排列和组合

青旅半醒 2023-10-05 21:01 1阅读 0赞

## **排列和组合** ##

**排列和 [组合][Link 1]**，可以从[集合][Link 2]中选择对象的各种方式（通常无需替换）以形成子集。亚群的这一选择被称为置换时选择的顺序是一个因素，当为了不是一个因素的组合。通过考虑[比][Link 3]期望的子集，为在17世纪的机会很多游戏所有可能的子集数的数量，法国数学家[帕斯卡][Link 4]和[皮埃尔·德·费玛][Link 5]给[动力][Link 6]，以发展[组合数学][Link 7]和[概率论][Link 8]。

[![图1：Ferrers的14分区图。][1_Ferrers_14]][1_Ferrers_14_1_Ferrers_14]

**[阅读有关此主题的更多信息][1_Ferrers_14_1_Ferrers_14]**

**[组合：二项式系数][1_Ferrers_14_1_Ferrers_14]**

[…n个对象被称为一次n个事物的排列。排列的数量是...][1_Ferrers_14_1_Ferrers_14]

排列和组合的概念以及排列和组合之间的区别可以通过检查可以从五个可区分对象（例如字母A，B，C，D和E）中选择一对对象的所有不同方式来说明。考虑选择的字母和选择的顺序，则可能有以下20个结果：

![字母A，B，C，D和E的20种可能组合的列表。][A_B_C_D_E_20]

00:0203:36

![12ffba97fbc311a9975650815fe6d4b1.png][]

这20个不同的可能选择中的每一个都称为置换。特别地，它们被称为一次取两个对象的五个对象的排列，这种排列的可能数量用符号5 *P* 2表示，读为“ 5 permute 2”。通常，如果有*n个*可用于选择的对象，并且一次要使用*k*个对象形成排列（*P*），则可能的不同排列数目用符号*n* *P* *k表示*。其评估公式为*n* *P* *k* = *n*！/（ *n* − *k*）！表达式*n*！-读为“ *n* [阶乘][Link 9]”-表示从1到*n*（包括*n）的*所有连续正整数都将相乘，然后乘以0！定义为等于1。例如，使用此公式，一次获取两个的五个对象的排列数为

![方程。][68e81b10bb7a8e7c9769f8c3c479a931.png]

（对于*k* = *n*，*n* *P* *k* = *n*！因此，对于5个对象，有5！= 120个排列。）

对于组合，从*n个*对象的集合中选择*k**个*对象以产生子集而无需排序。与之前的排列示例和相应的组合相比，AB和BA子集不再是唯一的选择；而是，通过消除这种情况，仅剩下10个不同的可能子集-AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE和DE。

此类子集的数量用*n* *C* *k*表示，读为“ *n* select *k”*。对于组合，由于*k个*对象具有*k个*！安排，有*k*！每个*k个*对象的选择都无法区分；因此，将置换公式除以*k*！产生以下组合公式：

![方程。][1ca4aa8766e075ccdb25ab512a3a52cc.png]

这与（*n*，*k*）二项式系数相同（*请参阅* [二项式定理][Link 10]；这些组合有时称为*k-子*集）。例如，一次取两个对象的五个对象的组合数为

![方程。][47e4c570515349444a10e2891310ff4c.png]

*n* *P* *k*和*n* *C* *k*的公式称为计算公式，因为它们可以用于计算给定情况下可能的排列或组合的数量，而不必全部列出它们。

[Link 1]: https://www.britannica.com/science/combination
[Link 2]: https://www.britannica.com/topic/set-mathematics-and-logic
[Link 3]: https://www.britannica.com/science/ratio
[Link 4]: https://www.britannica.com/biography/Blaise-Pascal
[Link 5]: https://www.britannica.com/biography/Pierre-de-Fermat
[Link 6]: https://www.merriam-webster.com/dictionary/impetus
[Link 7]: https://www.britannica.com/science/combinatorics
[Link 8]: https://www.britannica.com/science/probability-theory
[1_Ferrers_14]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/6662bb0564c4f23f66d554861dbb79b5.png
[1_Ferrers_14_1_Ferrers_14]: https://www.britannica.com/science/combinatorics/Problems-of-enumeration#ref383907
[A_B_C_D_E_20]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/777da4485bde96300afc4da65f85fde7.png
[12ffba97fbc311a9975650815fe6d4b1.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/12ffba97fbc311a9975650815fe6d4b1.png
[Link 9]: https://www.britannica.com/science/factorial
[68e81b10bb7a8e7c9769f8c3c479a931.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/68e81b10bb7a8e7c9769f8c3c479a931.png
[1ca4aa8766e075ccdb25ab512a3a52cc.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/1ca4aa8766e075ccdb25ab512a3a52cc.png
[Link 10]: https://www.britannica.com/science/binomial-theorem
[47e4c570515349444a10e2891310ff4c.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/47e4c570515349444a10e2891310ff4c.png