【算法笔记（十）】之DFS通用问题解决方法

我会带着你远行 2023-10-07 14:49 21阅读 0赞

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**老规矩–妹妹镇楼：**

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### 一． DFS ###

#### （一）概述 ####

深度优先搜索，以深度为优先选项，它会走遍所有的路径，即枚举所有完整路径来找到最佳的路径。

#### （二）实现思路 ####

DFS可以使用栈来解决，DFS的使用过程和栈十分类似，选择一条路为进栈，退出一条路为出栈。更简单的实现方法是通过递归来实现DFS，递归中必须有递归式和递归边界，DFS中的递归式即为岔道口的选择，递归边界为走到死胡同，需要后退。

如：Fibinacci数列中，只要n > 1，F(n)就有两个分支，即递归式；当n= 0或1时，F(1),F(0)就是迷宫的死胡同，即递归边界。

### 二． 背包问题 ###

#### （一） 题目 ####

有n件物品，每件物品的重量为w\[i\]，价值为c\[i\]。现在需要选出若干件物品放入一个容量为V的背包中，使得在选入背包的物品重量不超过容量V的前提下，让背包中物品的价值之和最大，求最大价值。

#### （二） 思路 ####

1. 对于每个物品有选择和不选择两种处理方式，这是岔路口，当选择的物品总重量超过V时，就会到达死胡同，需要返回最近的岔路口。

2. 从第一个物品开始调用DFS，每个DFS有两个岔路口，一个是不选择该物品，一个是选择该物品。  
不选择该物品时，调用的是DFS（index+1, sumW, sumC），只是增加了序列号，没有增加总重和总价值；

选择该物品时，在添加前要判断添加该物品后总重是否会超过V，只有未超过V的才能调用DFS(index+1, sumW+s\[index\], sumC+c\[index\]);

3. 当枚举的物品数到了n件时，就会return。

#### （三） 代码实现 ####

#include<cstdio>
    #include<iostream>
    using namespace std;
    
    
    const int maxn = 30;
    int n, V, maxValue = 0;
    int w[maxn], c[maxn];
    
    void DFS(int index, int sumW, int sumC) {
        
    	if (index == n)
    		return;
    	//不选择第index件物品
    	DFS(index + 1, sumW, sumC);
    	//判断加入第index件物品后是否超过容量V
    	if (sumW + w[index] <= V) {
        
    		if (sumC + c[index] > maxValue) {
        
    			//更新最大价值ans
    			maxValue = sumC + c[index];
    		}
    		//选择第index件物品
    		DFS(index + 1, sumW + w[index], sumC + c[index]);
    	}
    }
    
    int main() {
        
    	//scanf("%d%d", &n, &V);
    	cin >> n >> V;
    	for (int i = 0; i < n; ++i) {
        
    		//scanf("%d", &w[i]);
    		cin >> w[i];
    	}
    	for (int i = 0; i < n; ++i) {
        
    		//scanf("%d", &c[i]);
    		cin >> c[i];
    	}
    	DFS(0, 0, 0);
    	//printf("%d\n", maxValue);
    	cout << maxValue << endl;
    	return 0;
    }

### 三． DFS通用问题 ###

#### （一）问题概述 ####

DFS一般用于解决这样的问题：从N个整数中选择K个数，这K个数登录整数X，求出这K个数的平方和最大的方案。

#### （二）解决思路 ####

这种需要枚举所有的方案的问题，第一个就要联想到DFS，同样是岔路口的选择，一个是选择该数，一个是不选择该数。我们设置一个临时数组temp，存储已选择的整数，若要退出该分支，则从数组中删除该数。

如果发现已经选择了K个数，且K个数之和恰为X时，就要判断平方和了。如果确实更大，则将temp数组赋给存放最优方案的数组ans。当所有的方案都枚举后，ans中存放的就是最优方案。

#### （三）代码实现 ####

//序列A中n个数，选择k个数使得和为x，最大平方和为maxSumSqu
    int n, k, x, maxSumSqu = -1, A[maxn];
    vector<int> temp, ans;
    void DFS(int index, int nowK, int sum, int sumSqu) {
        
    	if (nowK == k && sum == x) {
        
    		if (sumSqu > maxSumSqu) {
        
    			maxSumSqu = sumSqu;
    			ans = temp;
    		}
    		return;
    	}
    	if (index == n || nowK > k || sum > x)
    		return;
    
    	temp.push_back(A[index]);
    	DFS(index + 1, nowK + 1, sum + A[index], sumSqu + A[index] * A[index]);
    	temp.pop_back();
    	DFS(index + 1, nowK, sum, sumSqu);
    }

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