计算机如何进行负数运算？原码、反码、补码详解

系统管理员 2021-06-10 20:41 1587阅读 0赞

### 如果没有原码、反码、补码的概念怎么表示一个负数？ ###

原本机器只能表示正数，八位二进制就是0~255，也就是\[00000000 , 1111 1111\]。

为了让计算机理解负数于是科学家就想出了个办法，

现在要表示负数，取最高位0表示正数、1表示负数，本来有8位表示一个数的大小，现在变成了7位，其中\[0 ~ 127\]不变，原本的\[128 ~ 255\]就被用来表示负数了。其中原来的128就是-128，原来的255就是-1了。比如255在16位下的低8位为\[11111111\],如果强转为byte类型就会变成-1\[11111111\]；

### 什么是原码、反码、补码？ ###

一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。

有符号数和无符号数是针对符号出现的两种机器数表示方法。同一个二进制数，对有符号数和无符号数具有不同的含义。

*  有符号数如： char, short ,int, long等类型的变量
 *  无符号数（c语言下）如：unsigned char, unsigned short , unsigned int, unsigned long, 指针等类型的变量

计算机中的有符号数有三种表示方法，即原码、反码和补码。三种表示方法均有符号位和数值位两部分，符号位都是用0表示“正”，用1表示“负”，而数值位，三种表示方法各不相同 。在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。

*  原码是在数值二进制表示下从左到右第一位，即最高位为符号位：正数该位为0，负数该位为1（注意原来的0有两种表示：+0和-0），其余位表示数值的大小。
 *  反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对正数逐位取反，符号位保持为1。
    
    换句话就是说：反码是对原码除了符号位以外所有位分别对1进行异或（^)操作得到的结果。
 *  补码就是在反码的基础上加1得到的结果。

如何看了以上定义还不懂，那我们以32位的整数1和-1举例：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2MxNTE1ODAzMjMxOQ_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

给定一个int整数i,如果i为负数，那么i的反码的值就是（i ^ Integer.MAX\_VALUE），补码的值就是（i ^ Integer.MAX\_VALUE）+1，若i为正数，则反码和补码同原码 。

其中Integer.MAX\_VALUE = 2147483647，其原码：\[ 01111111 11111111 11111111 11111111 \]

说白了，反码和补码的就是为负数而设定的，而反码只是补码的一个过渡产物，并无什么实际意义，我们需要记住的就是负数的原码和补码的关系和推导过程，因为计算机中负数都是用补码表示，所以我们要记得就是负数的补码如何推导出原码。

#### 如何通过原码推导出补码？ ####

因为int太长太繁琐，下面我们以byte类型（8位）来举例：

*  1  
    原码：\[ 00000001 \]
    
     ⇓ （不变）
    
    反码：\[ 00000001 \]
    
     ⇓ （不变）
    
    补码：\[ 00000010 \]
 *  \-1  
    原码：\[ 10000001 \]
    
    ⇓ （除符号位外逐位取反）
    
    反码：\[ 11111110 \]
    
     ⇓ （+1）
    
    补码：\[ 11111111 \]
 *  127  
    原码：\[ 01111111 \]
    
     ⇓
    
    反码：\[ 01111111 \]
    
     ⇓
    
    补码：\[ 01111111 \]

因为原码第一位是符号位，所以byte类型的8位二进制数的取值范围就是:

*  \[1111 1111 , 0111 1111\]

即

*  \[-127 , 127\]
    
    （这时可能有的同学会说博主你个水货，明明byte整形取值范围是-128~127，别急，请继续往下看）

#### 如何通过补码推导出原码 ####

*  \-1  
    补码：\[ 11111111 \]
    
    ⇓ （除符号位外逐位取反）
    
    反码：\[ 1000000 \]
    
     ⇓ （+1）
    
    原码：\[ 10000001 \]

###### 是不是和负数原码推导补码的过程一样，所以，记住补码的补码便是原码 ######

### 总结： ###

1.  二进制数中,两数的补码之和等于两数和的补码.
2.  负数的反码＝原码除符号位外其它位的数值取反,即“0”变“1”,“1”变“0”.
3.  负数的补码＝反码+1
4.  负数的原码＝负数补码的反码+1
5.  任何正数的原码、反码和补码完全相同（即都是自身不变）
6.  在计算机中,有符号的数都是采用补码来表示的.
7.  计算的时候,符号位也可以参与运算.

### 那么原码, 反码和补码的作用是什么呢？ ###

1.使用补码，可以将符号位和其它位统一处理；同时，减法也可按加法来处理。

2.使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为\[-127, +127\], 而使用补码表示的范围为\[-128, 127\]。  
举个例子  
(-1) + (-127) = 原码：\[1000 0001\] + 原码：\[1111 1111\]

= 补码： \[1111 1111\] + 补码：\[1000 0001\]

= 补码： \[1000 0000\]

= -128

\-1-127的结果就是-128, 有符号的数都是采用补码来表示的, 所以补码：\[1000 0000\] 就是-128.。

但是注意\[1000 0000\]实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以现在-0是被当作0来处理了（虽然有点绕，你只要记得-0被丢弃就行了）。

对于-128在有符号的8位进制下是得不到补码的，因为按照约定最高位是符号位，而它的低7位都是0，

所以-128其实是数溢出了，对于补码表示\[1000 0000\]逆推得到的原码是\[0000 0000\], 这又是不正确的。

假如-128是32位整数，那么他此时的对应的补码就是\[11111111 11111111 11111111 10000000\]。

其中：

*  0 （在编译器中-0会被转为0表示，规定-0的补码用来表示当前位数下最大的负数）  
    原码：\[ 00000000 \]  
    反码：\[ 00000000 \]  
    补码：\[ 00000001 \]

