二叉树、B树(B-树)、B+树、B*树详解，以及为什么MySQL选择B+树做索引

系统管理员 2022-12-06 01:07 212阅读 0赞

温故而知新，可以为师矣。看到一篇介绍B数和B减树的文章，这里记录一下。

# 1. 简要 #

众所周知，MySQL的索引使用了B+树的数据结构。那么为什么不用B树呢？  
先看一下B树和B+树的区别。

# 2. 二叉树 #

先介绍一下二叉搜索树。

1.  顾名思义，二叉搜索树，即指**最多拥有两个叉**，这里的叉即为所有非叶子结点的儿子（Lift和Right）；
2.  **所有的结点存储一个关键字**；
3.  非叶子结点的左指针指向小于其关键字的结点，右指针指向对于其关键字的结点，结构如下图：  
    ![图片有点丑别在意，重点是对于二叉搜索树的理解][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0Ffemhhbmdx_size_16_color_FFFFFF_t_70]

二叉搜索树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点关键字相等，则该结点为查询的结点，如果查询关键字比结点关键字小，则进入左子树，反之则进入右子树；如果左子树为空或者右子树为空，则返回查找不到响应的关键字；  
       如果二叉搜索树的所有叶子结点的左右子树的树木**保持一个平衡即左右子树个数大致相等的话，其搜索则更接近与二分查找；但是它相比连续内存空的二分查找的优点是：改变二叉搜索树的结构（添加或者删除）不需要大段的移动数据，甚至通常都是常数开销；**

如下图：  
      红色字体代表插入数据，搜索二叉树在插入结点时，只要根据插入数据的大小查找出他应该插入的位置即可，然而当在一个有序数组插入一个数据的时候，需要查询出他的位置，然后将其添加，后面的数据索引加一，这样的一个完整操作，相比下来二叉树的优点很明显了。

![红色字体代表插入数据][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0Ffemhhbmdx_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
但是，当一个二叉树经历多次删除操作后，他就可能变换结构，如下图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0Ffemhhbmdx_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

右边也是一个搜索二叉树，只不过不在平衡了，他的搜索功能也变成了线性的，同样的关键字可能导致不同的树结构索引，所以，在使用搜索二叉树时，还要考虑尽可能让B树保持左图的结构，避免和右图类似，这也有事所谓的**平衡问题**了。

实际使用的二叉搜索树都是在原二叉搜索树的基础上加上平衡算法，即**平衡二叉树**；如何保持B树节点分布均匀的平衡算法就是平衡二叉树的关键所在，平衡算法是一种在二叉搜索树的插入和删除结点时的一种策略。即：在插入或删除的同时保持二叉搜索树的平衡。

# 3. B树 #

B-树就是B树（可能有部分人会习惯上把B-树读为B减树，其实并不存在B减树，只是读法上的不同而已），B就是balanced，平衡的意思。**B-树就是指的B树**，特此说明一下。

维基百科对B树的定义为“在计算机科学中，B树（B-tree）是一种树状数据结构，它能够存储数据、对其进行排序并允许以O(log n)的时间复杂度运行进行查找、顺序读取、插入和删除的数据结构。B树，概括来说是**一个节点可以拥有多于2个子节点的二叉查找树**。与自平衡二叉查找树不同，B-树为系统**最优化大块数据的读和写操作**。B-tree算法减少定位记录时所经历的中间过程，从而加快存取速度。普遍运用在数据库和文件系统。”

B 树可以看作是对2-3查找树的一种扩展，即他允许每个节点有M-1个子节点。

## 3.1定义 ##

1.  **M是层数**
2.  **根节点至少有两个子节点，即**根节点的儿子数为：\[2，M\]；
3.  定义任意非叶子节点最多可以有M个儿子节点；且M>2；
4.  **除根节点为的非叶子节点的儿子书为\[M/2，M\]；**
5.  **每个结点存放至少M/2 - 1 (去上整)且至多M -1 个关键字（至少为2）,并且以升序排列，超过上限就进行分裂存储；**
6.  非叶子结点的关键字个数 = 指向子节点的指针书 -1；
7.  非叶子节点的关键字：K\[1\],K\[2\],K\[3\],…,K\[M-1;且K\[i\] < K\[i +1\];
8.  非叶子结点的指针：P\[1\], P\[2\], …, P\[M\]；其中P\[1\]指向关键字小于K\[1\]的子树，P\[M\]指向关键字大于K\[M-1\]的子树，其它P\[i\]指向关键字属于(K\[i-1\], K\[i\])的子树；
9.  所有叶子结点位于同一层；

