原码, 反码, 补码

骑猪看日落 2022-06-16 03:21 247阅读 0赞

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## 原码， 反码， 补码的基础概念和计算方法 ##

在探求为何机器要使用补码之前， 让我们先了解原码， 反码和补码的概念。对于一个数， 计算机要使用一定的编码方式进行存储。 原码， 反码， 补码是机器存储一个具体数字的编码方式。

## 原码 ##

原码就是符号位加上真值的绝对值， 即用第一位表示符号， 其余位表示值。 比如如果是8位二进制:

> \[+1\]原 = 0000 0001
> 
> \[-1\]原 = 1000 0001

第一位是符号位。 因为第一位是符号位， 所以8位二进制数的取值范围就是\[1111 1111 ， 0111 1111\]即\[-127 ， 127\]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。

## 反码 ##

反码的表示方法是:

正数的反码是其本身

负数的反码是在其原码的基础上， 符号位不变，其余各个位取反。

> \[+1\] = \[00000001\]原 = \[00000001\]反
> 
> \[-1\] = \[10000001\]原 = \[11111110\]反

可见如果一个反码表示的是负数， 人脑无法直观的看出来它的数值。 通常要将其转换成原码再计算。

## 补码 ##

补码的表示方法是:

正数的补码就是其本身

负数的补码是在其原码的基础上， 符号位不变， 其余各位取反， 最后+1。 (即在反码的基础上+1)

> \[+1\] = \[00000001\]原 = \[00000001\]反 = \[00000001\]补
> 
> \[-1\] = \[10000001\]原 = \[11111110\]反 = \[11111111\]补

对于负数， 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的。 通常也需要转换成原码在计算其数值。

## 为何要使用原码， 反码和补码？ ##

在开始深入学习前， 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码， 反码和补码的表示方式以及计算方法。

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数。 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

> \[+1\] = \[00000001\]原 = \[00000001\]反 = \[00000001\]补

所以不需要过多解释。 但是对于负数:

> \[-1\] = \[10000001\]原 = \[11111110\]反 = \[11111111\]补

可见原码， 反码和补码是完全不同的。 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式， 为何还会有反码和补码呢?

首先， 因为人脑可以知道第一位是符号位， 在计算的时候我们会根据符号位， 选择对真值区域的加减。 (真值的概念在本文最开头)。 但是对于计算机， 加减乘数已经是最基础的运算， 要设计的尽量简单。 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。 我们知道， 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数， 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 ， 所以机器可以只有加法而没有减法， 这样计算机运算的设计就更简单了。

### 将符号位参与运算    ###

于是人们开始探索 将符号位参与运算， 并且只保留加法的方法。 首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

> 1 - 1 = 1 + (-1) = \[00000001\]原 + \[10000001\]原 = \[10000010\]原 = -2

如果用原码表示， 让符号位也参与计算， 显然对于减法来说， 结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。

为了解决原码做减法的问题， 出现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

> 1 - 1 = 1 + (-1) = \[0000 0001\]原 + \[1000 0001\]原= \[0000 0001\]反 + \[1111 1110\]反 = \[1111 1111\]反 = \[1000 0000\]原 = -0

发现用反码计算减法， 结果的真值部分是正确的。 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上。 虽然人们理解上+0和-0是一样的， 但是0带符号是没有任何意义的。 而且会有\[0000 0000\]原和\[1000 0000\]原两个编码表示0。

### 修复0的符号存在两个编码的问题    ###

于是补码的出现， 解决了0的符号以及两个编码的问题:

> 1-1 = 1 + (-1) = \[0000 0001\]原 + \[1000 0001\]原 = \[0000 0001\]补 + \[1111 1111\]补 = \[0000 0000\]补=\[0000 0000\]原

这样0用\[0000 0000\]表示， 而以前出现问题的-0则不存在了。而且可以用\[1000 0000\]表示-128:

> (-1) + (-127) = \[1000 0001\]原 + \[1111 1111\]原 = \[1111 1111\]补 + \[1000 0001\]补 = \[1000 0000\]补

\-1-127的结果应该是-128， 在用补码运算的结果中， \[1000 0000\]补 就是-128。 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128， 所以-128并没有原码和反码表示。(对-128的补码表示\[1000 0000\]补算出来的原码是\[0000 0000\]原， 这是不正确的)

使用补码， 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题， 而且还能够多表示一个最低数。 这就是为什么8位二进制， 使用原码或反码表示的范围为\[-127， +127\]， 而使用补码表示的范围为\[-128， 127\]。

因为机器使用补码， 所以对于编程中常用到的32位int类型， 可以表示范围是: \[-231， 231-1\] 因为第一位表示的是符号位。而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

而且实际上并不是从10000001到11111111依次表示-1到-127，而是刚好相反的，从10000001到11111111依次表示-127到-1

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用补码表示负数时：负数X用2^n - |X|来表示，其中n为机器的字长

当n=8时，\[-1\]补 = 2^8 - 1 = 11111111， \[-127\]补 = 2^8 - 127 = 100000001

\[-0\]补=2^8=00000000在补码表示法中只有一种表示，即00000000

如果要扩展的数是符号数，并且采用补码形式表示，进行符号扩展

求补                    求补

\[X\]补  -------->\[-X\]补 -------->\[X\]补

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