【数据结构】堆笔记

一时失言乱红尘 2021-10-30 06:12 305阅读 0赞

### 什么是堆 ###

**优先队列（Priority Queue）**：特殊的“队列”，取出元素的顺序是依照元素的优先权（关键字）大小，而不是元素进入队列的先后顺序。

> 若采用数组或链表实现优先队列

**数组 :**

插入 — 元素总是插入尾部 ~  Θ \\Theta Θ ( 1 )  
删除 — 查找最大（或最小）关键字 ~  Θ \\Theta Θ ( n )  
从数组中删去需要移动元素 ~ O( n )

**链表:**

插入 — 元素总是插入链表的头部 ~  Θ \\Theta Θ ( 1 )  
删除 — 查找最大（或最小）关键字 ~  Θ \\Theta Θ ( n )  
删去结点 ~  Θ \\Theta Θ ( 1 )

**有序数组:**

插入 — 找到合适的位置 ~ O( n ) 或 O( l o g 2 log\_2 log2 n )  
移动元素并插入 ~ O( n )  
删除 — 删去最后一个元素 ~  Θ \\Theta Θ ( 1 )

**有序链表:**

插入 — 找到合适的位置 ~ O( n )  
插入元素 ~  Θ \\Theta Θ ( 1 )  
删除 — 删除首元素或最后元素 ~  Θ \\Theta Θ ( 1 )

> 是否可以采用二叉树存储结构？

二叉搜索树？ 一直删除最大的结点导致树变斜，不能采用

如果采用二叉树结构，需要做两个操作：插入任何结点、删除最大值，其中更应关注删除最大值（因为更难做）。可以考虑将树构造成 将最大值放在树根，删除最大值就将根结点拿掉，这就是最大堆。使用完全二叉树存储。

### 优先队列的完全二叉树表示 ###

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzU1MTAzNg_size_16_color_FFFFFF_t_70]

### 堆的两个特性 ###

1.  结构性：用数组表示的完全二叉树；
2.  有序性：任一结点的关键字是其子树所有结点的最大值(或最小值)  
    “**最大堆(MaxHeap)**”,也称“大顶堆”：最大值  
    “**最小堆(MinHeap)**”,也称“小顶堆” ：最小值

【例子】：  
最大堆：  
![最大堆][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzU1MTAzNg_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
最小堆：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzU1MTAzNg_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

不是堆：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl8zNzU1MTAzNg_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
不是完全二叉树  
不满足根结点是最大的/最小的

注意：从根结点到任意结点路径上结点序列的有序性！

### 堆的抽象数据类型描述 ###

类型名称：最大堆（MaxHeap）  
数据对象集：完全二叉树，每个结点的元素值不小于其子结点的元素值  
操作集：最大堆H  ∈ \\in ∈MaxHeap，元素item  ∈ \\in ∈ ElementType，主要操作有：  
•`MaxHeap Create( int MaxSize )`：创建一个空的最大堆。  
•`Boolean IsFull( MaxHeap H )`：判断最大堆H是否已满。  
•`Insert( MaxHeap H, ElementType item )`：将元素item插入最大堆H。  
•`Boolean IsEmpty( MaxHeap H )`：判断最大堆H是否为空。  
•`ElementType DeleteMax( MaxHeap H )`：返回H中最大元素(高优先级)。

### 最大堆的操作 ###

#### 创建 ####

typedef struct HeapStruct *MaxHeap;
    	struct HeapStruct {
    	ElementType *Elements;  /* 存储堆元素的数组 */
    	int Size; 				/* 堆的当前元素个数 */
    	int Capacity; 			/* 堆的最大容量 */
    };

MaxHeap Create( int MaxSize )
    { 
    	/* 创建容量为MaxSize的空的最大堆 */
    	MaxHeap H = malloc( sizeof( struct HeapStruct ) );
    	H->Elements = malloc( (MaxSize+1) * sizeof(ElementType));
    	H->Size = 0;
    	H->Capacity = MaxSize;
    	H->Elements[0] = MaxData;
    	 /* 定义“哨兵”为大于堆中所有可能元素的值，便于以后更快操作 */
    	return H;
    }

#### 插入 ####

算法：将新增结点插入到从其父结点到根结点的有序序列中

void Insert( MaxHeap H, ElementType item )
    { 
    /* 将元素item 插入最大堆H， 其中H->Elements[0]已经定义为哨兵 */
    	int i;
    	if ( IsFull(H) ) {
    		printf("最大堆已满");
    		return;
    } 
    i= ++H->Size; /* i指向插入后堆中的最后一个元素的位置 */
    for ( ; H->Elements[i/2] < item; i/=2 )
    	H->Elements[i] = H->Elements[i/2]; /* 向下过滤结点 */
    H->Elements[i] = item; /* 将item 插入 */
    }

我们设置H->Element\[ 0 \] 是哨兵元素，它不小于堆中的最大元素，控制循环结束。  
时间复杂度T(N) =  l o g 2 log\_2 log2 N （树的高度）