下图是一个M=4 阶的B树:

![c62de86c781faf80e6918af183aea1ec.png][]

M=4的B树

可以看到B树是2-3树的一种扩展，他允许一个节点有多于2个的元素。

B树的插入及平衡化操作和2-3树很相似，这里就不介绍了。下面是往B树中依次插入  
6 10 4 14 5 11 15 3 2 12 1 7 8 8 6 3 6 21 5 15 15 6 32 23 45 65 7 8 6 5 4 的演示动画：

![b7f6873ce5fc327a81d81eba868cedef.png][]

# 4. B+树 #

B+树是对B树的一种变形树，它与B树的差异在于：

*  有k个子结点的结点必然有k个关键码。
 *  **非叶结点仅具有索引作用，跟记录有关的信息均存放在叶结点中。**
 *  树的所有叶结点构成一个有序链表，可以按照关键码排序的次序遍历全部记录。

如下图是一个B+树：

![a72a54db02158ab65ef0485ed103554a.png][]

M=4的B+树

下图是B+树的建立过程：

![91505fe39276da5c84c0e3cd80a65a37.png][]

## 4.1 B+树和B树的区别 ##

**B树：有序数组+平衡多叉树；   
B+树：有序数组链表\+平衡多叉树；**

B+树的非叶子结点只包含导航信息，不包含实际的值，所有的叶子结点和相连的节点使用链表相连，便于区间查找和遍历。  
**B+ 树的优点在于：**

*  **IO次数更少**：由于B+树在内部节点上不包含数据信息，因此在内存页中能够存放更多的key。 数据存放的更加紧密，具有更好的空间局部性。因此访问叶子节点上关联的数据也具有更好的缓存命中率。
 *  **遍历更加方便**：B+树的叶子结点都是相链的，因此对整棵树的遍历只需要一次线性遍历叶子结点即可。而且由于数据顺序排列并且相连，所以便于区间查找和搜索。而B树则需要进行每一层的递归遍历。相邻的元素可能在内存中不相邻，所以缓存命中性没有B+树好。

但是B树也有优点，其优点在于，由于B树的每一个节点都包含key和value，因此经常访问的元素可能离根节点更近，因此访问也更迅速。下面是B 树和B+树的区别图:

![119e90e160e2a1f007d72677bbd0bca9.png][]

B树和B+树的区别图

## 4.2 B+树图2： ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0Ffemhhbmdx_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

# 5. B\*树 #

B树是B+树一种变形，它是在B+树的基础上，**将索引层以指针连接起来，使搜索取值更加快捷。**  
如下图（M = 3）  
*![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0Ffemhhbmdx_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
但是B*树又在B+树的基础上产生了一系列的变化，如下：

1.  B\*树定义了非叶子结点关键字个数**至少为(2/3)\*M，即块的最低使用率为2/3，代替B+树的1/2**；
2.  B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；**B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点**，所以它不需要指向兄弟的指针；
3.  \*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；

**所以B\*树相对于B+树，空间利用率上有所提高，查询速率也有所提高**。

# 6. 为什么MySQL选择B+树做索引 #

## 6.1 Mysql索引主要有两种结构：B+Tree索引和Hash索引  ##

*  (a) Inodb存储引擎 默认是 B+Tree索引
 *  (b) MyISAM 存储引擎 默认是Fulltext索引(全文索引)；
 *  (c)Memory 存储引擎 默认 Hash索引；

### 6.1.1 Hash索引 ###

mysql中，只**有Memory(Memory表只存在内存中，断电会消失，适用于临时表)存储引擎显示支持Hash索引，是Memory表的默认索引类型**，尽管Memory表也可以使用B+Tree索引。Hash索引把数据以hash形式组织起来，因此当查找某一条记录的时候，速度非常快。但是因为hash结构，每个键只对应一个值，而且是散列的方式分布。所以它并不支持范围查找和排序等功能。

