图解堆排序

系统管理员 2021-11-29 22:32 498阅读 0赞

原文出自公众号程序员小灰：[https://mp.weixin.qq.com/s?\_\_biz=MzIxMjE5MTE1Nw==&mid=2653195208&idx=1&sn=e3d6559402148458f0a4993b47d8bc6f&chksm=8c99f912bbee7004625a0b204acc8484acbdf4f1b18953e7ff5acbea958ec002d8c8ea072792&mpshare=1&scene=1&srcid=0918puhyPLKbZLQaYEvFO8zu\#rd][https_mp.weixin.qq.com_s_biz_MzIxMjE5MTE1Nw_mid_2653195208_idx_1_sn_e3d6559402148458f0a4993b47d8bc6f_chksm_8c99f912bbee7004625a0b204acc8484acbdf4f1b18953e7ff5acbea958ec002d8c8ea072792_mpshare_1_scene_1_srcid_0918puhyPLKbZLQaYEvFO8zu_rd]

在了解堆排序之前让我们回顾一下二叉堆和最大堆的特性：

*  1.二叉堆本质上是一种完全二叉树
 *  2.最大堆的堆顶是整个堆中的最大元素

首先一定要明确！！！  
二叉堆虽然是一个完全二叉树，但它的存储方式并不是链式存储，而是顺序存储。换句话说，二叉堆的所有节点都存储在数组中。

在数组中，在没有左右指针的情况下，如何定位一个父节点的左孩子和右孩子呢？

> 可以依靠数组下标来计算。  
> 假设父节点的下标是parent，那么它的左孩子下标就是 2 \* parent + 1；右孩子下标就是 2 \* parent + 2。

当我们删除一个最大堆的堆顶（并不是完全删除，而是替换到最后面），经过自我调节，第二大的元素就会被交换上来，成为最大堆的新堆顶。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI0MDk1MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
正如上图所示，当我们删除值为10的堆顶节点，经过调节，值为9的新节点就会顶替上来；当我们删除值为9的堆顶节点，经过调节，值为8的新节点就会顶替上来…

由于二叉堆的这个特性，我们每一次删除旧堆顶，调整后的新堆顶都是大小仅次于旧堆顶的节点。那么我们只要反复删除堆顶，反复调节二叉堆，所得到的集合就成为了一个有序集合，过程如下：

删除节点9，节点8成为新堆顶：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI0MDk1MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
删除节点8，节点7成为新堆顶：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI0MDk1MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
删除节点7，节点6成为新堆顶：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI0MDk1MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
删除节点6，节点5成为新堆顶：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI0MDk1MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
删除节点5，节点4成为新堆顶：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI0MDk1MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
删除节点4，节点3成为新堆顶：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI0MDk1MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
删除节点3，节点2成为新堆顶：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI0MDk1MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]  
到此为止，我们原本的最大堆已经变成了一个从小到大的有序集合。之前说过二叉堆实际存储在数组当中，数组中的元素排列如下：  
![在这里插入图片描述][20190722193237676.png]  
由此，我们可以归纳出堆排序算法的步骤：

*  1.把无序数组构建成二叉堆。
 *  2.循环删除堆顶元素，移到集合尾部，调节堆产生新的堆顶。

堆排序代码：

import java.util.Arrays;
    
    public class HeapSort { 
        public static void main(String[] args) { 
            int[] arr = new int[]{ 1,3,2,6,5,7,8,9,10,0};
            heapSort(arr);
            System.out.println(Arrays.toString(arr));
        }
    
        /** * 堆排序 * @param arr 待调整的堆 */
        private static void heapSort(int[] arr) { 
            // 1.把无序数组构建成二叉堆
            for (int i = (arr.length - 2)/2; i >= 0 ; i--){ 
                downAdjust(arr, i, arr.length);
            }
            System.out.println(Arrays.toString(arr));
            // 2.循环删除堆顶元素，移到集合尾部，调节堆产生新的堆顶
            for (int i = arr.length - 1; i > 0 ; i--){ 
                // 最后一个元素和第一元素进行交换
                int temp = arr[i];
                arr[i] = arr[0];
                arr[0] = temp;
                // 下沉调整最大堆 注意这里i是每次减一的，也就达到了“删除”的作用
                downAdjust(arr, 0, i);
            }
        }
    
        /** * 下沉调整 * @param arr 待调整的堆 * @param parentIndex 要下沉的父节点 * @param length 堆的有效大小 */
        private static void downAdjust(int[] arr, int parentIndex, int length) { 
            // temp保存父节点值，用于最后的赋值
            int temp = arr[parentIndex];
            int childIndex = 2 * parentIndex + 1;
            while (childIndex < length){ 
                // 如果有右孩子，且右孩子大于左孩子的值，则定位到右孩子
                if (childIndex + 1 < length && arr[childIndex + 1] > arr[childIndex]) { 
                    childIndex ++;
                }
                // 如果父节点小于任何一个孩子的值，直接跳出
                if (temp >= arr[childIndex]) { 
                    break;
                }
                // 交换父节点与较大节点的值 这里原文只将子节点的值付给父节点 不大理解 我们改为了交换
                int temp1 = arr[parentIndex];
                arr[parentIndex] = arr[childIndex];
                arr[childIndex] = temp1;
                // 子节点成为新的父节点 子子节点成为新的子节点 继续递归直到叶子节点
                parentIndex = childIndex;
                childIndex = childIndex * 2 + 1;
            }
            // 下沉的末尾赋值为原本位置的值
            arr[parentIndex] = temp;
        }
    }

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI0MDk1MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]  
二叉堆的节点下沉调整（downAdjust 方法）是堆排序算法的基础，这个调节操作本身的时间复杂度是多少呢？

假设二叉堆总共有n个元素，那么下沉调整的最坏时间复杂度就等同于二叉堆的高度，也就是O（logn）。

我们再来回顾一下堆排序算法的步骤：

1.  把无序数组构建成二叉堆。
2.  循环删除堆顶元素，移到集合尾部，调节堆产生新的堆顶。

第一步，把无序数组构建成二叉堆，需要进行n/2次循环（叶子节点不需要处理）。每次循环调用一次 downAdjust 方法，所以第一步的计算规模是 n/2 \* logn，时间复杂度 O（nlogn）。

第二步，需要进行n-1次循环。每次循环调用一次 downAdjust 方法，所以第二步的计算规模是 （n-1） \* logn ，时间复杂度 O（nlogn）。

两个步骤是并列关系，所以整体的时间复杂度同样是 O（nlogn）。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI0MDk1MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzI0MDk1MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]

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