数据结构与算法 -- 树与树算法

逃离我推掉我的手 2022-12-20 12:39 113阅读 0赞

### 目录 ###

*  树
 *   *  树的概念
     *  树的存储与表示
     *  常见的一些树的应用场景
 *  二叉树
 *   *  二叉树的概念
     *  二叉树的性质(特性)
 *  二叉树的实现
 *   *  二叉树添加结点
     *  二叉树的遍历
     *   *  广度优先遍历(层次遍历)
         *  深度优先遍历
     *  二叉树由遍历确定一个树

# 树 #

**二维**

## 树的概念 ##

树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

*  每个节点有零个或多个子节点；
 *  没有父节点的节点称为根节点；
 *  每一个非根节点有且只有一个父节点；
 *  除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

**树的术语：**

*  **节点的度**：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
 *  **树的度**：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
 *  **叶节点或终端节点**：度为零的节点；
 *  **父亲节点或父节点**：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
 *  **孩子节点或子节点**：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
 *  **兄弟节点**：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
 *  **节点的层次**：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
 *  **树的高度或深度**：树中节点的最大层次；
 *  **堂兄弟节点**：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
 *  **节点的祖先**：从根到该节点所经分支上的所有节点；（o的结点的祖先：A,C,G,M）
 *  **子孙**：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
 *  **森林**：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

**树的种类:**

*  无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
 *  有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；  
    **1. 二叉树**：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
    
     *  **完全二叉树**：对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中**满二叉树**的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
     *  **平衡二叉树**（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
     *  **排序二叉树**（**二叉查找树**（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树）；  
        **类似二分查找**
    
    **2. 霍夫曼树**（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；  
    **3. B树**：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
    ![在这里插入图片描述][20201112143306747.png_pic_center]  
    ![在这里插入图片描述][20201112143921582.png_pic_center]

## 树的存储与表示 ##

**顺序存储**：将数据结构存储在固定的数组中，然在遍历速度上有一定的优势，但因所占空间比较大，是非主流二叉树。**二叉树通常以链式存储**。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]  
由于对节点的个数无法掌握，常见树的存储表示都转换成二叉树进行处理，子节点个数最多为2。

## 常见的一些树的应用场景 ##

1.  xml，html等，那么编写这些东西的解析器的时候，不可避免用到树
2.  路由协议就是使用了树的算法
3.  mysql数据库**索引**
4.  文件系统的目录结构
5.  所以很多经典的**AI算法**其实都是**树搜索**，此外机器学习中的decision tree也是树结构

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]

# 二叉树 #

## 二叉树的概念 ##

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）

## 二叉树的性质(特性) ##

**性质1**: 在二叉树的第i层上至多有**2^(i-1)个结点（i>0）  
性质2: 深度为k**的二叉树至多有**2^k - 1**个结点（k>0）  
**性质3**: 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为**N0**，而度数为2的结点总数为**N2**，则**N0=N2+1**;  
**性质4**:具有**n**个结点的完全二叉树的深度必为 **log2(n+1)**  
**性质5**:对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为**i** 的结点，其左孩子编号必为**2i**，其右孩子编号必为**2i＋1**；其双亲的编号必为**i/2**（i＝1 时为根,除外）如下图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]

# 二叉树的实现 #

## 二叉树添加结点 ##

**广度优先**的实现方式，**队列**。  
树就是对链表的扩充。  
深度是纵向；广度是横向。栈，一边读取；  
广度优先：–》 队列：一边进，另一边出，即先进先出。  
通过使用Node类中定义三个属性:分别为elem本身的值，还有lchild左孩子和rchild右孩子

class Node(object):
        """节点类"""
        def __init__(self, item):
            self.elem = item
            self.lchild = None
            self.rchild = None
    