### 6.1.2 B+Tree索引 ###

**      B+Tree是mysql使用最频繁的一个索引数据结构，是Inodb和Myisam存储引擎模式的索引类型**。相对Hash索引，B+Tree在查找单条记录的速度比不上Hash索引，但是因为更适合排序等操作，所以它更受欢迎。毕竟不可能只对数据库进行单条记录的操作。

**带顺序访问指针的B+Tree**

B+Tree所有索引数据都在叶子节点上，并且增加了顺序访问指针，每个叶子节点都有指向相邻叶子节点的指针。

这样做是为了提高区间效率，例如查询key为从18到49的所有数据记录，当找到18后，只要顺着节点和指针顺序遍历就可以以此向访问到所有数据节点，极大提高了区间查询效率。

**大大减少磁盘I/O读取**

数据库系统的设计者巧妙利用了磁盘预读原理，将一个节点的大小设为等于一个页，这样每个节点需要一次I/O就可以完全载入。

**最后：**

1、 **B+树的磁盘读写代价更低**：B+树的内部节点并没有指向关键字具体信息的指针，因此其内部节点相对B树更小，如果把所有同一内部节点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多，一次性读入内存的需要查找的关键字也就越多，相对IO读写次数就降低了。

2、**B+树的查询效率更加稳定**：由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。

3、**B+树更便于遍历**：由于B+树的数据都存储在叶子结点中，分支结点均为索引，方便扫库，只需要扫一遍叶子结点即可，但是B树因为其分支结点同样存储着数据，我们要找到具体的数据，需要进行一次中序遍历按序来扫，所以B+树更加适合在区间查询的情况，所以通常B+树用于数据库索引。

4、**B+树更适合基于范围的查询**：B树在提高了IO性能的同时并没有解决元素遍历的我效率低下的问题，正是为了解决这个问题，B+树应用而生。B+树只需要去遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历。而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树不支持这样的操作或者说效率太低。

# **7. 总结** #

1.  二叉搜索树：二叉树，每个结点只存储一个关键字且值大于左子树，小于右子树。
2.  B（B-）树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点； 所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；
3.  B+树：**在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；**B+树总是到叶子结点才命中；
4.  **B\*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3**；

# 参考 #

[https://www.jianshu.com/p/7ce804f97967][https_www.jianshu.com_p_7ce804f97967]

[https://blog.csdn.net/A\_zhangq/article/details/99662693][https_blog.csdn.net_A_zhangq_article_details_99662693]

[https://www.cnblogs.com/aspirant/p/9214485.html][https_www.cnblogs.com_aspirant_p_9214485.html]

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0Ffemhhbmdx_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221123/7513b047abfc427fa5bb00cc48de9981.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0Ffemhhbmdx_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20221123/8861a2946e4b4289bbb3e070eb4e87db.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0Ffemhhbmdx_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20221123/5c53dd7ba9f24b16847fe6bbbf097e93.png
[c62de86c781faf80e6918af183aea1ec.png]: /images/20221123/6959b3abe89d4e7bb969cce4a3f516e7.png
[b7f6873ce5fc327a81d81eba868cedef.png]: /images/20221123/15dd68955af74855a9ab5cafd96af4cb.png
[a72a54db02158ab65ef0485ed103554a.png]: /images/20221123/289c1f6293eb4d16ab345f0a645985fc.png
[91505fe39276da5c84c0e3cd80a65a37.png]: /images/20221123/8035537ad2764afea30a5714736aa2a1.png
[119e90e160e2a1f007d72677bbd0bca9.png]: /images/20221123/7ad2f73c104b4ebab10e81b6e8c020d0.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0Ffemhhbmdx_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: /images/20221123/b02937d3af924727859320afc3b35fac.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0Ffemhhbmdx_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: /images/20221123/622fe75576274e8daf1473e4806db796.png
[https_www.jianshu.com_p_7ce804f97967]: https://www.jianshu.com/p/7ce804f97967
[https_blog.csdn.net_A_zhangq_article_details_99662693]: https://blog.csdn.net/A_zhangq/article/details/99662693
[https_www.cnblogs.com_aspirant_p_9214485.html]: https://www.cnblogs.com/aspirant/p/9214485.html