#### 删除 ####

ElementType DeleteMax( MaxHeap H )
    { 	/* 从最大堆H中取出键值为最大的元素， 并删除一个结点 */
    	int Parent, Child;
    	ElementType MaxItem, temp;
    	if ( IsEmpty(H) ) {
    		printf("最大堆已为空");
    		return;
    	}
    	MaxItem = H->Elements[1]; /* 取出根结点最大值 */
    	/* 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点 */
    	temp = H->Elements[H->Size--];
    	for( Parent=1; Parent*2<=H->Size; Parent=Child ) {
    		Child = Parent * 2;
    		if( (Child!= H->Size) &&(H->Elements[Child] < H->Elements[Child+1]) )
    			Child++; /* Child指向左右子结点的较大者 */
    		if( temp >= H->Elements[Child] ) 
    			break;
    		else /* 移动temp元素到下一层 */
    			H->Elements[Parent] = H->Elements[Child];
    	} 
    	H->Elements[Parent] = temp;
    	return MaxItem;

#### 最大堆的建立 ####

建立最大堆： 将已经存在的N个元素按最大堆的要求存放在一个一维数组中

**方法1：** 通过插入操作，将N个元素一个个相继插入到一个初  
始为空的堆中去，其时间代价最大为O(N logN)。

**方法2：** 在线性时间复杂度下建立最大堆。  
（1）将N个元素按输入顺序存入，先满足**完全二叉树的结构特性**  
（2）调整各结点位置，以满足最大堆的**有序特性**。

### 完整代码 ###

typedef struct HNode *Heap; /* 堆的类型定义 */
    struct HNode {
        ElementType *Data; /* 存储元素的数组 */
        int Size;          /* 堆中当前元素个数 */
        int Capacity;      /* 堆的最大容量 */
    };
    typedef Heap MaxHeap; /* 最大堆 */
    typedef Heap MinHeap; /* 最小堆 */
     
    #define MAXDATA 1000  /* 该值应根据具体情况定义为大于堆中所有可能元素的值 */
     
    MaxHeap CreateHeap( int MaxSize )
    { /* 创建容量为MaxSize的空的最大堆 */
     
        MaxHeap H = (MaxHeap)malloc(sizeof(struct HNode));
        H->Data = (ElementType *)malloc((MaxSize+1)*sizeof(ElementType));
        H->Size = 0;
        H->Capacity = MaxSize;
        H->Data[0] = MAXDATA; /* 定义"哨兵"为大于堆中所有可能元素的值*/
     
        return H;
    }
     
    bool IsFull( MaxHeap H )
    {
        return (H->Size == H->Capacity);
    }
     
    bool Insert( MaxHeap H, ElementType X )
    { /* 将元素X插入最大堆H，其中H->Data[0]已经定义为哨兵 */
        int i;
      
        if ( IsFull(H) ) { 
            printf("最大堆已满");
            return false;
        }
        i = ++H->Size; /* i指向插入后堆中的最后一个元素的位置 */
        for ( ; H->Data[i/2] < X; i/=2 )
            H->Data[i] = H->Data[i/2]; /* 上滤X */
        H->Data[i] = X; /* 将X插入 */
        return true;
    }
     
    #define ERROR -1 /* 错误标识应根据具体情况定义为堆中不可能出现的元素值 */
     
    bool IsEmpty( MaxHeap H )
    {
        return (H->Size == 0);
    }
     
    ElementType DeleteMax( MaxHeap H )
    { /* 从最大堆H中取出键值为最大的元素，并删除一个结点 */
        int Parent, Child;
        ElementType MaxItem, X;
     
        if ( IsEmpty(H) ) {
            printf("最大堆已为空");
            return ERROR;
        }
     
        MaxItem = H->Data[1]; /* 取出根结点存放的最大值 */
        /* 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点 */
        X = H->Data[H->Size--]; /* 注意当前堆的规模要减小 */
        for( Parent=1; Parent*2<=H->Size; Parent=Child ) {
            Child = Parent * 2;
            if( (Child!=H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child+1]) )
                Child++;  /* Child指向左右子结点的较大者 */
            if( X >= H->Data[Child] ) break; /* 找到了合适位置 */
            else  /* 下滤X */
                H->Data[Parent] = H->Data[Child];
        }
        H->Data[Parent] = X;
     
        return MaxItem;
    } 
     
    /*----------- 建造最大堆 -----------*/
    void PercDown( MaxHeap H, int p )
    { /* 下滤：将H中以H->Data[p]为根的子堆调整为最大堆 */
        int Parent, Child;
        ElementType X;
     
        X = H->Data[p]; /* 取出根结点存放的值 */
        for( Parent=p; Parent*2<=H->Size; Parent=Child ) {
            Child = Parent * 2;
            if( (Child!=H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child+1]) )
                Child++;  /* Child指向左右子结点的较大者 */
            if( X >= H->Data[Child] ) break; /* 找到了合适位置 */
            else  /* 下滤X */
                H->Data[Parent] = H->Data[Child];
        }
        H->Data[Parent] = X;
    }
     
    void BuildHeap( MaxHeap H )
    { /* 调整H->Data[]中的元素，使满足最大堆的有序性  */
      /* 这里假设所有H->Size个元素已经存在H->Data[]中 */
     
        int i;
     
        /* 从最后一个结点的父节点开始，到根结点1 */
        for( i = H->Size/2; i>0; i-- )
            PercDown( H, i );
    }

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