × 8 k − 1 + S k − 2 × 8 k − 2 + . . . + S 2 × 8 2 + S 1 × 8 1 + S 0 × 8 0 ) \\footnotesize N=±(S\_\{k-1\}×8^\{k-1\}+S\_\{k-2\}×8^\{k-2\}+...+S\_\{2\}×8^\{2\}+S\_\{1\}×8^\{1\}+S\_\{0\}×8^\{0\}) N=±(Sk−1×8k−1\+Sk−2×8k−2\+...\+S2×82\+S1×81\+S0×80)  
其中S代表1个数码，k是数码的位置量，底数是8。

**例如**：*表示一个数+668，其8进制数为(1234)*  
                              8 3                     8 2                    8 1                    8 0               位 置 量                          1                       2                      3                      4                 数 字      N = + ( 1 × 8 3     +     2 × 8 2     +     3 × 8 1     +     4 × 8 0 ) = + 668 \\footnotesize \\begin\{matrix\} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~8^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~8^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~8^1~~~~~~~~~~~~~~~~~~8^0~~~~~~~~~~~~~位置量\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~4~~~~~~~~~~~~~~~数字\\\\ ~~~~N=+(1×8^\{3\}~~~+~~~2×8^\{2\}~~~+~~~3×8^\{1\}~~~+~~~4×8^\{0\})=+668 \\end\{matrix\}                             83                   82                  81                  80             位置量                        1                     2                    3                    4               数字    N=\+(1×83   \+   2×82   \+   3×81   \+   4×80)=\+668  
最大值为:  
 N m a x = 8 k − 1 \\footnotesize N\_\{max\}=8^k-1 Nmax=8k−1

### 8进制的实数表示 ###

值计算公式：  
                       整 数 部 分                                                          小 数 部 分 N = ± ( S k − 1 × 8 k − 1 + . . . + S 1 × 8 1 + S 0 × 8 0 ) + ( S − 1 × 8 − 1 + . . . + S − i × 8 − l ) \\footnotesize ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~整数部分~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~小数部分\\\\ N=±(S\_\{k-1\}×8^\{k-1\}+...+S\_\{1\}×8^\{1\}+S\_\{0\}×8^\{0\})+(S\_\{-1\}×8^\{-1\}+...+S\_\{-i\}×8^\{-l\})                      整数部分                                                        小数部分N=±(Sk−1×8k−1\+...\+S1×81\+S0×80)\+(S−1×8−1\+...\+S−i×8−l)

**例如**：*表示实数+668.125，其8进制数为(1234.1)*  
     8 3                    8 2                    8 1                    8 0                    8 − 1 1                      2                      3                      4            .            1               N = + ( 1 × 8 3     +     2 × 8 2     +     3 × 8 1     +     4 × 8 0     +     1 × 8 − 1 ) = + 668.125 \\footnotesize \\begin\{matrix\} ~~~8^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~8^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~8^\{1\}~~~~~~~~~~~~~~~~~~8^\{0\}~~~~~~~~~~~~~~~~~~8^\{-1\}\\\\ 1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~4~~~~~~~~~~.~~~~~~~~~~1\\\\ ~~~~~~~~~~~~~N=+(1×8^\{3\}~~~+~~~2×8^\{2\}~~~+~~~3×8^\{1\}~~~+~~~4×8^\{0\}~~~+~~~1×8^\{-1\})=+668.125 \\end\{matrix\}    83                  82                  81                  80                  8−11                    2                    3                    4          .          1             N=\+(1×83   \+   2×82   \+   3×81   \+   4×80   \+   1×8−1)=\+668.125

## 16进制 ##

以16为底数来表示一个数，数码集S=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F\}；符号A,B,C,D,E,F(不区分大小写)分别为10,11,12,13,14,15。通常以0x开头的数字表示为16进制数，如：0x123。

### 16进制的整数表示 ###

值计算为：  
 N = ± ( S k − 1 × 1 6 k − 1 + S k − 2 × 1 6 k − 2 + . . . + S 2 × 1 6 2 + S 1 × 1 6 1 + S 0 × 1 6 0 ) \\footnotesize N=±(S\_\{k-1\}×16^\{k-1\}+S\_\{k-2\}×16^\{k-2\}+...+S\_\{2\}×16^\{2\}+S\_\{1\}×16^\{1\}+S\_\{0\}×16^\{0\}) N=±(Sk−1×16k−1\+Sk−2×16k−2\+...\+S2×162\+S1×161\+S0×160)  
其中S代表1个数码，k是数码的位置量，底数是16。

**例如**：*表示一个数+668，其16进制数为(29C)*  
                         1 6 2                     1 6 1                     1 6 0               位 置 量                       2                        9                         C                 数 字      N = + ( 2 × 1 6 2     +     9 × 1 6 1     +     12 × 1 6 0 ) = + 668 \\footnotesize \\begin\{matrix\} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~16^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~16^1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~16^0~~~~~~~~~~~~~位置量\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~9~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~C~~~~~~~~~~~~~~~数字\\\\ ~~~~N=+(2×16^\{2\}~~~+~~~9×16^\{1\}~~~+~~~12×16^\{0\})=+668 \\end\{matrix\}                        162                   161                   160             位置量                     2                      9                       C               数字    N=\+(2×162   \+   9×161   \+   12×160)=\+668  
最大值为:  
 N m a x = 1 6 k − 1 \\footnotesize N\_\{max\}=16^k-1 Nmax=16k−1

### 16进制的实数表示 ###

值计算公式：  
                       整 数 部 分                                                          小 数 部 分 N = ± ( S k − 1 × 1 6 k − 1 + . . . + S 1 × 1 6 1 + S 0 × 1 6 0 ) + ( S − 1 × 1 6 − 1 + . . . + S − i × 1 6 − l ) \\footnotesize ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~整数部分~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~小数部分\\\\ N=±(S\_\{k-1\}×16^\{k-1\}+...+S\_\{1\}×16^\{1\}+S\_\{0\}×16^\{0\})+(S\_\{-1\}×16^\{-1\}+...+S\_\{-i\}×16^\{-l\})                      整数部分                                                        小数部分N=±(Sk−1×16k−1\+...\+S1×161\+S0×160)\+(S−1×16−1\+...\+S−i×16−l)

**例如**：*表示实数+668.9375，其16进制数为(29C.F)*  
     1 6 2                    1 6 1                      1 6 0                       1 6 − 1 2                        9                          C             .             F                   N = + ( 2 × 1 6 2     +     9 × 1 6 1     +     12 × 1 6 0     +     15 × 1 6 − 1 ) = + 668.9375 \\footnotesize \\begin\{matrix\} ~~~16^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~16^\{1\}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~16^\{0\}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~16^\{-1\}\\\\ 2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~9~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~C~~~~~~~~~~~.~~~~~~~~~~~F\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~N=+(2×16^\{2\}~~~+~~~9×16^\{1\}~~~+~~~12×16^\{0\}~~~+~~~15×16^\{-1\})=+668.9375 \\end\{matrix\}    162                  161                    160                     16−12                      9                        C           .           F                 N=\+(2×162   \+   9×161   \+   12×160   \+   15×16−1)=\+668.9375

## 不同进制的数字比较 ##