RSA算法详解

曾经终败给现在 2022-06-03 23:30 321阅读 0赞

## 1. 什么是RSA ##

RSA算法是现今使用最广泛的公钥密码算法，也是号称地球上最安全的加密算法。在了解RSA算法之前，先熟悉下几个术语  
根据密钥的使用方法，可以将密码分为对称密码和公钥密码  
对称密码：加密和解密使用同一种密钥的方式  
公钥密码：加密和解密使用不同的密码的方式，因此公钥密码通常也称为非对称密码。

## 2. RSA加密 ##

RSA的加密过程可以使用一个通式来表达

> ### 密文＝明文*E**m**o**d**N* ###

也就是说RSA加密是对明文的E次方后除以N后求余数的过程。就这么简单？对，就是这么简单。  
从通式可知，只要知道E和N任何人都可以进行RSA加密了，所以说E、N是RSA加密的密钥，也就是说**E和N的组合就是公钥**，我们用(E,N)来表示公钥

> ### 公钥＝(*E*,*N*) ###

不过E和N不并不是随便什么数都可以的，它们都是经过严格的数学计算得出的，关于E和N拥有什么样的要求及其特性后面会讲到。顺便啰嗦一句E是加密（Encryption）的首字母，N是数字（Number）的首字母

## 3. RSA解密 ##

RSA的解密同样可以使用一个通式来表达

> ### 明文＝密文*D**m**o**d**N* ###

也就是说对密文进行D次方后除以N的余数就是明文，这就是RSA解密过程。知道D和N就能进行解密密文了，所以D和N的组合就是私钥

> ### 私钥＝(*D*,*N*) ###

从上述可以看出RSA的加密方式和解密方式是相同的，加密是求“E次方的mod N”;解密是求“D次方的mod N”  
此处D是解密（Decryption）的首字母；N是数字（Number）的首字母。

小结下

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th align="center">&nbsp;</th> 
 <th align="center">&nbsp;</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td align="center">公钥</td> 
 <td align="center">（E，N）</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">私钥</td> 
 <td align="center">（D，N）</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">密钥对</td> 
 <td align="center">（E，D，N）</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">加密</td> 
 <td align="center"> 
 <div style="text-align:center"> 
 密文＝明文EmodN 
 </div> </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">解密</td> 
 <td align="center"> 
 <div style="text-align:center"> 
 明文＝密文DmodN 
 </div> </td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 4. 生成密钥对 ##

既然公钥是（E，N），私钥是（D，N）所以密钥对即为（E，D，N）但密钥对是怎样生成的？步骤如下：

1.  求N
2.  求L（L为中间过程的中间数）
3.  求E
4.  求D

### 4.1 求N ###

准备两个质数p，q。这两个数不能太小，太小则会容易破解，将p乘以q就是N

> ### *N*=*p*∗*q* ###

### 4.2 求L ###

L 是 p－1 和 q－1的最小公倍数，可用如下表达式表示

> ### *L*=*l**c**m*（*p*－1，*q*－1） ###

### 4.3 求E ###

E必须满足两个条件：E是一个比1大比L小的数，E和L的最大公约数为1  
用gcd(X,Y)来表示X，Y的最大公约数则E条件如下：

> #### 1 < E < L ####
> 
> #### gcd（E，L）=1 ####

之所以需要E和L的最大公约数为1是为了保证一定存在解密时需要使用的数D。现在我们已经求出了E和N也就是说我们已经生成了密钥对中的公钥了。

### 4.4 求D ###

数D是由数E计算出来的。D、E和L之间必须满足以下关系：

> #### 1 < D < L ####
> 
> #### E＊D mod L ＝ 1 ####

只要D满足上述2个条件，则通过E和N进行加密的密文就可以用D和N进行解密。  
简单地说条件2是为了保证密文解密后的数据就是明文。  
现在私钥自然也已经生成了，密钥对也就自然生成了。  
小结下：

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th align="center">&nbsp;</th> 
 <th align="center">&nbsp;</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td align="center">求N</td> 
 <td align="center">N＝ p ＊ q ；p，q为质数</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">求L</td> 
 <td align="center">L＝lcm（p－1，q－1） ；L为p－1、q－1的最小公倍数</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">求E</td> 
 <td align="center">1 &lt; E &lt; L，gcd（E，L）=1；E，L最大公约数为1（E和L互质）</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td align="center">求D</td> 
 <td align="center">1 &lt; D &lt; L，E＊D mod L ＝ 1</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 5 实践下吧 ##

我们用具体的数字来实践下RSA的密钥对对生成，及其加解密对全过程。为方便我们使用较小数字来模拟。

### 5.1 求N ###

我们准备两个很小对质数，  
p ＝ 17  
q ＝ 19  
N ＝ p ＊ q ＝ 323

### 5.2 求L ###

L ＝ lcm（p－1， q－1）＝ lcm(16，18） ＝ 144  
144为16和18对最小公倍数

### 5.3 求E ###

求E必须要满足2个条件：1 < E < L ，gcd（E，L）=1 
即1 < E < 144，gcd（E，144） ＝ 1 
E和144互为质数，5显然满足上述2个条件 
故E ＝ 5

此时**公钥=(E，N）＝ （5，323）**

### 5.4 求D ###

求D也必须满足2个条件：1 < D < L，E＊D mod L ＝ 1 
即1 < D < 144，5 ＊ D mod 144 ＝ 1 
显然当D＝ 29 时满足上述两个条件 
1 < 29 < 144 
5＊29 mod 144 ＝ 145 mod 144 ＝ 1 
此时**私钥＝（D，N）＝（29，323）**

### 5.5 加密 ###

准备的明文必须时小于N的数，因为加密或者解密都要mod N其结果必须小于N  
假设明文 ＝ 123  
则 密文＝明文*E**m**o**d**N*＝1235*m**o**d*323=225

### 5.6 解密 ###

明文＝密文*D**m**o**d**N*＝22529*m**o**d*323=123  
解密后的明文为123。

好了至此RSA的算法原理已经讲解完毕，是不是很简单？