##### 另一个我需要强调的就是数的溢出问题， #####

n位bit位的整数，所能表示的范围是\[-2^(n-1), 2^(n-1)-1\]

一旦数字超过了这个限定，就会发生溢出，超过上限，叫做上溢出。超过下限，叫做下溢出。上溢出之后，又从下限开始：最大的数加1，就变成了最小的数。下溢出之后又从上限开始，最小的数减去1就变成了最大的数，如此循环往复。

如果一个N位数经过运算得到了一个N+1位的数，那么此时他的最高位就是溢出状态，是直接被舍弃的，举个例子：  
一个无符号数255在byte（8位）类型中的二进制形式为255\[ 11111111 \],如果此时对它进行加1操作，则会变成0\[ 00000000 \],此时就发生了数的溢出，而如果它是一个short（16位）类型，其二进制形式便是255\[ 00000000 11111111\],加1后的结果为256\[ 00000001 00000000\],便没有发生溢出。

##### 也许我说了这么多，你还是没明白，简而言之，反码只是原码得到补码的一个过渡产物，并无什么实际意义，你需要记住的是原码是给人看的，而补码是给机器看的。对于机器而言，它其实并没有负数的概念，在对负数的原码进行运算的时候，它其实是无能为力的，所以需要引入负数的补码表示一个负数。 #####

#### 那么问题来了，为什么机器对负数的补码进行算术运算操作就能得出正确的结果呢？ ####

##### 这边要引入同余的概念 #####

###### 定义：两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m。 ######

###### 或者说：给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。 ######

定义三个变量分别为a、b、m.  
我们取a=-1 ,m= 256；  
假设 (a-b)/m = -1，可以得到 b = 255,所以我们可以说-1和255同余  
我们再以 c = a + b举例，其中c为**有符号**的byte类型,显然c小于256，可以得到：  
c = c ^ (256 - 1) = c mod 256  
   = （-1 + 127）mod 256  
   = (255 + 127) mod 256  
   = (255 + 1 + 126) mod 256  
   = (256 + 126) mod 256  
   = (0 + 126) mod 256  
   = 126 \[ 01111110 \]  
我们用a+b得到结果126，对于机器而言过程如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2MxNTE1ODAzMjMxOQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]

###### 讲到这你应该明白为什么负数的补码=原码的反码加1了吧 ######

定义一个byte x = -1 ;  
原码：\[ 10000001 \]  
反码: \[ 11111110 \] = 254 = 256 -1 - |x|  
补码: \[ 11111111 \] = 255 = 256 - |x|  
对于byte类型x；它的补码就是2^8 - x的绝对值

###### 想一想要是你要原码直接做加法，会是什么情况？ ######

(-1) + 127 = 原码：\[ 1000 0001 \] + 原码：\[ 1111 1111 \]  
                 = 原码：\[ 10000000 \]  
                 = -128

*  你没看错结果就是-128，显然这是不对的，那么你又要问了，难道机器不会做减法吗？我要说的是----没错，机器还真的不会减法，现在你看到的减法其实就是对负数做加法运算而已。

###### 同样是上面的例子我们再来变通一下： ######

(-1) + 127 = 原码：\[ 1000 0001 \] + 原码：\[ 0111 1111 \]  
                 = 补码：\[ 1111 1111 \] + 补码： \[ 0111 1111 \]  
                 = 255 + 127 （还是那句话计算机不理解负数，对它而言-1的补码其实就是255的原码，这也是为什么byte类型下127+1结果显示-128的原因）  
                 = 126

*  对，你还是没看错，255+127对于机器得到的结果就是126，原理就是前面讲过的数的溢出问题。
 *  我们把byte类型的取值区间想象成一个圆环，它的周长是256，我们把它分为256份也就是256个点，每相邻两个点间距为1，如下图：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2MxNTE1ODAzMjMxOQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]
 *  所以127 + 255 相到于从127这个点顺时针走了255个点，最后正好落在了126这个点位上，同理127 - 1 就是127这个点逆时针走了一个点，也是落在了126上。
 *  (-1) + 127 则相当于从-1这个点顺时针出发经过127个点到了126上。
 *  题外话：古人对南辕北辙有误解，因为地球是圆的，所以，只要一直往南，那么是能到北的。

##### 说了这么多，其实同余理不理解已经无所谓了 #####

###### 对于我们可以这样理解(mod为取模操作)： ######

(-1) + 127 = （(-1) + 127）mod 256  
                 =（\[ 11111111 \] + 127 ）mod 256  
                 =（255 + 127 ）mod 256  
                 =    126

#### 重要的事情再说一遍：一个8位数（16位或更高位的同理）可以表示的数其实是\[0 ~ 255\],但是因为我们要让计算机可以表示负数于是规定了\[0 ~ 127\]不变，原本的\[128 ~ 255\]就被用来表示负数了（对应上面的圆）。 ####

我们站在计算机的角度看它如何理解这一个过程：

*  我们看到的是实际值：(-1) ，计算机看到的是补码： \[ 11111111 \] ，所以计算机理解的值就是255，用255 mod 256得到值1\[ 00000001 \]，由于255\[ 11111111 \]最高位是1，所以输出的值就是-1。所以负号（-)实际上就是对它后面的那个正数所有位(包括符号位）取反后+1。
 *  但是我们注意到在8位字节数中，是不存在256的，且小于256，所以255 mod 256的这部操作就相当于：  
    **255\[ 11111111 \] ^ 127\[ 01111111 \] + 1\[ 00000001\] = 128\[ 10000001\] = -\[ 0000001 \] = -1**
 *  最高位若是1输出符号位（-）,剩下低位则正常输出，就是这么一个过程。 、
 *  若有不理解的请在下方留言哈…

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