    # 树的创建,创建一个树的类，并给一个root根节点，一开始为空，随后添加节点
    
    class Tree(object):
        """二叉树"""
        def __init__(self):
            self.root = None  # 就如链表的头结点
    
        def add(self, item):
            """为树添加节点"""
            node = Node(item)
            # 如果树是空的，则对根节点赋值
            if self.root is None:
                self.root = node
                return
            else:
                # queue = []
                # queue.append(self.root)
                queue = [self.root]
                # 对已有的节点进行层次遍历
                while queue:
                    # 弹出队列的第一个元素
                    cur_node = queue.pop(0)
                    if cur_node.lchild is None:
                        cur_node.lchild = node
                        return
                    else:
                    	# 如果左子树不为空，加入队列继续判断
                    	queue.append(cur_node.lchild)
                    	
                    if cur_node.rchild is None:
                        cur_node.rchild = node
                        return
                    else:
                        # 如果右子树不为空，加入队列继续判断
                        queue.append(cur_node.rchild)
    	
    	# 广度优先遍历(层次遍历)
    	def breadth_travel(self):
            """广度遍历：利用队列实现树的层次遍历"""
            if self.root is None:
            	return
            queue = [self.root]   
            while queue:
                cur_node = queue.pop(0)
                print(node.elem)
                if cur_node.lchild is not None:
                    queue.append(cur_node.lchild)
                if node.rchild is not None:
                    queue.append(cur_node.rchild)
          
         # 深度遍历
         def preorder(self, node):
    	     """递归实现先序遍历：根结点->左子树->右子树"""
    	     if node is None:  # 叶子节点就退出
    	         return
    	     # 根结点
    	     print(node.elem, end=" ")
    	     # 遍历节点的左子树
    	     self.preorder(node.lchild)
    	     # 遍历节点的右子树
    	     self.preorder(node.rchild) 	
     
    	def inorder(self, node):
          """递归实现中序遍历：左子树->右子树->根节点"""
          if node == None:
              return
          self.inorder(node.lchild)
          print(node.elem, end=" ")
          self.inorder(node.rchild)
    
    	def postorder(self, node):
          """递归实现后续遍历: 左子树->右子树->根节点"""
          if node == None:
              return
          self.postorder(node.lchild)
          self.postorder(node.rchild)
          print(root.elem, end=" ")
    
    
    if __name__ == "__main__":
     	tree = Tree()
     	tree.add(1)  
     	tree.add(2)
     	tree.add(3)
     	tree.add(4)
     	tree.add(5)
     	tree.add(6)
     	tree.add(7)
     	tree.add(8)
     	tree.add(9)
    	tree.breadth_travel()   
    	print("") # 换行
    	tree.preorder(tree.root)   # 先序
    	tree.inorder(tree.root)    # 中序
    	tree.postorder(tree.root)  # 后序

![在这里插入图片描述][2020111215281715.png_pic_center]

## 二叉树的遍历 ##

树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指对树中所有结点的信息的访问，即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次，我们把这种对所有节点的访问称为遍历（traversal）。那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍历和广度优先遍历,深度优先一般用递归，广度优先一般用队列。一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现。

### 广度优先遍历(层次遍历) ###

从树的root开始，从上到下从从左到右遍历整个树的节点

### 深度优先遍历 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]  
**先序遍历**： 0， 1， 2 -->> 先根，接着左，最后右  
**中序遍历**： 1，0， 2 -->> 左， 根， 右  
**后序遍历**： 1，2， 0 -->> 左， 右， 根

**先序遍历** 在先序遍历中，我们先访问根节点，然后递归使用先序遍历访问左子树，再递归使用先序遍历访问右子树  
**根节点->左子树->右子树**

**中序遍历** 在中序遍历中，我们递归使用中序遍历访问左子树，然后访问根节点，最后再递归使用中序遍历访问右子树  
**左子树->根节点->右子树**

**后序遍历** 在后序遍历中，我们先递归使用后序遍历访问左子树和右子树，最后访问根节点  
**左子树->右子树->根节点**

## 二叉树由遍历确定一个树 ##

只要有中序，就可以确认一棵树，就可以分开；只有左序和右序，无法分开左右。  
![在这里插入图片描述][20201112160959570.png_pic_center]  
先，第一个根，即0，  
中，根讲左右分开。  
**用先序元素来确定根，中序来区分左右。然后递归后续遍历**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 8]  
后序：确定根  
中序：区分左右子树  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1NNRjA1MDQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 9]

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