【计算机基础】详解IEEE754浮点数规格化表示（小数点左边隐含一位1）

浅浅的花香味﹌ 2024-04-17 17:46 34阅读 0赞

# 1、IEEE浮点表示 #

IEEE(读作“eye-triple-ee”)浮点标准754中，用图1的形式来表示一个数：

![浮点数表示形式][20190609220206289.png] 图1 浮点数表示形式

**符号(sign)**——s决定这个数是负数(s=1)还是正数(s=0)，而对于数值0的符号位解释，作为特殊情况处理；

**尾数(significand)**——M决定浮点数的精度，它是一个二进制小数；

**阶码(exponent)**——E的作用是对浮点数加权，这个权重是2的E次幂(可能是负数)，它决定浮点数的取值范围。

对于**单精度 / 双精度 / 扩展精度**，组成形式是：1 / 1 / 1位符号，8 / 11 / 15位阶码，23 / 52 / 64位尾数。

# 2、浮点数值的分类  #

根据阶码，浮点数可以分成三种情况：规格化的，非规格化的或特殊值

##  情况1：规格化的值 ##

当阶码的所有bits，既不全为0，也不全为1时，都属于这种情况。

此时，阶码字段被解释为"以偏置(Bias)形式表示的有符号整数" 。也就是说，阶码所表示的实际数值应是

![format_png][]

其中 e 是k 位的阶码所表示的无符号数值，其位表示形式为：" ![format_png 1][] "。

而Bias是一个等于![format_png 2][]的偏置值，例如单精度float的偏置是127。由此产生指数的取值范围，对于单精度float是 -126~127 (针对阶码数值为-127或128时的分析，请参考情况2和情况3)。

而尾数字段，则被定义为  ![format_png 3][]

其中，f 是n 位的尾数所表示的小数值，满足 ![format_png 4][]，其二进制表示为：" ![format_png 5][]  "，也就是二进制小数点在最高有效位的左边。

有时，这种方式也叫做**隐含的以1开头的表示** ，因为我们可以把尾数 M 看成是一个二进制表达式为：" ![format_png 6][] " 的数字。

为什么要用这种表示方式？因为既然**我们总能够调整阶码 E ，使得尾数 M 在范围 ![format_png 7][] 之中**，那么这种表示方法是一种轻松获得一个额外精度位的技巧——既然第一位总是等于1，那我们就不需要显式地表示它。

由此，规格化形式可以表示的数值 V 的范围是 ![format_png 8][] 。

##     情况2：非规格化的值 ##

当阶码的所有bits全为0时，所表示的数是非规格化形式。(针对单精度float，阶码值为-127)

在这种情况下，阶码的数值是 ![format_png 9][] 。而尾数的值是 ![format_png 10][] ，也就是尾数字段的值，开头没有隐含的1。

——那么，为什么非规格化形式为什么将阶码值定义为 ![format_png 11][]，而不是 ![format_png 12][] ？

——因为只有这样，才能从非规格化值平滑转换到规格化值。（对此，本文章最后以数字示例做了详细解释。）

非规格化形式提供了两种数值0的表示，以单精度float为例，分别是：

**+0：0    0000 0000    000 0000 0000 0000 0000 0000；**

**-0： 1    0000 0000    000 0000 0000 0000 0000 0000。**

由此，非规格化形式可以表示的数值 **V** 的范围是分段函数 ![format_png 13][] ，其中，**s** 为符号位。

## 情况3：特殊值 ##

当阶码的所有bits全为1时，所表示的数是特殊值。(针对单精度float，阶码值为128)

**（1）无穷 ∞**

尾数为0时，该值表示无穷。当两个非常大的数相乘时，或除数为0时，无穷能够表示溢出的结果。

**+∞ ：0    1111 1111    000 0000 0000 0000 0000 0000**

**-∞  ：1    1111 1111    000 0000 0000 0000 0000 0000**

**（2）NaN**

尾数不为0时，结果值被称为“**NaN (Not a Number)**”，一些运算的结果不为实数或无穷时，就会返回这样的 NaN 值，比如计算 ![format_png 14][] 或 ![format_png 15][] 时。

NaN  ：x    1111 1111    xxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx

3、数字示例   
图2展示了假定的8位浮点格式的示例，其中有 k = 4 的阶码位和 n = 3 的小数位。于是可知偏置量 Bias 是 ![format_png 16][] 。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0FhcmljWWFuZw_size_16_color_FFFFFF_t_70][] 图2 8位浮点格式的非负值示例

可以观察到，最大非规格化数 ![format_png 17][] 和最小规格化数 ![format_png 18][] 之间的平滑转变。这种平滑性归功于我们对非规格化数的阶码 **E** 的数值的定义。通过将非规格化数的阶码 E 定义为 1 - Bias，而不是 \-Bias，我们可以补偿非规格化数的尾数没有隐含的1。

本文完。

**挚谢阅读！**

**原文链接：https://blog.csdn.net/AaricYang/article/details/91358149**

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